A .. B

I.U.F.M. de Créteil
Mathématique
Zirkel und Lineal
( Compass and Ruler )
Comme GeoGebra ou Geonext,
sur une plate forme Java.
C.a.R. est un logiciel de géométrie dynamique fonctionnant
Alors que GeoGebra donne une grande place à la géométrie analytique et aux expressions
algébriques, C.a.R. privilégie la dénition de macro commandes géométriques.
Gratuit, C.a.R. est disponible sous deux versions : la version de base que nous présentons ici
et une version enrichie d'une interface graphique plus sophistiquée, CaRMetal.
L'objectif de cet exposé est de vous faire découvrir le lociciel et en particulier la mise en oeuvre
de macro commandes.
Le support de cette activité, la motivation comme il faut dire est le développement de la
construction d'un ocon récursif.
Notons que ce ocon de Von Koch sert de base à un des problèmes, ANAL0109, du concours
interne 2009.
Liminaire. Le ocon de Von Koch.
1. L'art du détour.
Pour aller d'un point A à un point B , le plus court chemin est, comme chacun doit le savoir, le segment
de droite [A, B], mais si nous imposons de ne jamais faire plus d'un pas à la suite dans une direction
donnée, il peut être nécessaire de faire un détour.
La
régle du jeu est ainsi la suivante :
Si la distance à parcourir est inférieure à un pas étalon mini on franchit le pas.
Sinon on avance d'un tiers de la distance, on fait un crochet à droite et on redresse pour faire le
dernier tiers du trajet.
Mais plutôt qu'un long discours, un petit programme en Logo est assez explicite.
2. Un exemple en Logo.
POUR ETAPE :LONGUEUR
SI :LONGUEUR > :MINI [ DETOUR :LONGUEUR / 3 ] [ AV :LONGUEUR ]
FIN
POUR DETOUR :PAS
ETAPE :PAS
TD 60
ETAPE :PAS
TG 120
ETAPE :PAS
TD 60
ETAPE :PAS
FIN
Résultats obtenus pour une étape de 150 unités avec un étalon de 200, 100, 40 ou 10 unités.
3. Le ocon de Von Koch.
On applique le principe précédent pour parcourir les trois côtés d'un triangle, ce qui a pour résultat une
étoile plus ou moins compliquée selon le nombre de détours eectués.
Le ocon de Von Koch est la limite de la gure obtenue quand le pas étalon tend vers zéro.
Compass and Ruler, page 2/10 - 3 juillet 2009
I. Environnement.
Le plan de travail de C.a.R. se compose essentiellement d'une triple barre d'outils avec, sous cette barre
d'outils la feuille de dessin et, à gauche un tableau récapitulatif des objets créés.
Sur la gure ci-dessus, la première barre regroupe principalement les utilitaires généraux, avec, dans l'ordre,
Créer une construction, Ouvrir une construction, Sauvegarder une construction, les deux èches et la
poubelle pour Supprimer des objets ou Annuler les suppressions et, très important, une clef plate pour
Modier un objet.
Nous vous laissons parcourir la n de cette ligne ...
La deuxième barre d'outils, classique, regroupe les constructeurs primitifs, point, droite, cercle etc ...
Le choix est assez modeste, mais attendons la n.
La troisième barre, dite barre des macros, complète la précédente en proposant un premier lot de macroconstructeurs les macros dites par défaut .
C'est là que nous trouvons des constructeurs classiques comme Bissectrice et Médiatrice d'une part,
quelques transformations simples d'autre part.
Nous pouvons en venir au fait et construire notre première gure et, bien sûr, notre première macro.
Compass and Ruler, page 3/10 - 3 juillet 2009
II-1. Construire deux points qui divisent un segment en trois parties isométriques.
Nous partons de deux points A et B et, pour appliquer le théorème de Thalès dans des conditions pas trop
défavorables, nous imposons au segment de référence d'être perpendiculaire en A au segment [A, B].
Nous construisons d'abord le milieu du segment [A, B].
Nous traçons la perpendiculaire en A au segment [A, B], puis
1
nous y reportons ( cercle ) les longueurs AB et AB .
2
3
Pour construire le dernier point, ou la longueur AB , nous
2
utilisons l'outil symétrie et il ne nous reste plus qu'à tracer les
trois parallèles qui coupent le segment [A, B] respectivement
aux points M , N et B .
B
N
M
A
Notons que nous avons ajouté les noms des points pour faciliter le dialogue mais que pratiquement nous
évitons cette surcharge de la gure.
II-2. Dénition de la macro-commande.
La macro est un outil, une méthode comme on dirait en Logo, ou une fonction, à qui on transmet des
paramètres dans un ordre précis.
