Chapitre 1-2

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Chapitre 1-2

CHAPITRE 1
Initiation aux probabilités
Les probabilités se retrouvent un peu partout. On a qu’à penser au jeu
"Pile-Face" avec une pièce de monnaie. Depuis notre enfance, on sait que
"Pile" devrait sortir une fois sur deux. Par contre, ce n’est pas parce qu’on
lance deux fois une pièce que nous obtiendrons nécessairement un "Pile" et
un "Face". C’est un jeu de hasard. L’étude des probabilités veut quantifier
ce hasard. C’est ce que nous verrons.
1. Qu’est-ce qu’une probabilité ?
Il existe plusieurs définitions d’une probabilité et surtout plusieurs façons
de les calculer. C’est ce que nous verrons dans les autres sections. Pour
l’instant, concentrons-nous sur les différentes définitions et propriétés d’une
probabilité. La différence entre les deux définitions se trouve au niveau du
calcul des probabilités.
Définition 1 (Probabilité objective). La probabilité qu’un certain événement E survienne, noté P (E), est donnée par
P (E) =
Nombre de cas favorable à E
.
Nombre de cas possibles
Exemple 1.1. Quelle est la probabilité d’obtenir "Pile" au lancer d’une
pièce non-biaisée.
SOLUTION
Pour le calcul de probabilité, il faut distinguer deux aspects. Le premier étant
le "Nombre de cas favorable à E". Ici, l’événement E est d’obtenir un "Pile".
En lançant une pièce, il n’y a qu’une seule façon d’y arriver.
Pour ce qui est du "Nombre de cas possibles", nous pouvons obtenir soit
"Pile", soit "Face". Ainsi,
1
P (obtenir "Pile") = .
2
Il faut cependant faire attention avec cette approche comme le montre
le prochain exemple.
Exemple 1.2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux "Face" lorsque l’on
lance deux pièces non-biaisées ?
SOLUTION
1
2
1. Initiation aux probabilités
Il y a deux approches possibles
Première approche: Tout d’abord, regardons tous les cas possibles. On
peut obtenir deux "Pile", un "Pile" et un "Face" ou deux "Face".
Il y a donc trois cas possibles. Pour ce qui est des cas favorables à
notre événement, il y a une possibilité. Ainsi,
1
P (obtenir deux "Face") = .
3
Deuxième approche: Supposons que l’on identifie les pièces de monnaies
par exemple avec une couleur bleu et une rouge. Les cas possibles
sont alors "Pile-Pile", "Pile-Face", "Face-Pile" et "Face-Face", où
le premier résultat est celui de la pièce bleue et le deuxième celui de
la pièce rouge. Ainsi,
1
P (obtenir deux "Face") = .
4
Nous avons donc deux approches différentes qui nous donnent deux réponses
différentes. Laquelle est la bonne ?
Pour pouvoir répondre à la question précédente, il nous faut un principe, le principe d’équiprobabilité. Dans la première approche, il y a plus de
chance d’obtenir un "Pile" et un "Face" que d’obtenir deux résultats identiques. Dans le deuxième cas, on sépare cet événement en donnant un ordre.
Ce principe sera très important.
La question d’équiprobabilité resta longtemps dans la tête des mathématiciens. C’est pourquoi ils se sont penchés vers une autre approche.
Définition 2 (Probabilité empirique). La probabilité qu’un événement
E se produise est donnée par
nombre de fois que E se produit en n essais
.
P (E) = lim
n→∞
n
La signification de cette définition est simple malgré l’écriture complexe.
On dit que la probabilité qu’un événement se produise correspond au nombre
de fois que survient l’événement divisé par le nombre total d’expérience effectuée lorsque ce dernier est très très grand. Par exemple, pour calculer la
probabilité d’obtenir "Pile", on pourrait lancer 100 fois une pièce et noter
le nombre de fois que l’on obtient "Pile". Par contre, il se peut que nous
n’ayons pas 1/2, mais un nombre près. C’est pourquoi, il nous faut un grand
nombre d’essais.
1.2. Vocabulaire de base
3
2. Vocabulaire de base
Pour bien faire le calcul des probabilités, nous aurons besoin de certaines
notions que voici.
Définition 3 (Vocabulaire). allo le monde
Ensemble: Collection d’objets ayant ou non un lien. Ces objets sont appelés éléments. On note habituellement un ensemble par une lettre
majuscule.
Sous-ensemble: Ensemble dont les éléments sont compris dans un ensemble.
Expérience aléatoire: Action répétable dont les résultats sont connus, mais
non prévisibles.
Espace échantillonnal: Ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire. On le note S ou Ω.
Événement: Sous-ensemble de S.
Cardinalité d’un ensemble: Nombre d’éléments dans l’ensemble, noté |A|.
Notation
On rencontre parfois car(A) et #A pour la cardinalité d’un ensemble.
Exemple 1.3. Soit l’expérience où l’on s’intéresse à la probabilité d’obtenir au moins un "Face" en lançant une pièce de monnaie non-biaisée deux
fois de suite. Déterminez
a) L’espace échantillonnal S
c) L’événement E
b) |S|
d) |E|
SOLUTION
Afin de simplifier l’écriture, écrivons p pour "Pile" et f pour "Face".
a) S = {(p, f ) , (p, p) , (f, p) , (f, f )}
b) |S| = 4
c) E = {(p, f ) , (f, p) , (f, f )}
d) |E| = 3
Avec ce vocabulaire, on peut réécrire la définition 1 comme suit :
P (E) =
|E|
.
|S|
Puisque le calcul de probabilités passe par la cardinalité de deux ensembles,
il nous faut étudier la théorie des ensembles.
Un peu comme pour les nombres, il existe des opérations sur les ensembles.
4
Définition 4 (Opérations entre les ensembles). Considérons deux ensembles A et B.
Union: L’union entre les ensembles A et B, notée A ∪ B, correspond à
l’ensemble de tous les éléments qui sont soit dans A ET/OU B.
(On ne répète pas les éléments dans l’union.)
Intersection: L’intersection entre les ensembles A et B, noté A ∩ B, correspond à l’ensemble de tous les éléments qui sont dans A ET dans
B.
Différence: La différence entre l’ensemble A et B, notée A \ B ou A − B,
correspond à l’ensemble des éléments qui sont dans A et qui ne sont
pas dans B.
Ces trois opérations peuvent être représentées à l’aide d’un diagramme
de Venn :
A∪B
A∩B
A\B
A
B
A
B
A
B
Exemple 1.4. On lance deux dés distincts à six faces et on s’intéresse
à la somme des deux. Soit l’événement E : "obtenir une somme paire" et
l’événement F : "obtenir une somme divisible par 3".
a) Écrivez explicitement tous les éléments de S, E et F .
b) Déterminez E ∪ F et traduire en mots ce que signifie cet ensemble.
c) Déterminez E ∩ F et traduire en mots ce que signifie cet ensemble.
SOLUTION
a) S = {2, 3, 4, 5, ..., 10, 11, 12}, E = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, F = {3, 6, 9, 12}.
b) E ∪ F = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}, "obtenir une somme paire OU divisible
par 3".
c) E ∩ F = {6, 12}, "obtenir une somme paire ET divisible par 3".
