215.02- COURS- LES COORDONNEES DES VECTEURS

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Secteur Mathématiques – Première BAC PRO 3 Ans
Géométrie
Leçon 02 :
Les Coordonnées des Vecteurs
Bien que numériquement ce ne soit pas le cas, cette nouvelle leçon fait suite à la leçon n°1 portant sur la découverte des
vecteurs. Elle précède aussi la leçon typée BAC PRO portant sur les produits scalaires. Il convenait afin que les vecteurs ne
deviennent pas indigeste pour les étudiants de découper cette partie assez dense en plusieurs plus courtes. L’étude des
vecteurs sera donc amorcée en BEP pour se terminer en BAC PRO avec l’étude du produit scalaire.
Les objectifs de cette petite leçon sont simples :
Savoir définir et utiliser les coordonnées d’un vecteur,
Savoir calculer la norme d’un vecteur,
Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un vecteur.
Important :
Pour la suite les vecteurs du plan seront noté en gras.
1- Coordonnées d’un vecteur dans un repère.
 Document N°1 : Activité
Soit le plan muni de papier millimétré.
a) Tracer un repère dont l’unité
graphique est le centimètre.
b) Dans ce repère, placer les
points :
A ( 3 ; 2) et B ( 4 ; 5)
c) Tracer les vecteurs OA, OB, et
AB.
d) Proposer une méthode afin de
déterminer les coordonnées des
vecteurs proposés.
Propriété :
Soient deux points A(xA, yA) et B(xB, yB),
Les coordonnées du vecteur AB, notées (X,Y) sont données par les relations :
. X = xB – xA,
. Y = yB – yA,
 Document N°2 : Application directe
Soient les points A (3 ; -2), B (-3 ; 1), C (1 ; 1) D (6 ; 5) E (-3 ; 2) et F (2 ; 3)
Donner les coordonnées des vecteurs AB, CD et EF.
Propriété :
Si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées alors ces deux vecteurs sont égaux.
Les coordonnées du vecteur nul sont (0 ; 0)
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 Document N°3 : Exercice
Soit le plan muni d’un repère dont l’unité graphique est le centimètre :
1) Placer dans ce repère les points :
A(3;1), B(-1;-2) et C(-4;0).
2) Calculer les coordonnées du point D tel que : AD=BC
3) Calculer les coordonnées du vecteur AD.
4) Calculer les coordonnées du point E tel que : BE=AC
2- Détermination de la norme d’un vecteur.
 Document N°4 : Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore :
Théorème de géométrie plane selon lequel, dans un triangle rectangle,
le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
En d’autres termes, si le triangle ABC est rectangle en A, alors
BC2= AB2+AC2.
Démonstration :
Dès lors, lorsqu’on transpose le théorème de Pythagore en utilisant les coordonnées du vecteur du document N°1 que nous
venons d’évoquer on en arrive à :
AB² = (xB – xB)² + (yB – yB)²
Propriété :
Soient deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), soit le vecteur AB de coordonnées (X,Y).
La norme (ou longueur) du vecteur est donné par la relation :
II AB II = X² + Y² = (xB – xB)² + (yB – yB)²
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 Document N°5 : Application directe :
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on
considère les points suivants :
A(3 ; -1), B(1 ; 4) et C(-3 ; 3)
1.
2.
3.
4.
Faire une figure.
Calculer les coordonnées des vecteurs
AB, AC et BC
Déterminer les coordonnées du milieu
I de [BC], du milieu J de [AC] et du
milieu K de [AB].
Calculer les distances AB, AC et BC.
3- Détermination du milieu d’un vecteur.
Propriété :
Soient deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), soit I le milieu du segment AB.
Les coordonnées du milieu de ce vecteur sont donnée par les relation :
. xI = ½ (xA + xB)
. yI = ½ (yA + yB)
 Document N°6 : Travaux sur les milieux
Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on
considère les points suivants :
A(1 ;3) ; B(4 ;-1) ; C(3 ;3) et D(1 ;3).
1)
2)
3)
4)
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Placer les points dans un repère.
Tracer les vecteurs AB et CD.
Calculer les normes de vecteurs AB
et CD.
Déterminer les coordonnées des
milieux I et J de ces deux vecteurs.
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4- Opérations sur les vecteurs.
Propriété :
Soient deux vecteurs U et V de coordonnées respectives (x,y) et (x’,y’). Soit k un nombre réel quelconque.
. Les coordonnées du vecteur somme U + V sont respectivement X = x + x’ et Y = y + y’
. Les coordonnées du vecteur k×U sont respectivement (k×x,k×y)
 Document N°6 : Exercice
On donne les points A(0 ;3) B(-4 ;-3) et C (3 ;1)
1) Placer les points A, B et C.
2) Déterminer les coordonnées des vecteur AB et BC et AC.
3) Déterminer les normes de chacun de ces vecteurs.
4) Déterminer les coordonnées du vecteur U = 5 × AB
5) Tracer le vecteur U.
6) Déterminer les coordonnées du vecteur W = AB + AC.
7) Tracer le vecteur W en partant du point B.
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