La méthode d`Euler en Terminale S

La méthode d’Euler en Terminale S
Il s’agit de la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. Elle est introduite dans le programme de
Terminale pour plusieurs raisons :
- L’étude de l’évolution des systèmes mécaniques ou électriques conduit tout naturellement à des équations différentielles.
- En mathématiques, nos élèves seront familiarisés plus ou moins tardivement avec la résolution analytique de ces équations, à
condition qu’elles aient le bon goût de rester simples.
- Les équations auxquelles nous aboutirons n’ont malheureusement pas toujours de solutions analytiques et seul le calcul
numérique permet d’accéder au graphe de la fonction solution.
- La méthode d’Euler est d’approche très facile et permet de s’affranchir de tout un arsenal mathématique. En contrepartie, elle exige
un apprentissage à l’utilisation d’un tableur de type Excel, Lotus, ou autre …..
- Cet apprentissage, actuellement nécessaire, permettra d’aborder en « physiciens » d’autres problèmes posés en terminale, comme
les lois de la désintégration radioactive.
Résolution d’une équation différentielle
en classe de terminale S
Problème physique posé
Nous allons travailler sur un sujet simple : la décharge d’un condensateur. Nous voulons connaître l’évolution de la tension aux bornes
du condensateur au cours du temps. Pour cela, nous appliquons les lois de l’électricité et nous parvenons à la relation uC +Ri = 0 qui
conduit à l’équation différentielle :
uC + RC.duC /dt = 0 ( 1 )
Nous connaissons la solution analytique de cette équation. C’est une fonction exponentielle qui exprime uC = f(t). Elle répond au
problème. Mais nos élèves n’auront peut-être pas encore étudié cette solution en mathématique. La méthode numérique d’Euler leur
permettra pourtant de tracer le graphe de u C = f(t) avec une excellente précision.
Principe de la résolution par la méthode d’Euler.
Il est très simple : Imaginons qu’on connaisse u C à la date t, la relation (1) permet de calculer du C , variation de uC pendant une durée dt
u
suffisamment petite devant la durée totale du phénomène : du C = -
C
RC
.dt
La connaissance de du C permet alors de calculer une nouvelle valeur de u C à la date t+dt :
uC(t+dt) = uC(t) + duC.
duC
uC
uC + du C
La nouvelle valeur de u C permet de recalculer du C pendant la durée dt suivante, donc de recalculer, par itérations successives, autant de
valeurs de u C que l’on voudra, donc d’obtenir u C en fonction du temps….. ce qui répond bien au problème
1)
2)
3)
4)
Il est évident qu’il faudra :
Connaître les conditions initiales pour amorcer la première itération.
Fixer une valeur de dt « bien choisie »
Fixer un nombre d’itérations suffisant pour que le phénomène soit étudié sur une durée conséquente.
Que le résultat de la méthode d’Euler est forcément « approché », mais l ‘approximation peut devenir excellente. D’autres
méthodes plus précises existent ( hors programme ! ! !)
Préparation du fichier Excel
L’intérêt n’est pas de présenter un tableur « tout fait ». Il faut donc que les élèves élaborent le fichier, alors qu’ils n’auront le plus
souvent aucune formation en informatique. Ce travail est heureusement très simple, mais il exige un petit investissement intellectuel la
première fois.
Nous allons procéder par itération dans un tableur comme Excel.
Nous aurons besoin de 3 colonnes au moins : une pour t, une pour u C et une pour du C. ( Ici colonnes B, C et D )
D’autre part, nous placerons les valeurs de RC dans la case B2 et de dt dans la case B3. En changeant les valeurs écrites dans ces cases,
nous pourrons ajuster ces deux paramètres. Attention : Excel doit comprendre ces valeurs comme des nombres. Il faut alors commencer
la frappe par un signe »= » ( dans B2, on a tapé =0.01 )
Première ligne de calcul ( ligne 5 ci-dessous ) :
Elle « contient » les conditions initiales : t = 0s, u C = 5V. Il suffit de taper les valeurs dans les cases. ( =0 ; =5 )
u
Dans la troisième colonne, il faut maintenant écrire la formule qui permet de calculer du C ( du c = -
C
RC
.dt ). Elle est reproduite dans
la case « Formule » au-dessus de la colonne C.
Explication de la formule
= : car la case contient un nombre ou une formule.
-C5 : -opposé du contenu de la case C5 ( -uC ) (*)
/ $B$2 : diviser par le contenu de la case B2 ( RC ) (*)
*$B$3 : multiplier par dt.
(*) Ecrire C5 ou $C$5 n’est pas équivalent. Excel dispose en effet
de plusieurs modes d’adressage des cases, c’est à dire de
plusieurs façons d’aller lire leur contenu.
$C$5 est un adressage direct. Ecrire =$C$5 dans une case quelconque demande à Excel de lire le contenu de C5 et de le ramener
dans cette case.
Ecrit en D5, =C5 demande à la machine d’aller chercher le contenu de la case de la même ligne 5 située un cran à gauche. C’est un
adressage relatif. Intérêt : si vous recopiez cette case D vers D6, D7, etc.., ces cases contiendront automatiquement l’ordre d’aller
chercher le contenu de la première case à gauche, c’est à dire C6, C7 etc…
On peut évidemment adresser x lignes et y colonnes dessus ou dessous, à gauche ou à droite…
Seconde ligne
Case B6 : =B5+$B$3
Case C6 : =C5+D5
Case D6 : inutile de l’écrire. Il suffit de recopier le contenu de la
case D5. On remarque que C5 se transforme automatiquement en
C6
Il reste à recopier cette ligne autant de fois qu’on désire de points
sur la future courbe.
On sélectionne la ligne 6 : clic gauche enfoncé et maintenu jusqu’à
la ligne 100 par exemple. Puis « Edition », « Recopier vers le
bas »… C’est fini.
Tracé du graphe de la fonction
Sélectionner les colonnes B et C de la 6 ième à la centième ligne. Appeler l’assistant graphique
Choisir « Nuage de points »
Cliquer sur « Suivant » puis sur l’onglet « séries »
Supprimer la série 2.
« Suivant ». Donnez un titre si vous voulez. « Suivant » et « fin ». Le graphe apparaît.
Décharge d'un condensateur
Uc (V)
6
5
4
3
2
Série1
1
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
t(s)
Exploitation
Deux types d’exploitation sont envisageables dans toutes les études faisant intervenir la méthode d’Euler en terminale S
1) Valider le modèle théorique de l’équation différentielle en comparant la courbe donnée par la méthode d’Euler et la courbe
expérimentale ( en les superposant par exemple ). Il faut donc acquérir grâce à un interface la courbe expérimentale. La transférer
dans Excel ( C’est possible en passant par un fichier au format .txt, à partir de Regressi, Généris ou autre ) et comparer au modèle.
2) Simuler l’influence des paramètres sur la décharge.
Par exemple, la courbe ci-dessous est obtenue pour
RC = 0.02s et dt = 0.001s
100itérations
7
6
5
4
Série1
3
2
1
0
0
Attention :
Il est souhaitable de montrer que la méthode d’Euler
fonctionne bien mais seulement si dt est petit devant la
constante de temps du phénomène.
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
6
5
4
Série 1 : Euler
Série 3 : courbe analytique u C = U0* exp(-t/RC)
RC = 0.02s
dt = 0.01s
15 itérations
Série1
3
Série3
2
1
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2