Un clic sur l'icône
Nous validons
Macro nous pose la première question :
Objets initiaux ? .
succesivement les deux points A puis B .
Un nouveau clic sur l'icône
Macro et nous validons les
Objets naux ? , M et N .
Un dernier clic sur l'icône
Macro ouvre une boîte de dialogue qui nous permet de nommer notre
outil, nous l'appelons ici etapes .
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III-1. Détours et détours.
Nous savons découper le segment [A, B] en trois, il nous reste à déterminer l'escale supplémentaire C de
façon à ce que tous les trajets élémentaires aient même longueur.
Sur la feuille de travail, nous plaçons deux points, A et B et nous lançons
la macro etapes .
B
Un clic sur le point A, un clic sur le point B et le tour est joué.
N
Pour déterminer le point C , image du point N dans la rotation de centre
−π
Rotation ( en degrés ! ! ).
, nous utilisons un outil
3
Un clic sur le centre M , un clic sur le point N ....
M et d'angle
M
A
C
Il ne nous reste plus qu'à relier les escales par des segment de doite pour obtenir la gure ci-dessus.
La construction obtenue nous sert à dénir deux macro-commandes qui ne diérent que par les objets
naux produits à partir des deux points A et B ( Attention à l'ordre ! ) :
Le premier outil crée les trois escales M , C et N à partir des deux points A et B , cette macro servira
à ébaucher le squelette pour des constructions ultérieures, nous la nommons detour1_P .
Le deuxième outil renvoie la ligne brisée AM CN B sans que les points M , C et N soient marqués,
cette macro fournit donc un produit presque ni, nous la nommons detour1_L .
III-2. Enregistrer des macros.
Pour sauvegarder notre travail, nous ouvrons le menu Macros et l'option Enregistrer des macros ... puis nous cochons d'un clic ( touche Ctrl pressée ) toutes les macros que nous voulons enregistrer.
Les macros sont enregistrées dans un chier suxé .mcr, ici nous prenons par exemple detours.mcr .
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III-3. Détour de rang deux.
Sur la feuille de travail, nous plaçons deux points, A et B et nous lançons
Un clic sur le point A, puis un clic sur le point B et nous voyons apparaître
les trois escales M , C et N du paragraphe précédent.
notre macro detour1_P .
Pour ne pas charger la gure, nous avons omis les étiquettes des cinq
points, qui sont les mêmes que sur la gure précédente.
Ceci fait, nous lançons
la macro detour1_L qui va nous combler
successivement les trajets [A .. M ], [M .. C], [C .. N ] et [N .. B].
Nous veillons à bien respecter l'ordre des points, sinon nous courons le
risque d'obtenir un contournement par la gauche sur un des détours.
La construction obtenue nous sert à dénir une macro-commande qui renvoie la ligne brisée complète à
partir des deux points A et B , nous la nommons detour2_L , avec un L pour ligne.
III-4. Détour de rang trois.
Sur la feuille de travail, nous plaçons deux points, A et B et nous lançons
notre macro detour1_P .
Un clic sur le point A, puis un clic sur le point B et nous voyons apparaître
les trois escales M , C et N du paragraphe précédent.
B
la macro detour2_L qui va nous combler
Ceci fait, nous lançons
successivement les trajets [A .. M ], [M .. C], [C .. N ] et [N .. B].
A
La construction obtenue nous sert à dénir une macro-commande qui renvoie la
et que nous nommons detour3_L , sur un air maintenant connu ...
ligne brisée complète
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IV. Construction du ocon de rang trois.
La base d'un ocon est un triangle équilatéral ABC dont nous remplaçons les trois côtés par des détours
plus ou moins profonds.
Ici nous avons ajouté les noms des points pour faciliter le discours mais,
pratiquement, nous évitons cette surcharge de la gure.
Sur la feuille de travail, nous plaçons deux premiers points, A et B .
Pour déterminer le point C , image du point B dans la rotation de centre
π
A et d'angle , nous utilisons l'outil
Rotation déjà vu.
C
3
Un clic sur le centre A, un clic sur le point B ....
Ceci fait, nous lançons
la macro detour3_L qui va nous combler
successivement les trajets [A .. B], [B .. C] et [C .. A].
B
A
La construction est terminée et dépend exclusivement des deux points A et B , comme nous pouvons le
vérier en déplaçant l'un d'entre eux.
Quand tout est au point, on utilise l'outil
Cacher un objet pour masquer les trois points A, B et
C et ne laisser visible que la courbe fractale.