Nous aurons besoin d’un ensemble important.
Définition 5 (Ensemble vide). Ensemble vide: L’ensemble vide est l’ensemble ne contenant aucun élément, noté ∅. En terme de probabilités
et d’événement, l’ensemble vide correspond à l’événement où rien ne
se produit.
Définition 6 (Ensemble complémentaire). L’ensemble complément de
A, noté A0 , est l’ensemble de tous les éléments de S qui ne sont pas dans A.
Exemple 1.5. On lance un dé à six faces. Soit l’événement A : "obtenir
un nombre pair". Déterminez A0 .
1.3. Règles de calcul des probabilités
5
SOLUTION
Ici, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}. Alors, A0 = {1, 3, 5}.
Théorème 1.1 (Loi de De Morgan). Soit A et B, deux sous-ensembles
de S. Alors,
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
Démonstration. La preuve se fait en comparant les diagrammes de
Venn.
Regardons quelques événements importants.
Définition 7 (Événements importants). Soit deux événements E et F
dans un espace échantillonnal S.
Événement certain: L’événement certain est un événement qui est certain de se produire. Cet événement est en réalité S. On aura alors
P (S) = 1.
Événement impossible: L’événement impossible est un événement qui est
impossible. On note cet événement ∅. On aura alors P (∅) = 0.
Événement contraire à E: L’événement contraire à E est l’événement E 0 .
On a alors P (E 0 ) = 1 − P (E).
Événements incompatibles: E et F sont dits incompatibles s’ils ne peuvent
se produire simultanément, c’est-à-dire E ∩ F = ∅. On a alors
P (E ∩ F ) = 0.
3. Règles de calcul des probabilités
Rappelons que la probabilité d’un événement E est donnée par
|E|
|S|
à la condition que tous les éléments de S soient équiprobables. Cette façon
d’écrire P (E), nous montre que
P (E) =
0 ≤ P (E) ≤ 1.
Voici quelques règles régissant le calcul des probabilités.
Proposition 1.2. Soient les événements E et F d’un espace échantillonnal S. Alors, on a
Règle 1: P (∅) = 0 et P (S) = 1
Règle 2: P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
Règle 3: Si E et F sont incompatibles alors P (E ∪ F ) = P (E) + P (F )
Règle 4: P (E 0 ) = 1 − P (E)
Intuitivement...
On peut généraliser la
règle 2 pour l’union de
3 événements ou plus.
Dans le cas de 3
événements, nous
avons P (E ∪ F ∪ G) =
P (E) + P (F ) + P (G) −
P (E ∩ F ) − P (E ∩ G) −
P (F ∩G)+P (E∩F ∩G)
6
Démonstration. Règle 1: Pour démontrer cette règle, utilisons la définition d’une probabilité, i.e.
P (E) =
|E|
.
|S|
Ainsi,
|∅|
0
=
=0
|S|
|S|
|S|
P (S) =
=1
|S|
P (∅) =
Règle 2: À l’aide du diagramme de Venn suivant, on a que E ∪ F se sépare
en trois parties I, II et III.
I
II
III
On a donc que
P (E ∪ F ) = P (I) + P (II) + P (III)
P (E ∩ F ) = P (II)
P (E) = P (I) + P (II)
P (F ) = P (II) + P (III)
On peut récrire
P (E ∪ F ) = P (I) + P (II) + P (III) + P (II) − P (II)
|
{z
}
|
P (E)
{z
}
P (F )
| {z }
P (E∩F )
= P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
Règle 3: Si E et F sont incompatibles, cela signifie que E ∩ F = ∅. Par la
règle 2, on a
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
= P (E) + P (F ) − P (∅)
= P (E) + P (F ) (Par la règle 1)
Règle 4: On sait que E ∪ E 0 = S et que E et E 0 sont incompatibles. Ainsi,
P (E ∪ E 0 ) = P (E) + P (E 0 ) Par la règle 3
P (S) = P (E) + P (E 0 )
1 = P (E) + P (E 0 ) Par la règle 1
1 − P (E) = P (E 0 )
1.3. Règles de calcul des probabilités
7
Exemple 1.6.
E : La somme des
F : La somme des
G : La somme des
On lance un dé rouge et un dé bleu. Soit les événements :
dés est un nombre pair.
dés est un multiple de 3.
dés est un multiple de 6.
Utilisez les règles pour déterminer
a) La probabilité que la somme des dés soit un nombre pair.
b) La probabilité que la somme des dés soit un nombre impair.
c) La probabilité que la somme soit un nombre pair ou un multiple de 6.
SOLUTION
Tout d’abord, trouvons toutes les sommes possibles.
Dé rouge
Dé bleu
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
Ainsi,
Somme
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fréquence 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Ici, tout est équiprobable.
a) Trouvons P (E)
P (E) =
18
|E|
=
= 0.5
|S|
36
b)
P (Somme impaire) = P (E 0 ) = 1 − P (E) = 1 − 0.5 = 0.5
c)
P (E ∪ G) = P (E) + P (G) − P (E ∩ G)
8
On sait que P (E) = 0.5. Calculons P (G) et P (E ∩ G).
6
|G|
=
= 1/6
|S|
36
|E ∩ G|
6
P (E ∩ G) =
=
= 1/6
|S|
36
P (G) =
Ainsi,
P (E ∪ G) = P (E) + P (G) − P (E ∩ G)
= 0.5 + 1/6 − 1/6
= 0.5
Exemple 1.7. Dans un groupe de 30 jeunes qui ont participé à une
journée de plein air, on retrouve les participations suivantes :
• 13 ont fait du canot
• 23 ont fait de l’escalade
• 9 ont fait du canot et de l’escalade
• 30 jeunes ont participé à la journée plein air
On choisit une personne au hasard dans ce groupe, quelle est la probabilité
a) Que cette personne fasse du canot ou de l’escalade ?
b) Que cette personne fasse du canot mais pas de l’escalade ?
1.4. Probabilités conditionnelles
9
c) Que cette personne ne fasse ni du canot ni de l’escalade ?
4. Probabilités conditionnelles
Soit deux événements E et F dans un espace échantillonnal S. On est
intéressé à la probabilité que l’événement E se produise étant donné que
l’événement F s’est produit. On notera alors P (E|F ). On peut montrer que
cette probabilité se calcule aisément avec la formule suivante :
P (E|F ) =
P (E ∩ F )
.
P (F )
Exemple 1.8. On lance un dé rouge et un dé bleu. Quelle est la probabilité que la somme des dés soit inférieure ou égale à 5 sachant que le résultat
du dé rouge est 3 ?
SOLUTION
Tout d’abord posons E : "Obtenir une somme inférieure ou égale à 5" et F :
"Le résultat du dé rouge est 3". On cherche donc, P (E|F ). Il y a deux façons
de faire. La première est d’écrire les possibilités et de calculer la probabilité.
Dé bleu
Dé rouge
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
10
On sait que le résultat du dé rouge est 3. Il y a donc 2 cas sur 6 qui font que
la somme est inférieure ou égale à 5. Ainsi,
1
2
P (E|F ) = = .
6
3
L’autre façon de faire est d’utiliser la formule. Cette manière sera plus simple
pour les exemples à venir.
P (E|F ) =
P (E ∩ F )
.
P (F )
On a que
P (F ) =
|F |
6
1
=
=
|S|
36
6
et
P (E ∩ F ) =
|E ∩ F |
2
=
|S|
36
Ainsi,
1
6
1
P (E ∩ F )
= 18 =
= .
P (E|F ) =
1
P (F )
18
3
6
Exemple 1.9. Le tableau 1 montre la répartition des Québécois de 15
ans et plus selon leur diplôme obtenu et selon leur région administrative.
Si l’on choisit au hasard une personne de 15 ans et plus et que cette
personne soit de la région administrative Montérégie, quelle est la probabilité
que celle-ci ait un diplôme universitaire ?
SOLUTION
