BAC BLANC TECHNOLOGIQUE Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET

BAC BLANC TECHNOLOGIQUE
Epreuve E4
MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA
Série STAV
Durée : 2 heures
Matériel(s) et document(s) autorisé(s) : calculatrice
Rappel : Au cours de l’épreuve, la calculatrice est autorisée pour réaliser des opérations de calcul, ou bien
élaborer une programmation, à partir des données fournies par le sujet.
Tout autre usage est interdit.
Exercice 1 (4 points)
Dans une classe de terminale STAV de 25 élèves, chaque élève possède une calculatrice et une seule de
marque C1, C2 ou C3.
Deux filles et trois garçons ont une calculatrice de marque C1.
32% des élèves de la classe ont une calculatrice de marque C2.
56% des élèves de la classe sont des filles.
La moitié des filles de la classe ont une calculatrice de marque C3.
1. Compléter le tableau donné en annexe :
2. On choisit au hasard un élève de la classe. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
(On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible)
A : « L’élève est un garçon »
B : « L’élève possède une calculatrice de marque C2 »
C= A ∩ B
D=A ∟ B
3. On prend un élève au hasard. Il possède une calculatrice de marque C2. Quelle est la probabilité que cet
élève soit un garçon.
Exercice 2 « code confidentiel » (3 points)
Le code confidentiel d’une carte bancaire est un nombre de quatre chiffres supposés, dans cet exercice
non nuls ( par exemple : 1354, 2661, 5555,…)
1. Combien y-a-t-il de codes possibles ?
2. Combien y-a-t-il de codes composés uniquement de chiffres impairs ?
3. Combien y-a-il de codes écrits avec des chiffres différents ?
Exercice 3 (13 points)
Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
1
On se propose d’étudier une fonction f définie sur l’intervalle - ;2
 2 
Partie A :
La courbe Cf de f est donnée dans un repère orthonormal (O,Åi ,Åj )(unité sur les axes : 5 cm), dans l’annexe
jointe.
On précise que la droite (T) passant par le point O et le point de coordonnées (1;1) est tangente à Cf en O.
1. En utilisant ce graphique, donner la valeur de f(0) et de f ’(0). Justifier votre réponse.
2.
a) Déterminer graphiquement ( en justifiant) le nombre de solutions de l’équation f(x)=0 dans
1
l’intervalle - ;2.
 2 
b) Résoudre graphiquement, avec la précision que permet le dessin, l’inéquation f ’(x)<0 dans
l’intervalle- 1 ;2. Justifier votre réponse.
 2 
3. On suppose que f(x) est de la forme f(x)=ax+ln(2x+b), où a et b désignent deux nombres réels.
a) En utilisant la valeur trouvée pour f(0), calculer b.
b) Démontrer que, pour tout x de [0;2], f ’(x)=a+
2
2x+1
c) En déduire l’expression de f(x).
Partie B
On sait désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle - 1 ;2 par
 2 
f(x)=-x+ln(2x+1)
1
1. Calculer la limites de f en x=- ; Quelle interprétation graphique du résultat peut-on donner ?
2
2.
1
-2x+1
a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle- ;2, on a : f ’(x)=
2x+1
 2 
b) En déduire le signe de f’(x), puis dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle- 1 ;2.
 2 
3. Compléter le tableau de valeurs donné sur l’annexe par des valeurs décimales arrondies à 10-2 près.
4. On considère la fonction F définie sur - 1 ;2 par F(x)=- 1 ×x 2−x+x+ 1 ln(2x+1)
2
2

 2 
a) Démontrer que F est une primitive de f sur l’intervalle - 1 ;2
 2 
b) Déterminer la valeur exacte, de l’aire du domaine limité par la courbe, les axes de coordonnées et la
droite d’équation x=1.
Puis donner une valeur approchée (au mm² près) de cette aire.
NOM :
PRENOM :
CLASSE :
ANNEXE à rendre avec votre copie
Exercice 1
Nombre de
calculatrices
de marque C1
Nombre de
calculatrices de
marque C2
Nombre de
calculatrices de
marque C3
Total
Nombre de filles
Nombre de garçons
Total
Exercice 3 - Partie B - Question 3
x
0
0,5
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
2
f(x)
y
Courbe représentative de la fonction f et de sa tangente en O
1
→
j
→
-1
0
-1
i
1
x