V. Programmation ascendante.
Dans la programmation ascendante, on construit d'abord les fonctions les plus élémentaires puis on utilise
ces fonctions comme des briques pour construire des fonctions plus élaborées et ainsi de suite jusqu'à la
fonction principale, la coquille main() des langages C ou Java par exemple.
Notre construction est un exemple de progammation ascendante.
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VI. Sauvegarde et exportation.
La boîte de dialogue Enregistrer la gure sous ... du menu Fichier propose l'enregistrement de la
construction complète sous un format XML suxé .zir.
Un tel chier .zir est lisible avec n'importe quel éditeur de texte, même si sa compréhension est réservée
à une élite de barbus.
Le menu Fichier ore aussi l'option Toujours compresser qui, si elle est cochée, produit un chier
compressé binaire, suxé .zirz et a priori illisible sans des outils adéquats.
Nous ne parlons pas ici des chiers
.job et .jobz.
Par opposition à la sauvegarde, l'exportation n'enregistre que les aspects visibles de la gure, une gure
exportée ne peut pas être rechargée par le logiciel qui l'a créée, la démarche de la construction est perdue.
Le choix du format d'exportation dépend essentiellement du logiciel qui va exploiter l'image produite,
nous retenons trois exemples : Sauvegarder graphiques en PNG qui fournit un bitmap compressé
puis Exporter la gure (EPS) et enn Exporter la gure (FIG) qui méritent notre attention.
VI-1. Le format vectoriel Encapsulated PostScript.
Un document .EPS est une grande page qui contient la gure qui nous intéresse, la fenêtre de visibilité
est dénie par la BoundingBox que l'on peut modier avec un simple traitement de texte.
Le format .EPS est le format idéal pour l'inclusion d'une image dans un document Latex.
VI-2. Le format vectoriel .FIG.
Le format .FIG est le format natif du logiciel XFIG il permet l'intégration de dessins d'origines les
plus diverses comme des courbes géométrique, des formules de chimie ou des schémas d'electronique, pour
en savoir plus, voir l'exposé http ://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/notes/xgs.pdf.
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VII. Une autre construction de la macro détour1 .
Cette construction est proposée dans le problème ANAL0109 extrait du concours 2009 du CAPLP interne,
elle nous est l'occasion de dénir un constructeur pour le centre de gravité d'un triangle.
VII-1. Isobarycentre de trois points.
Sur la feuille de travail, nous plaçons trois points, A, B et C , puis les trois
segments [A, B], [B, C] et [C, A].
A
L'outil Milieu nous sert à déterminer le milieu des deux segments
[A, B] et [B, C] ce qui nous permet de tracer deux médianes du triangle.
Nous reprenons l'outil Point pour tracer le centre de gravité G.
Nous notons cgrav la macro qui aux trois points A, B, C) associe le
point G et nous l'enregistrons dans le chier cgrav.mcr G
B
C
VII-2. Détour de rang un d'après ANAL0109 .
1. Placer deux points distincts A et B et construire le point C image du
point B par la rotation de centre A et d'angle 60◦ .
C
2. Construire le centre de gravité G du triangle ABC .
3. La parallèle à (AC) passant par G coupe le segment [AB] en F .
4. La parallèle à (BC) passant par G coupe le segment [AB] en H .
5. Créer le segment [AF ], puis les segments [F G], [GH] et [HB].
6. Masquer tout ce qui a été dessiné à l'exception des quatre segments
[AF ], [F G], [GH] et [HB] et enregistrer la macro.
G
A
F
H
B
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VIII. Question de bon sens.
Un observateur attentif remarque que
le détour construit à la question II. ou
à la question III. n'a pas le même sens
que celui construit dans la question
VII, pour le problème de concours.
Il peut se demander quel est l'aspect
d'un ocon pris à contresens .
Rien de plus facile avec les macros, il
sut d'inverser l'ordre des trois points
de départ.
Nous notons inverse un ocon
construit à partir d'un triangle de base
dont l'orientation est opposée au sens
du détour, cette appellation est bien
sûr abusive.
IX. Pour conclure.
Les travaux proposés ont été eectués sur la version
ocon de rang un, inverse et direct.
ocon de rang trois, direct et inverse.
6.4 de Z.u.L ( 2007-06 ).
Nous avons insisté sur la dénition des macros dans C.a.R. au détriment d'autres aspects de ce logiciel,
mais on ne fait pas le tour d'un tel outil en une dizaine de pages.
Notons seulement que beaucoup d'informations s'obtiennent d'un simple clic droit sur un objet et que
la littérature concernant CaR ou CaRMetal est abondante sur Internet.
Compass and Ruler, page 10/10 - 3 juillet 2009