Soit les événements E : "Région de la Montérégie" et F :"diplôme universitaire". On cherche P (F |E). Pour ce faire, on a besoin de P (E) et
P (E ∩ F ). Ici, S est l’ensemble de tous les québécois de 15 ans et plus,
donc |S| = 5832345.
1014830
|E|
=
≈ 0, 174
|S|
5832345
|E ∩ F |
157405
=
≈ 0, 027
P (E ∩ F ) =
|S|
5832345
P (E) =
Ainsi,
P (F |E) =
P (E ∩ F )
0, 027
=
= 0, 155.
P (E)
0, 174
Exemple 1.10. On choisit au hasard une personne qui a un emploi.
Soit A l’événement que la personne est une femme et B l’événement que la
personne a un poste de gestion. Des données gouvernementales indiquent que
P (A) = 0, 46 et que la probabilité d’un emploi de gestion chez les femmes est
de 0, 32. Quelle est la probabilité qu’une personne avec un emploi choisie au
hasard soit une femme ayant un poste de gestion ?
SOLUTION
1.4. Probabilités conditionnelles
11
Table 1. Répartition des Québécois de 15 ans et plus selon
leur diplôme obtenu et selon leur région administrative.
Région administrative
Bas-SaintLaurent
SaguenayLac-SaintJean
CapitaleNationale
Mauricie
Estrie
Montréal
Outaouais
AbitibiTémiscamingue
Côte-Nord
Nord-duQuébec
GaspésieIles-de-laMadeleine
ChaudièreAppalaches
Laval
Lanaudière
Laurentides
Montérégie
Centre-duQuébec
Le Québec
Moins
DES
DES
Postsecondaire
École
de mé- DEC
tiers
UniverTotal
sitaire
61135
29050
11675
20175
21580
19050
162645
72570
41350
17115
35755
31930
26820
225535
134740 97870
41125
59545
89365
106470 529120
71135
78550
418995
82170
39095
16130 27530
39400
17795 28145
209850 149695 114760
40070
23375 23380
30530
25190 209620
31245
33135 228270
216595 382025 1491910
36625
44910 250530
49050
18305
8315
14075
13330
12120
115185
31805
13110
5490
10245
10435
6860
77895
13520
3050
2250
3355
2595
2030
26835
38160
11885
4980
8360
9680
6520
79600
20875
39415
45280
35475
307065
108595 57470
78985
107705
119035
317080
49620
25570
61490
24635
69425
31265
186920 90535
29410
37975
42670
111805
42960
48 590
40170
31775
51000
47600
151085 157405
275130
303750
361040
1014830
65680
31255
22760
23275
173325
13530
16810
1848930 999205 504365 629360 847675 1002825 5832345
Banque de données statistiques officielles sur le Québec
On cherche P (A ∩ B). On sait que P (A) = 0, 46 et que P (B|A) = 0, 32.
Puisque
P (A ∩ B)
P (B|A) =
P (A)
P (B|A) · P (A) = P (A ∩ B)
0, 32 · 0, 46 = P (A ∩ B)
0, 1472 = P (A ∩ B)
12
5. Événements indépendants
Définition 8 (Événements indépendants). Soit deux événements E et
F . On dit que E et F sont indépendants si
P (E|F ) = P (E).
Ainsi, deux événements sont dits indépendants s’ils n’ont pas d’influence
l’un sur l’autre.
Exemple 1.11. On lance un dé rouge et un dé bleu. Quelle est la probabilité que le résultat du dé rouge soit 3 étant donné que le résultat du dé bleu
est 5 ?
SOLUTION
Ici, le fait que le résultat du dé bleu soit 5 n’a aucune influence sur le résultat
du dé rouge. Ainsi,
1
P (dé rouge =3|dé bleu = 5) = P (dé rouge= 3) = .
6
Théorème 1.3. Soit E et F deux événements indépendants. Alors,
P (E ∩ F ) = P (E) · P (F ).
Démonstration. On sait que
P (E|F ) =
P (E ∩ F )
P (F )
Puisque E et F sont deux événements indépendants, on a alors que P (E|F ) =
P (E). Ainsi,
P (E ∩ F )
P (F )
P (E ∩ F )
P (E) =
P (F )
P (E) · P (F ) = P (E ∩ F )
P (E|F ) =
Exemple 1.12. On lance un dé rouge et un dé bleu. Quelle est la probabilité que le résultat du dé rouge soit 3 et que celui du dé bleu soit 5 ?
SOLUTION
Soit les événements E : le résultat du dé rouge est 3 et F : le résultat du dé
bleu est 5. Ici, les deux événements sont indépendants. Ainsi,
P (E ∩ F ) = P (E) · P (F )
1 1
= ·
6 6
1
=
36
1.5. Événements indépendants
13
Ce théorème nous permet également de vérifier si deux événements sont
indépendants ou non.
Exemple 1.13. Une famille compte trois enfants. Soit les événements :
• A : l’aînée est une fille
• B : le deuxième enfant est une fille
• C : la famille comprend une suite de deux filles.
Sachant qu’il y a 8 combinaisons de sexes possibles, déterminez si
a) A et B sont indépendants
b) A et C sont indépendants
c) B et C sont indépendants
SOLUTION
Énumérons tout d’abord les événements :
• A = {f f f, f f g, f gf, f gg}
• B = {f f f, f f g, gf g, gf f }
• C = {f f g, gf f }
On sait également que |S| = 8. Ainsi,
1
1
1
P (A) = , P (B) = et P (C) = .
2
2
4
a) Si A et B sont indépendants, on a alors que P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Vérifions si cette égalité est vraie. Tout d’abord, A ∩ B = {f f f, f f g}.
Ainsi,
|A ∩ B|
2
1
= =
|S|
8
4
1
1 1
P (A) · P (B) = · =
2 2
4
Puisque les deux sont égaux, alors A et B sont indépendants.
P (A ∩ B) =
b) A ∩ C = {f f g}
P (A ∩ C) =
P (A) · P (C) =
1
8
1 1
1
· =
2 4
8
Donc, A et C sont indépendants.
c) B ∩ C = {f f g, gf f }
1
4
1
1 1
P (B) · P (C) = · =
2 4
8
Puisque les deux ne sont pas égaux, alors B et C sont dépendants.
P (B ∩ C) =
Exemple 1.14. Selon le "Québec statistique 89", la distribution de la
population collégiale selon le secteur et le sexe est
14
PP
PP Sexe
Filles (F)
Secteur PPPP
Garçons (H)
Général (G)
43 103
Technique (T)
42 049
Total
85 152
On prend un collégien de 1989 au hasard.
a) Quelle est la probabilité que le collégien
39 642
33 029
72 671
Total
82 745
75 078
157 823
soit une fille ?
b) Quelle est la probabilité que le collégien soit une fille ayant étudiée en
technique ?
c) Le collégien choisit étudiait en technique. Quelle est la probabilité que ce
soit un garçon ?
d) Est-ce que l’événement : être un garçon (H) et l’événement : étudier au
général (G) sont indépendants ?
6. Formule de Bayes
Exemple 1.15. Il y a trois sacs contenant des pièces de monnaie de telle
sorte que :
Sac 1: 3 pièces de 10¢ et 2 de 5¢
On choisit au hasard un sac et dans ce sac on prend une pièce de monnaie.
1.6. Formule de Bayes
15
a) Quelle est la probabilité de choisir une pièce de 5¢ ?
b) Quelle est la probabilité que la pièce choisie provienne du sac 1 sachant
que c’est un 5¢ ?
SOLUTION
a) Pour répondre à cette question nous aurons besoin de quelques notions.
Définition 9. Deux ensembles E et F sont disjoints si E ∩ F = ∅.
Définition 10. On appelle partition de S une suite de n ensembles disjoints Fi , tel que l’union de ces ensembles est S. Mathématiquement,
F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fn = S.
Le diagramme de Venn suivant montre la partition de S.
S
F1
F2
F3
Fk
Fn
Ceci entraîne le théorème suivant :
Théorème 1.4 (Probabilité totale). Soit F1 , F2 ,... Fn une partition de
l’espace échantillonnal S et soit E un événement. Alors
P (E) = P (E|F1 ) · P (F1 ) + P (E|F2 ) · P (F2 ) + ... + P (E|Fn ) · P (Fn ).
On peut parfois voir cette formule sous la forme
P (E) =
n
X
