Corrigé 1

Thème : Nombres et calculs
L’exercice
Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? On attend que les réponses soient justifiées.
1. Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs et le tiers des adhérents majeurs
a plus de 25 ans. Un adhérant sur six a donc entre 18 ans et 25 ans.
L’affirmation est vraie. Si on note n le nombre d’adhérents, alors le nombre de majeurs de ce club
n
2 n
n
est égal à . Les deux tiers de ces majuers ont moins de 25 ans, or ˆ “ .
4
3
4
6
2. Durant les soldes, si on baisse le prix d’un article de 30% puis de 20%, au final le prix de l’article
a baissé de 50%.
L’affirmation est fausse. Si p est le prix de l’article avant les baisses, il devient 0, 7p après la première
baisse, puis 0, 8 ˆ p0, 7pq soit 0, 56p après la seconde baisse. mais alors, il a baissé de 44% seulement.
3. Dans un collège, la Troisième A est composée de 15 garçons et 12 filles, tandis que la Troisième B
est composée de 8 garçons et de 22 filles. On s’intéresse aux notes trimestrielles d’Anglais de ces
élèves.
– Dans les deux classes, la moyenne des filles est supérieure de 2,5 points (sur 20) à la moyenne des
garçons.
– L’ensemble des garçons de la Troisième A a une moyenne supérieure d’un point à la moyenne de
l’ensemble des garçons de la Troisième B.
– L’ensemble des filles de la Toisième A a une moyenne supérieure d’un point à la moyenne de
l’ensemble des filles de la Troisième B.
La moyenne générale de la Troisième A est supérieure à la moyenne générale de la Troisème B.
L’affirmation est vraie, conformément à une intuition qui peut être résumée en
!
les moyennes des
filles et des garçons de la Troisième A sont supérieures aux moyennes des filles et des garçons de la
Troisième B, donc la moyenne générale de la Troisième A est supérieure à la moyenne générale de
la Troisième B ". Mais attention, ce pseudo-raisonnement ne vaut pas en général, car il ne prend
pas en compte la répartition des deux catégories d’élèves qui n’est pas la même dans chaque classe.
Le fait que les filles - qui obtiennent les meilleurs moyennes - soient nettement plus nombreuses que
les garçons dans la Troisième B pourrait très bien renverser la tendance.
Notons m la moyenne trimestrielle en Anglais des filles de la Troisième A. Alors, celle des garçons
de la même classe vaut m ´ 2, 5, celle des filles de la Troisième B vaut m ´ 1 et celle des garçons de
la Troisème B vaut m ´ 3, 5.
25
12m ` 15pm ´ 2, 5q
“m´
;
27
18
22pm ´ 1q ` 8pm ´ 3, 5q
5
– Pour la Troisième B : MB “
“m´ .
30
3
– Pour la Troisième A : MA “
5
25
ă on déduit que MA ą MB . Mais, si on imagine que la Troisième B est composée de g
18
3
22 ` 3, 5g
garçons (et toujours de 22 filles), alors sa moyenne est égale à m ´
et pour les valeurs de
22 ` g
g telles que
De
22 ` 3, 5g
25
77
ă
ô 22p18 ` 3, 5gq ă 25p22 ` gq ô 52g ă 154 ô g ă
22 ` g
18
26
c’est-à-dire à partir de g “ 2, la moyenne de la Troisième B devient supérieure à celle de la Troisième
A, bien que pour chaque catégorie d’élèves ce soit le contraire qui soit vrai.
Ce phénomène est connu sous le nom de phénomène d’échelle. Il se manifeste notamment dans
les calculs de salaires moyens de diverses catégories de personnels suivant le type d’entreprise qui
emploie ces personnels. Dans une entreprise de bâtiment, même si les salaires moyens des cadres
supérieurs d’une part et les salaires moyens des ouvriers d’autre part sont supérieurs aux salaires
moyens des mêmes catégories de personnels que dans une entreprise de services informatiques,
la différence de proportions entre les deux catégories de personnel conduit à une inversion de la
moyenne par entreprise des salaires.