P (E|Fi ) · P (Fi ).
i=1
Démonstration. On a que
E =E∩S
= E ∩ (F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fn )
= (E ∩ F1 ) ∪ (E ∩ F2 ) ∪ ... ∪ (E ∩ Fn )
P (E) = P ((E ∩ F1 ) ∪ (E ∩ F2 ) ∪ ... ∪ (E ∩ Fn ))
= P (E ∩ F1 ) + P (E ∩ F2 ) + ... + P (E ∩ Fn ) car événements incompatibles
Puisque P (E ∩ Fi ) = P (E|Fi )P (Fi ), on obtient la formule.
Pour bien comprendre, revenons à l’exemple.
Exemple 1.16. Il y a trois sacs contenant des pièces de monnaie de telle
sorte que :
16
On choisit au hasard un sac et dans ce sac on prend une pièce de monnaie.
a) Quelle est la probabilité de choisir une pièce de 5¢ ?
b) Quelle est la probabilité que la pièce choisie provienne du sac 1 sachant
que c’est un 5¢ ?
SOLUTION
a) Ici il y a trois façons de piger un 5¢ : soit dans le sac 1, 2 ou 3. Ainsi,
ces trois événements créent une partition de S. Posons Fi l’événement de
choisir le sac i et l’événement E : piger un 5¢. On cherche donc P (E).
On sait que
P (E) = P (E|F1 ) · P (F1 ) + P (E|F2 ) · P (F2 ) + P (E|F3 ) · P (F3 )
|
{z
} | {z }
piger
un
5¢
|
{z
choisir
piger
le sac 1
un
} | {z }
5¢
|
{z
choisir
piger
le sac 2
un
} | {z }
choisir
5¢
dans le
dans le
dans le
sac 1
sac 2
sac 3
le sac 3
2 1 4 1 3 1
= · + · + ·
5 3 9 3 5 3
≈ 0.481
b) On cherche P (F1 |E). On sait que
P (F1 |E) =
P (F1 ∩ E)
P (E)
On connaît P (E) que nous avons calculé en a), mais calculer P (F1 ∩ E)
peut s’avérer un peu plus complexe avec la définition. Par contre, puisque
P (F1 ∩ E)
P (E|F1 ) =
,
P (F1 )
2
2 1
alors P (F1 ∩ E) = P (E|F1 ) · P (F1 ) = · = . Ainsi,
5 3
15
2
P (F1 ∩ E)
= 15 = 0.277.
P (F1 |E) =
P (E)
0.481
La formule utilisée pour calculer P (F1 |E) de l’exemple précédent se
nomme formule de Bayes. Il s’agit en fait d’un théorème. Énonçons-le et
nous en discuterons par la suite.
Théorème 1.5 (Formule de Bayes). Soit une partition F1 , F2 ,..., Fn
d’un espace échantillonnal S, soit un événement E et soit un événement Fk
de la suite de la partition. Alors
P (Fk ) · P (E|Fk )
.
P (Fk |E) =
P (F1 ) · P (E|F1 ) + P (F2 ) · P (E|F2 ) + .. + P (Fn ) · P (E|Fn )
1.6. Formule de Bayes
17
P (E|Fk ) =
P (Fk ∩ E)
⇒ P (Fk ∩ E) = P (E|Fk ) · P (Fk ).
P (Fk )
Ainsi,
P (Fk ∩ E)
P (E)
P (E|Fk ) · P (Fk )
(Par plus haut)
=
P (E)
P (E|Fk ) · P (Fk )
=
P (F1 ) · P (E|F1 ) + P (F2 ) · P (E|F2 ) + .. + P (Fn ) · P (E|Fn )
P (Fk |E) =
Intuitivement, P (Fk |E) correspond à la proportion de l’ensemble E qui
est comprise dans Fk .
S
F1
F2
F3
Fk
Fn
E ∩ Fk
Exemple 1.17. 80% des québécois sont de bons conducteurs tandis que
20% sont des mauvais. Un bon conducteur a une probabilité de 0.01 d’avoir
un accident au cours d’une année. Cette probabilité passe à 0.1 pour les mauvais conducteurs. Quelle est la probabilité qu’un québécois ayant un accident
soit un bon conducteur ?
SOLUTION
Soit les événements
• F1 : être un bon conducteur
• F2 : être un mauvais conducteur
• E : avoir un accident
On cherche P (F1 |E). Ici, F1 et F2 forme une partition de S. Ainsi,
P (E|F1 ) · P (F1 )
P (F1 ) · P (E|F1 ) + P (F2 ) · P (E|F2 )
0.01 · 0.8
=
0.01 · 0.8 + 0.1 · 0.2
≈ 0.29
P (F1 |E) =
Exemple 1.18. Un geôlier informe trois prisonniers que l’un d’entre eux
a été choisi au hasard pour être exécuté, tandis que les deux autres seront
libérés. Le prisonnier A lui demande de lui dire discrètement lequel de ses
18
camarades d’infortune sera libéré, prétendant qu’il n’y a pas de mal à communiquer cette information puisqu’il sait déjà qu’au moins l’un des deux sera
libéré. Le geôlier refuse, argumentant que si A sait lequel de ses camarades va
être libéré, la probabilité que lui-même soit le condamné augmentera de 1/3
à 1/2, car il saura alors qu’il est parmi les deux personnes encore menacées.
Le geôlier a-t-il raison ?
Exercices
Exercice 1. Soit l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard
un chiffre (entre 0 et 9).
a) Déterminez l’espace échantillonnal S
b) Énumérez les événements suivants :
i) A : Obtenir un résultat pair
ii) B : Obtenir un résultat supérieur à cinq
iii) C : Obtenir un multiple de trois
c) Énumérez les événements suivants :
A∪B, A∪C,
B ∩ C et B 0
d) Calculez les probabilités suivantes :
i) P (A)
iii) P (C ∪ B)
v) P (B ∪ A0 )
ii) P (C)
iv) P (C 0 )
vi) P (A ∪ B ∪ C)
Exercice 2. 50 personnes s’inscrivent à des cours. 20 choisissent l’anglais, 20 l’espagnol, 13 l’italien, 2 l’anglais et l’espagnol, 3 l’espagnol et l’italien, 4 l’anglais et l’italien et 1 personne les trois cours.
a) Faites un diagramme de Venn pour illustrer la situation.
b) Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard
i) Ne suive aucun des cours mentionnés ?
ii) Ne suive ni l’anglais ni l’espagnol ?
iii) Suive exactement deux cours ?
iv) Ne suive pas l’anglais ?
v) Suive l’italien, mais pas l’espagnol ?
c) Calculez les probabilités de b) à l’aide des règles de calculs de probabilité.
Exercice 3. Soit le diagramme de Venn où chaque chiffre représente le
nombre d’éléments présents dans l’ensemble où se trouve le point.
1.6. Exercices
19
S
A
b
C
5
b
12
b
b
4
b
9
D
3
B
b
7
Déterminez
a)
b)
c)
d)
|S|
P (A)
P (A0 )
P (B ∪ C)
e)
f)
g)
h)
P (D|C)
P (C|D)
P (C ∩ D)
P (C ∪ D)
i) P (A ∪ B ∪ C ∪ D)
j) si A et B sont indépendants.
Exercice 4. Soit A, B et C trois événements associés à une expérience
aléatoire. Exprimez de façon symbolique et représentez par un diagramme de
Venn les événements suivants :
a) A ou C se réalisent
b) Au moins un de ces trois événements se réalisent
c) Les trois événements se réalisent
d) B se réalise mais pas A
e) Ni A ni C ne se réalise
f) Un seul des deux événements A ou B se réalise
Exercice 5. On lance deux dés, un rouge et un bleu.
a) Est-ce que j’ai plus de chances d’obtenir une somme égale à 7 ou une
somme égale à 10 ?
b) Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ?
c) Quelle est la probabilité de ne pas obtenir de paire ?
d) Quelle est la probabilité que la somme soit 7 ou que le produit soit 12 ?
e) Quelle est la probabilité que la somme soit 7 et que le produit soit 12 ?
f) Quelle est la probabilité obtenir une différence de 3 entre les deux dés ?
Exercice 6. Un bureau de comptables compte 72 employés répartis ainsi :
20
Vérificateurs (V) Fiscalistes (Fi) Conseillers Finance (C) Total
Hommes (H)
16
6
18
40
Femmes (F)
20
2
10
32
Total
36
8
28
72
On choisit une personne au hasard, quelle est la probabilité que la personne
choisie...
a) soit un homme ?
b) soit une femme fiscaliste ?
c) soit une femme ou conseiller en finance ?
d) soit fiscaliste ou conseiller en finance ?
e) soit fiscaliste si elle est de sexe masculin ?
f) soit une femme si elle est conseillère en finance ?