La solution proposée par deux élèves de Troisième aux deux premières questions :
Élève 1
Affirmation 1 :
...
Affirmation 2 :
Si un article coûte 80 euros sans les soldes si on enlève 30% :
30
30% de 80 euros :
ˆ 80 “ 24.
100
Si un article coûte 80 euros et qu’on enlève 20% :
20
20% de 80 euros :
ˆ 80 “ 16.
100
Enlever 50% c’est enlever la moitié du prix :
50
ˆ 80 “ 40.
100
24 ` 16 “ 40 Oui, enlever 30% et 20% c’est comme enlever 50%.
Élève 2
3
1
3ˆ3
1ˆ4
9
4
13
´ “
`
“
`
“
4
3
4ˆ3
3ˆ4
12
12
12
Affirmation 2 : Faux, le prix baisse de 30% et ensuite le prix qui a baissé de 30% baisse de 20%.
Affirmation 1 : vrai
Le travail à exposer devant le jury
1- Analysez la production des élèves.
La troisième question peut-elle être proposée à des élèves de Collège ? Si ce n’est pas le cas, à quels
élèves peut-elle être proposée ? Quel phénomène met-elle en évidence ?
‚ Le premier élève ne s’engage pas pour la première question. sans doute n’est-il pas assez sûr de
son calcul fractionnaire. Pour la seconde question, il commet l’erreur classique du retour au prix
initial et du calcul des baisses successives à partir de ce prix initial.
‚ Le second élève donne les bonnes réponses, mais sa justification à la première question laisse
perplexe. Il commence par soustraire les deux proportions, ce qui n’a pas lieu d’être, puis commet
une grossière erreur de signe. Comment arrive-t-il à la bonne réponse ? Ce point reste obscur.
Pour la seconde question, sa rédaction montre qu’il a compris où est le problème : la seconde
baisse est à faire sur un prix qui a déjà baissé. Mais, il ne rédige aucun calcul et ne donne donc
pas une réponse satisfaisante.
‚ La troisième question pourrait être posée à des élèves de Première ES. Elle peut permettre de
souligner le rôle des différences de répartition de chaque catégorie d’élèves dans les deux classes.
Elle introduit aux phénomènes d’échelle.
2- Corrigez cet exercice comme vous le feriez devant une classe de Troisième pour les deux premières
questions et proposer une correction de la troisième question.
Voir ci-dessus.
3- Proposez deux ou trois exercices sur le thème Nombres et calculs.
Exercice 1 : Taux de change
On rappelle que le taux de change de l’euro en dollar est le nombre de dollars qu’on obtient avec
un euro.
a) Si le taux de change de l’euro en dollars est égal à 1,37, combien faut-il donner d’euros pour
avoir 1000 dollars ?
b) Si le taux de change de l’euro en dollars progresse de 1% chaque jour à partir du jour J - où il
est égal à 1,37 - quel est le taux de change le jour J+7 ?
c) Le taux de change de l’euro en dollars est égal à 1,37 et le taux de change de la livre sterling en
dollars est 1,64. Quel est le taux de change de l’euro en livre sterling ?
Exercice destiné à une classe de Première ES.
Exercice 2 : Troisième
Les deux questions sont indépendantes.
– Mon fils a 30 ans de moins que moi. Quel sera son âge quand j’aurai le double de son âge ?
– Dans cette salle de spectacle - qui peut contenir, au plus, 100 personnes,
– la moitié des spectateurs est composée de femmes,
– le tiers des spectateurs est composé de mineurs (i.e. sont agés de moins de 18 ans),
– le quart des spectateurs est composé de bénéficiares de la carte vermiel (+60 ans),
– le sixième des spectateurs porte un chapeau,
– le huitième des spectateurs n’a pas éteint son téléphone portable,
– le neuvième des spetateurs mache du chewingum,
– le douzième des spectateurs est chaussé de bottes,
– le dix-huitème des spectateurs a des moustaches,
– le vingt-quatrième des spectateurs est enrhumé,
– le trente-sixième des spectateurs a perdu son billet.
Combien y a-t-il de spectateurs dans la salle ?