g) soit vérificatrice si c’est une femme ?
Exercice 7. Une école de musique compte 72 élèves dont 36 jouent du
piano, 24 du violon et 42 de la flûte traversière. De plus, 6 élèves jouent de
ces trois instruments : 16 jouent du piano et du violon ; 10, du violon et de
la flûte traversière et 18, de la flûte traversière et du piano. On choisit au
hasard un élève pour participer à un concert, quelle est la probabilité que cet
élève..
a) joue du piano s’il joue du violon ?
b) joue de ces trois instruments sachant qu’il joue du violon ?
c) joue du violon sachant qu’il joue du piano ?
Exercice 8. En utilisant le tableau ci-contre,
Répartition des enseignants d’un CEGEP selon le sexe
Sexe
Ancienneté
Masculin (M) Féminin (F)
Moins de 5 (A)
95
95
5-10 (B)
95
48
10-15 (C)
119
71
15 et plus (D)
358
119
Total
667
333
Si on sélectionne au hasard un enseignant, quelle est la
soit
et l’ancienneté
Total
190
143
190
477
1000
probabilité que ce
a) un homme de moins de 5 ans d’ancienneté ?
b) une personne de 15 ans et plus d’ancienneté ou une femme ?
c) une personne de 5 et plus d’ancienneté ?
d) une personne de 15 ans et plus d’ancienneté sachant que c’est un homme ?
e) une femme de 10 ans ou plus d’ancienneté ou un homme ?
1.6. Exercices
21
f) une personne de moins de 10 ans d’ancienneté sachant que c’est un
homme ?
Exercice 9. On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Les événements :
a) A :"tirer une carte de trèfle" et B :"tirer un as" sont-ils indépendants ?
Justifier.
b) A :"tirer une carte de trèfle" et C :"tirer une carte noire" sont-ils indépendants ? Justifier.
Exercice 10. Trois mathématiciens cherchent, indépendamment l’un de
l’autre, la solution à un problème. On estime que : P (A trouve la solution) =
0, 8, P (B trouve la solution) = 0, 5 et P (C trouve la solution) = 0, 4
a) quelle est la probabilité qu’ils trouvent tous les trois la solution ?
b) quelle est la probabilité qu’aucun ne trouve la solution ?
c) quelle est la probabilité qu’au moins un des trois trouve la solution ?
Exercice 11. Pour se rendre à une île, 60% des gens utilisent le bateau
(B), 35% l’avion (A) et les autres l’hélicoptère (H). Parmi les gens qui s’y
rendent par bateau, 25% sont des touristes ; ce pourcentage est de 60% chez
les usagers de l’avion et de 10% chez les gens qui utilisent l’hélicoptère. Vous
rencontrez au hasard une personne arrivant sur cette île.
a) Quelle est la probabilité que ce soit un touriste ?
b) Si cette personne est un touriste, quelle est la probabilité qu’elle ait pris
le bateau ?
Exercice 12. 20% des employés d’une usine se rendent à leur travail à
pied, 30% prennent l’autobus et les autres voyagent en auto. On a remarqué
que 5% de ceux qui marchent arrivent en retard, ce pourcentage monte à 12%
chez ceux qui prennent l’autobus et à 20% chez ceux qui voyagent en auto.
Un employé est choisi au hasard.
a) Quelle est la probabilité qu’il soit en retard ?
b) Si cet employé est en retard, quelle est la probabilité que ce soit un piéton ?
Exercice 13. Une machine est contrôlée 60% du temps par madame A
et le restant du temps par monsieur B. Lorsque madame A travaille, 5%de
la production est défectueuse ; lorsque les commandes passent à monsieur
B, on constate que 10% de la production est défectueuse. Vous inspectez la
production de cette machine.
a) Quelle est la probabilité qu’un article soit défectueux ?
b) Vous inspectez un objet défectueux, quelle est la probabilité qu’il ait été
produit lorsque madame A était aux commandes ?
Exercice 14. Dans un cégep où il y a 4 filles pour 3 garçons, une enquête
démontre que 35% des garçons sont des fumeurs contre seulement 21% des
filles. On choisit au hasard un(e) étudiant(e) dans ce cégep. Quelle est la
probabilité
22
a) qu’on choisisse un fumeur ?
b) qu’on choisisse un garçon si cette personne fume ?
Exercice 15. Un chasseur possède trois fusils : A, B et C. Avec le fusil
A, il atteint la cible 9 fois sur 10 ; avec le fusil B, il l’atteint 8 fois sur 10 ;
avec C, il l’atteint 7 fois sur 10.
a) Un bon jour, sans regarder, il prend un fusil au hasard, vise une cible et
la rate. Quelle est la probabilité qu’il ait visé avec le fusil C ?
b) S’il vise la cible une seconde fois avec le même fusil, quelle est la probabilité qu’il rate à nouveau ?
Exercice 16. Il y a deux urnes sur une table : l’urne #1 contient 3
boules rouges et 7 boules blanches ; l’urne #2 contient 4 boules rouges et 5
boules blanches. Vous pigez une boule de l’urne #1 et, sans la regarder, vous
la déposez dans l’urne #2. Vous pigez ensuite une boule de l’urne #2. Quelle
est la probabilité que
a) les deux boules pigées soient blanches ?
b) la deuxième boule pigée soit blanche ?
c) la première boule soit rouge si la deuxième est rouge ?
Exercice 17. Trois chasseurs X, Y et Z atteignent leur cible respectivement 1 fois sur 2, 1 fois sur 3, 1 fois sur 4. Voyant un magnifique orignal
rôder dans le voisinage, vous entendez un coup de fusil tiré par l’un des trois
compères que vous ne pouvez pas identifier et au même moment la pauvre
bête s’affaisse.
a) Quelle est la probabilité que ce soit X qui ait tiré ?
b) Si cette même personne vise à nouveau, quelle est la probabilité qu’elle
atteigne la cible ?
Exercice 18. Jean lance deux dés. S’il obtient un "SIX", alors il choisit
au hasard un prix dans le lot #1 ; s’il obtient 2 "SIX", il en choisit un dans
le lot #2 ; sinon, il choisit dans le lot #3. Le lot #1 contient 3 voyages, 6
bons d’achat, et une automobile ; le lot #2 contient 5 voyages, 3 bons d’achat
et 2 automobiles ; le lot #3 contient un voyage et 9 bons d’achat. Quelle est
la probabilité que
a) Jean gagne l’automobile ?
b) Jean gagne un voyage ?
c) Jean n’ait pas obtenu de "SIX" sachant qu’il a gagné un bon d’achat ?
CHAPITRE 2
Analyse combinatoire
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui consiste
à étudier l’énumération et le dénombrement d’ensembles. Jusqu’ici, calculer
la cardinalité d’un ensemble était simple, car on pouvait énumérer facilement tous les éléments. Par contre, il n’est pas toujours possible de tous les
énumérer, c’est pourquoi nous aurons recours à l’analyse combinatoire.
1. Principes de multiplication et d’addition
Débutons avec deux principes simples, mais très utiles.
Théorème 2.1 (Principe de multiplication). Soit deux événements E et
F disjoints. Alors, il existe |E| · |F | façons que l’événement E et l’événement
F se produisent.
Cette méthode se visualise très bien à l’aide de cases.
Exemple 2.1. De combien de façons puis-je me chausser si j’ai 3 paires
de chaussures et 5 paires de bas ?
SOLUTION
nb de façons = 3 5 = 3 × 5 = 15 façons
Exemple 2.2. J’ai 5 chapeaux, 2 manteaux, 3 paires de bottes et 2 paires
de gants.
a) De combien de façons puis-je me vêtir ?
b) De combien de façons puis-je me vêtir si je dois porter le manteau bleu
et les gants bleus ?
23
24
Intuitivement...
Lorsqu’il y a un OU
dans l’énoncé, on
utilise le principe
d’addition et lorsqu’il
y a un ET, on utilise
le principe de
multiplication.
2. Analyse combinatoire
Théorème 2.2 (Principe de l’addition). Soit deux événements E et F
disjoints. Alors, il existe |E|+|F | façons que l’événement E ou F se produise.
Exemple 2.3. Simon vient au restaurant pour prendre une collation
(c’est-à-dire ou bien un potage ou bien un sandwich, ou bien un dessert).
On lui présente un menu offrant un choix de 5 potages, 7 sandwichs et 4
desserts. Combien de collations différentes peut-il choisir ?
SOLUTION
allo le monde
Exemple 2.4. Combien de plaques d’immatriculation de 6 caractères
peut-on obtenir si nous alternons un chiffre et une lettre ou une lettre et un
chiffre ?
SOLUTION
10 26 10 26 10 26 + 26 10 26 10 26 10
|
{z
débute par un chiffre
}
|
{z
}
débute par une lettre
10 · 26 · 10 · 26 · 10 · 26 + 26 · 10 · 26 · 10 · 26 · 10
=35152000
Exemple 2.5. Dans un groupe formé de 8 femmes et 5 hommes, on
doit choisir 3 représentants. De combien de manières peut-on constituer ce
groupe s’il doit y avoir au moins une femme et au moins un homme et si les
2 personnes de même sexe ont des fonctions différentes.
SOLUTION
allo le monde
Exemple 2.6. Soit un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité
qu’au moins deux personnes aient la même date d’anniversaire ?
SOLUTION
2.2. Permutations sans répétition
25
Soit E : qu’au moins deux personnes aient la même date d’anniversaire.
Dénombrer E est un peu difficile. Par contre, on peut facilement dénombrer
E 0 qui correspond à l’événement "aucune personne n’a la même date de fête".
365 364 363 ... 365-n+1
|E 0 | =365 · 364 · 363 · ... · (365 − n + 1)
On a également
|S| = 365n
D’où
365 · 364 · 363 · ... · (365 − n + 1)
365n
Ce qui est intéressant est de donner certaines valeurs à n. Voici le graphique
de P (E) en fonction du nombre de personnes dans le groupe n.
P (E) = 1 − P (E 0 ) = 1 −
Probabilité d’avoir au moins
deux personnes avec la même date
de fête dans un groupe selon le nombre
de personnes dans ce groupe.
1
Probabilité
0.8
0.6
0.4
0.2
0
n
P (n)
0
10
20
30
40
50
60
70
Nombre de personnes dans le groupe
80
90
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0.4114 0.5687 0.7063 0.8144 0.8912 0.9410 0.9704 0.9863 0.9941
2. Permutations sans répétition
Tout d’abord nous devons définir la notion de factoriel.
Définition 1 (n!). On appelle la multiplication n·(n−1)·(n−2)... 3·2·1
n factoriel qu’on note n!.
Exemple 2.7. Que vaut 5! ?
100
26
SOLUTION
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Théorème 2.3 (Nombre de permutations). Le nombre de permutations
de n objets, noté Pn , est donné par
Pn = n!
Exemple 2.8. Combien existe-t-il de nombres formés des chiffres 1, 2
et 3 ?
SOLUTION
Ici, il s’agit d’une permutation de trois objets. Ainsi, il existe 3! possibilités,
c’est-à-dire 6.
123, 132, 213, 231, 321, 312.
Une autre façon de voir la permutation est avec la méthode des cases.
3 2 1 = 3 × 2 × 1 = 3! = 6
Exemple 2.9. Soit le mot "PULSION".
a) Combien d’anagramme peut-on former ?
b) Quelle est la probabilité qu’une anagramme de ce mot se termine par un
"N" ?
Exemple 2.10. Une bibliothèque possède 10 livres numérotés de 1 à 10.
Les numéros 1 à 3 sont des livres de math, les numéros 4 à 8 sont de français
et les derniers sont de philosophie. Si l’on place les livres au hasard, quelle
est la probabilité que les livres d’une même matière se retrouvent ensembles ?
SOLUTION
Soit E l’événement : les livres d’une même matière se retrouvent ensembles.
Nous cherchons P (E). Déterminons tout d’abord |S|. Il s’agit en fait de savoir combien il y a de façons de placer 10 livres. C’est donc une permutation
2.4. Arrangements
27
de 10 objets. Ainsi, |S| = P10 = 10!. Pour ce qui est de |E| voici comment
faire :
|E| =
P
3
|{z}
·
P
3
|{z}
·
P
5
|{z}
·
P
2
|{z}
permutation permutation permutation permutation
matières
des math
du français de philo
= 3! · 3! · 5! · 2!
= 8640
Ainsi,
P (E) =
8640
≈ 0.00238
10!
3. Permutations avec répétition
Théorème 2.4. Soit n objets formés de k groupes avec respectivement
n1 , n2 ,... nk objets identiques. Le nombre de permutations possibles de ces n
objets est donné par
n!
.
n1 ! · n2 !...nk !
Exemple 2.11. Combien d’anagrammes peut-on créer avec le mot AN AGRAM M E ?
SOLUTION
Ici, il y a 9 lettres dont 3 A et 2 M . Ainsi
9!
= 30240
3! · 2!
Exemple 2.12. À une compétition de saut en longueur, sont inscrits 4
américains, 3 russes, 2 canadiens, 2 japonais et 1 suédois. Si, à la fin de la
compétition, on dresse un classement par nationalité sans égard à l’identité
des personnes, combien y a-t-il de classements possibles ?
SOLUTION
allo le monde
4. Arrangements
Définition 2 (Arrangements). On appelle arrangements le fait de placer
en ordre r objets distincts choisis parmi n objets distincts.
28
Théorème 2.5. Le nombre d’arrangements possible de r objets distincts
choisis parmi n objets distincts, noté Anr , est donné par
Anr =
n!
.
(n − r)!
Démonstration. Utilisons les cases.
n n-1 n-2 n-3 .... n-r+2 n-r+1
Ainsi,
Anr = n(n − 1)(n − 2)....(n − r + 2)(n − r + 1)
Montrons que
n!
= n(n − 1)(n − 2)....(n − r + 2)(n − r + 1)
(n − r)!
n!
n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)(n − r)(n − r − 1)...4 · 3 · 2 · 1
=
(n − r)!
(n − r)(n − r − 1)...4 · 3 · 2 · 1
= n(n − 1)(n − 2)....(n − r + 2)(n − r + 1)
Exemple 2.13. Lors d’une compétition de vélo, on remet trois médailles :
or, argent et bronze. Sachant qu’il y a 14 participants, combien existe-t-il de
façon de créer le podium ?
SOLUTION
A14
3 =
14!
14!
=
= 14 × 13 × 12 = 2184
(14 − 3)!
11!
Exemple 2.14. Combien de mots de quatre lettres distinctes peut-on
former avec les lettres du mot "MULTIPARE" si les deux premières lettres
doivent être des consonnes et les deux dernières lettres des voyelles ?
SOLUTION
allo le monde
5. Combinaisons
Nous sommes intéressés à connaître le nombre de possibilités qu’il existe
de choisir r objets parmi un choix de n objets distincts sans que l’ordre
n’ait un importance. Par exemple, pensons simplement à combien il existe
de mains de 5 cartes.
2.5. Combinaisons
29
Définition 3. On appelle nombre de combinaisons le nombre de possibilités qu’il existe de choisir r objets parmi un choix de n objets distincts
sans que l’ordre n’ait d’importance. On le note

n
r
Théorème 2.6.
ou

n
r
Crn .
n!
(n − r)!r!
=
n!
(n − r)!
Anr =
ce qui correspond au nombre d’arrangement de r objets parmi un choix de
n objets distincts. On sait également qu’un arrangement est une sélection
d’objets avec de l’ordre. Ainsi, pour un choix de r objets, il y a r! arrangements contenant les mêmes objets qui entraîne des combinaisons identiques.
Ainsi,

n
r
=
Anr
n!
=
r!
(n − r)!r!
Remarque 2.1. Si l’on met de l’ordre dans une combinaison en permutant les objets, on obtient un arrangement.

n
Pr = Anr
r
Exemple 2.15. Le département de mathématiques contient 8 hommes
et 6 femmes. On désire former un comité de 5 personnes sur l’égalité entre
hommes et femmes. Combien de comités différents existe-t-il si
a) il n’y a aucune contrainte ?
b) il doit y avoir 3 hommes et 2 femmes ?
c) il doit y avoir au moins une personne de chaque sexe ?
SOLUTION
a) Il y a 14 personnes au total. Ainsi, on a

14
5
b)

= 2002

8
3
6
2
= 840
30
c) On a que

8
6
+
5
5
nb total − nb de comités avec personnes de même sexe = 2002 −
= 1940
Exemple 2.16. Un jeu de cartes contient 52 cartes contenant 13 cartes
de quatre sortes différentes soit de coeurs ♥, carreaux ♦, piques ♠ et trèfles
♣. Les 13 cartes de chaque sorte sont numérotées de 1 (as) à 13, où le 11 se
nomme le valet, 12 est la dame et le 13 est le roi. On tire 5 cartes au hasard
(c’est une main).
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une main de la même sorte ?
b) Quelle est la probabilité d’obtenir un dix, un valet, une dame, un roi et
un as ?
c) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une figure ?
d) Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ?
e) Quelle est la probabilité d’obtenir deux paires ?
SOLUTION
Trouvons tout d’abord |S|. Il s’agit en fait de choisir 5 cartes parmi 52, sans
ordre. Ainsi

|S| =

52
5
a) Ici, on choisit tout d’abord la sorte et par la suite les cartes. Ainsi,
choix
choix
des
sorte
cartes
4
1
13
5
z}|
{ z }|
{
P (main de la même sorte) =

≈ 0.00198
52
5
b)
choix
choix
choix
choix
choix
dix
valet
dame
roi
as
z}|
{ z}|
{ z}|
{ z}|{ z}|
{
P (un dix, un valet, une dame, un roi et un as) =
4
1
4
1
≈ 0.0000394
4
1

52
5
4
1
4
1
2.5. Combinaisons
31
c)
P (au moins une figure) = 1 − P (aucune figure)

40
5

= 1 − 52
5
= 1 − 0.2531
= 0.7468
d)
choix
choix
choix
paire
paire
13
1
4
2
autres
choix
cartes
cartes z
z }| { z}|
{ z }|
{ }|{
3
P (une paire) =
12
3
4
1

52
5
= 0.4226
e)
choix
choix
paires
paires
choix
choix
carte carte
z }| { z }|{ z }|
{ z}|
{
2
P (deux paires) =
13
2
4
2

11
1
4
1
52
5
= 0.0475
Exemple 2.17. Lors d’une réunion du conseil d’arrondissement de Montréal, 12 arrondissements sont chacun représentés par un maire et trois conseillers.
Au cours de cette réunion, on choisit au hasard un comité de cinq membres
pour discuter du scandale des compteurs d’eau qui a éclaboussé le maire
Tremblay.
a) Quelle est la probabilité que le comité soit formé de personnes venant de
cinq arrondissements différents ?
b) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins un maire dans le comité ?
32
On procède aussi à la formation d’un exécutif à l’éthique formé d’un président, d’un vice-président, d’un secrétaire et d’un trésorier. Combien d’exécutifs différents peut-on former si...
c) le président doit être un maire ?
d) il doit y avoir exactement deux conseillers ?
e) les membres viennent de quatre arrondissements différents ?
f) les membres viennent d’un même arrondissement ?
2.7. Exercices
33
6. Résumé
7. Exercices
Exercice 1. Une célèbre chanson pour enfant commence de la façon
suivante :
En allant à St-Ives
J’ai rencontré un homme avec 7 femmes.
Chaque femme avait 7 sacs.
Chaque sac contenait 7 chats.
Chaque chat avait 7 chatons.
Combien de chatons le voyageur a-t-il rencontré ?
Exercice 2. Combien de nombres pairs de 3 chiffres peut-on former en
utilisant sans aucune répétition les chiffres : 1, 5, 6, 8 et 9 ?
Exercice 3. À chaque semaine, un voyageur en commerce doit visiter 4
villes parmi les 8 villes de son territoire. Combien de trajets différents peut-il
se choisir ?
Exercice 4. Combien de nombres peut-on former si on lance un dé pour
obtenir les unités et si on recommence pour les dizaines et pour les centaines ?
Exercice 5. Une association est formée de 14 garçons et 9 filles. De
combien de façons peuvent-ils élire un président, un vice-président, un secrétaire et un trésorier, si
a) les postes de président et de vice-président doivent être occupés par des
garçons et ceux de secrétaire et de trésorier par des filles ?
b) cet exécutif doit être formé de 2 garçons et 2 filles ?
c) les garçons ne sont pas éligibles ?
d) Marie n’est pas éligible ?
34
e) Pierre doit absolument occuper un poste ?
Exercice 6. De combien de façons peut-on disposer sur une étagère 4
copies de chacun des 5 livres d’un ouvrage ? Combien y en a-t-il si les copies
d’un même livre doivent être ensemble ?
Exercice 7. Vous avez acheté un billet de la loto 6/49. Le jeu consiste
à tirer au hasard 6 numéros parmi les numéros 1 à 49. Combien y a-t-il de
combinaisons possibles ?
Exercice 8. Un examen consiste à répondre VRAI ou FAUX à 10 questions. De combien de façons peut-on répondre VRAI à 5 questions et FAUX
aux autres ?
Exercice 9. Une population est constituée de 9 Québécois, 6 Italiens et 4
Américains. On pige au hasard et sans remise un échantillon de 3 personnes
dans cette population. Quelle est la probabilité que l’échantillon comprenne
a) 3 Italiens ?
b) exactement deux Québécois ?
c) exactement 1 Québécois et 1 Italien ?
d) au moins deux Québécois ?
e) au moins 1 Québécois ?
Exercice 10. ♠ On a établi à 105 le nombre de poignée de mains échangées lors d’une réunion. Combien y avait-il de personnes à cette réunion si
on suppose que tous se sont donné la main ?
Exercice 11. L’alphabet contient 26 lettres divisées en 20 consonnes et
6 voyelles.
a) Combien de mots de 6 lettres différentes peut-on former en utilisant 3
consonnes et 3 voyelles ?
b) Combien d’entre eux contiennent la lettre c ?
c) Combien d’entre eux commencent par c et contiennent d ?
d) Combien d’entre eux contiennent c et i ?
e) Combien d’entre eux commencent par d et finissent par c ?
Exercice 12. Trois garçons et trois filles doivent prendre place dans une
rangée de 6 sièges.
a) De combien de façons différentes peuvent-ils s’asseoir ?
b) Combien y en a-t-il si...
i) les gars et les filles alternent ?
ii) deux gars occupent les extrémités ?
iii) les filles sont ensemble ?
iv) on ne doit pas séparer les couples ?
2.7. Exercices
35
v) Pierre et Marie veulent être côte à côte ?
vi) Jean et Julie ne veulent pas être côte à côte ?
Exercice 13. Au bridge, une main comprend 13 cartes. Combien y en
a-t-il
a) avec exactement un as ?
b) avec l’as de coeur ?
c) avec au moins un as ?
d) avec un as et un roi ?
e) avec un as et 3 figures dont 2 rois ?
f) avec une carte de chaque valeur ?
Exercice 14. On lance deux dés. Si la somme des dés est 7, on tire une
main de 4 cartes d’un jeu de 52 cartes (jeu de cartes bleues), sinon on tire
une main de 4 cartes d’un jeu de cartes contenant seulement les valets, les
dames, les rois et les as (jeu de cartes rouges). Quelle est la probabilité
a) de ne pas avoir de figures et d’as dans sa main ?
b) d’avoir 4 as ?
c) d’obtenir exactement une paire ?
d) d’obtenir 4 coeur ?
e) de jouer avec le jeu bleu ?
f) d’avoir au moins un coeur ?
g) de jouer avec le jeu bleu étant donné que la main contient seulement des
figures ou des as ?
Réponses
165
166
8. Réponses
Réponses du Chapitre 1.
1. a) S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b)
i) A = {0, 2, 4, 6, 8}
ii) B = {6, 7, 8, 9}
iii) C = {0, 3, 6, 9}
c)
A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 7, 8, 9}
A ∪ C = {0, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
B ∩ C = {6, 9}
B 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
d)
iv) P (C 0 ) = 3/5
i) P (A) = 1/2
v) P (B ∪ A0 ) = 7/10
ii) P (C) = 2/5
iii) P (C ∪ B) = 3/5
2.
vi) P (A ∪ B ∪ C) = 4/5
a) allo le monde
E
A
b
15
b
1
b
b
16
b
1
b
3
2
b
5
b
7
I
i) P (A0 ∩ E 0 ∩ I 0 ) = 1/10
ii) P (A0 ∩ E 0 ) = 6/25
iii) P (A ∩ E) + P (A ∩ I) + P (E ∩ I) − 3P (A ∩ E ∩ I) = 3/25
iv) P (A0 ) = 3/5
v) P (I ∩ E 0 ) = 1/5
3. a) |S| = 40
b) P (A) = 5/40 = 0.125
c) P (A0 ) = 35/40 = 0.875
d) P (B ∪ C) = 19/40 = 0.475
e) P (D|C) = P (D ∩ C)/P (C) = 0.25
4. a) A ∪ C
b) A ∪ B ∪ C
c) A ∩ B ∩ C
d) B ∩ A0 = B \ A
e) A0 ∩ C 0
f)
5.
b)
c)
d)
e)
(A ∩ B 0 ) ∪ (B ∩ A0 ) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
a) somme=7
P (paire) = 1/6
1 − P (paire) = 5/6
P (S = 7 ou p = 12) = 2/9
P (S = 7 et p = 12) = 1/18
f)
g)
h)
i)
j)
P (C|D) = P (D ∩ C)/P (D) = 0.31
P (C ∩ D) = 4/40 = 0.1
P (C ∪ D) = 25/40 = 0.625
P (A ∪ B ∪ C ∪ D) = 1 − 7/40 = 0.825
A et B sont dépendants.
8. Réponses
f)
6.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
7.
b)
c)
8.
b)
c)
d)
e)
f)
9.
b)
10.
167
P (d = 3) = 1/6
a) P (H) = 5/9
P (F ∩ F i) = 1/36
P (F ∪ C) = 25/36
P (F i ∪ C) = 1/2
P (F i|H) = 3/20
P (F |C) = 5/14
P (V |F ) = 5/8
a) P (p|v) = 2/3
P ((p ∩ f ∩ v)|v) = 1/4
P (v|p) = 4/9
a) P (M ∩ A) = 95/1000
P (F ∪ D) = 691/1000
P (B ∪ C ∪ D) = 810/1000
P (D|M) = 358/667
Soit E : femme de 10 ans ou plus d’ancienneté P (E ∪ M) = 857/1000
Soit G : une personne de moins de 10 ans d’ancienneté P (G|) = 190/667
a) P (A) = P (A|B) = 1/4 donc indépendants
1/2 = P (A|C) 6= P (A) = 1/4 donc dépendants
a) P (A ∩ B ∩ C) = 0, 16
b) P (A0 ∩ B 0 ∩ C 0 ) = 0, 06
c) P (A ∪ B ∪ C) = 1 − P (A0 ∩ B 0 ∩ C 0 ) = 0, 94
11.
a) 0.365
b) 0.411
12.
a) 0.146
b) 0.068
13.
a) 0.070
b) 0.429
14.
a) 0.270
b) 0.556
15.
a) 0.500
b) 0.233
16.
a) 0.420
17.
a) 0.462
18.
a) 0.033
1.
2.
3.
4.
5.
b)
b) 0.570
b) 0.391
b) 0.167
Réponses du Chapitre 2.
7×7×7×7
4×3×2
8×7×6×5
6×6×6
9
a) A14
2 · A2
9
14
2
2
4!
c) A94
d) A22
4
e)
6.
7.
8.
9.
22
3
20!
(4!)5
4!
et 5!
49
6
10
5
a) P(3 Italiens)=
c) 0.349
19
6
3
3
c) 0.781
168
8. Réponses
9
2
b) P(exactement deux Québécois)=
10
1
19
3
9×6×4
c) P(exactement 1 Québécois et 1 Italien)=
9
d) P(au moins deux Québécois) =
e) P(au moins 1 Québécois)=1 −
2
10
1
19
19
3
9
+
3
19
3
10
3
3
10. n = 15
11.
b)
19
a)
2
6
3
6
3
20
3
a) 720
i) 72
ii) 144
iii) 144
iv) 48
v) 240
vi) 480
13.
a)
4
1
b)
1
1
51
12
c)
13
−
d)
4
1
1
44
11
e)
1
2
1
52
4
6
5!
193
18
1
5
2
c)
6!
d)
6!
12.
b)
48
12
48
13
6
18
1
3
4!
6!
4 8
4
36
9
f) 413
14.
2
e)
a) P(de ne pas avoir de figures ou des as)=
b) P(d’avoir 4 as)=
1
·
6
52
4
4
4
+
5
6
16
52
13
4
4
e) P(de jouer avec le jeu bleu)=
52
36
4
4
4
4
4
1
c) P(d’obtenir exactement une paire)= ·
6
1
d) P(d’obtenir 4 coeur)= ·
6
1
·
6
5
+
6
1
6
f) P(d’avoir au moins un coeur)=1 −

13
1
4
2
16
4 4
1 1
52
12
2
4
5
+
6
4
1
4 3 4 4
2
2
1 1
16
4
4
4
4
1
·
6
52
39
4
4
+
5
6

16
12
4
4
52
4
16
4
+
52
16
4
1
·
6
g) P(de jouer avec le jeu bleu étant donné que la main contient seulement des figures ou des as)=
1
·
6
4
5
6