Série 2

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Série 2

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
Deuxième Partie
Résolution des problèmes linéaires
3ième année Licence LMD de mathématiques, USDBlida
14
26. Mettre le programme linéaire suivant sous forme canonique et standard.
Max z = x1 + 2 x2 + 3 x3
2 x1 – x2 – 5 x3 ≤ 2
x1 + 2 x2 – 3 x3 = 1
x1 + 3 x2 – x3 ≥ 3
27. Montrer que le système d’équations n’a pas de solutions :
x1 + 2 x2 - 3 x3 - 4 x4 = 6
x1 + 3 x2 + x3 - 2x4 = 4
2 x1 + 5 x2 – 2 x3 – 6 x4 = 1
28. Montrer que le système d’équations suivant a une infinité de solutions:
x1 + 2 x 2 - 3 x 3 - 4 x 4 = 6
x1 + 3 x2 + x3 - 2x4 = 4
2 x1 + 5 x2 – 2 x3 – 6 x4 = 10
29. Montrer que le système d’équations a une seule solution :
2 x1 + x 2 + 3 x 3 = 4
x1 - 3 x 2 - x 3 = 1
2 x1 - x 2 + 2 x 3 = 3
30. En utilisant les transformations élémentaires, résoudre les systèmes d’équations
suivants:
a) x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 + 3 x2 + 2 x3 + 4x4 = 6
2 x1
+ x3 – x4 = 1
b) x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 5
2 x1 + 3 x2 - x3 – 2 x4 = 2
4 x1 + 5 x2 + 3x3
= 12
31. En appliquant la méthode de Gauss, trouver une solution de base réalisable si elle
existe
a) 2 x1 - 3 x2 + x3 - 4x4 = 6
- x 1 + 4 x2 - 2 x 3 + 5 x4 = 2
x1 + x2
- x 3 + x4 = 8
b) x1 + 2 x2 + 3 x3 – 2 x4 = 3
2 x1 - x2 - x3 + 2 x4 = - 2
- x1 + 3 x2 + 4x3 – 4 x4 = 1
15
32. Utilisant la méthode de Gauss, déterminer une solution générale du système
a) x1 + 21 x2 + 2 x3 + x4 = 3
b) x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 4
2 x1 + 6 x 2 + x 3 - x4 = 8
2 x1 + 3 x2 + x3 + x4 = 10
3 x1 + 4 x2
+ x4 = 15
33. Soient les systèmes d’équations :
a) x1 + 2 x2 + 3 x3 = 3
2 x2 + x 3
b) 2 x1 + 2 x2 – 4 x3 = 6
=2
x1 + 3 x2 - 2 x3 = 9
c) 2 x1 + 3 x2 + 3 x3 = - 4
d) 2 x1 - 3 x2 + x3 = 6
- x1 + x2 - x3 = 2
3 x 2 + x3 = 5
Déterminer toutes les solutions de base de chaque système. Sont-elles réalisables, non
dégénérées ?
34. En utilisant les formules de changement de base, déterminer toutes les solutions de
base réalisables des systèmes :
a) x1
- x3 + 2 x4 = 4
b) 2x1 + 3 x2 + x3
x2 + 2 x3 + x4 = 12
2x1 + 5 x2
xj ≥ 0, j = 1, …, 4
3 x 1 - x2
=9
+ x4
= 31
+ x5 = 6
xj ≥ 0, j = 1, …, 4
35. Démontrer les théorèmes suivants :
a) Chaque problème de programmation linéaire
Minz = c. x
A. x ≥ d
x≥ 0
possède une forme standard équivalente.
b) Chaque problème de programmation linéaire
Max z = c. x
A. x ≤ d
x≥ 0
possède une forme standard équivalente.
16
36. Montrer que si est une forme linéaire identiquement non nulle et si α est un
nombre réel, les ensembles suivants sont convexes :
a) Hyperplan { x / f(x) = α }
b) Demi-espace fermé { x / f(x) ≤ α }
c) Demi-espace ouvert { x / f(x) < α }
d) Segment linéaire [ a, b] = { λ a + µ b /
λ ≥ 0, µ ≥ 0 et λ + µ = 1 }
e) Intervalle linéaire (a, b) = { λ a + µ b /
λ, µ > 0 et λ + µ = 1 }
37. Démontrer que toute somme de deux ensembles convexes est un ensemble
convexe. De même si ( Ai)i∈I est une famille d’ensembles convexes l’intersection
I Ai est un ensemble convexe.
i ∈I
38. Montrer que les définitions suivantes ne sont pas contradictoires :
Un point « s » appartenant à un ensemble convexe C est dit point extrême ou
sommet de C si l’une des conditions suivantes est vérifiée.
1) x, x’∈ C
λ > 0, λ’ > 0, λ + λ’ = 1
alors
s = x = x’
alors
s = x = x’
s = (1 / 2) ( x + x’ )
2) x, x’∈ C
λ > 0, λ’ > 0, λ + λ’ = 1
s = λ x + λ’ x’
3) x, x’∈ C, x ≠ x’
λ, λ’ , λ + λ’ = 1
alors λ = 0 ou λ = 1
s = λ x + λ’ x’
4) C / {s } est convexe
39. Soient C un ensemble convexe et H un hyperplan d’appui à C d’équation
a. x = α.
a) Considérons un élément x ∈ C et supposons que x peut s’écrire sous la
forme : x = λ x1 + ( 1 - λ ) x2 , 0 < λ < 1 avec x1 et x2 tels que au moins un
parmi eux n’appartient pas à H. Vérifier que x n’est pas un élément de H.
b) En déduire que tout sommet de T = C ∩ H est un sommet de C.
17
40. Démontrer que tout ensemble convexe fermé, borné, possédant un hyperplan
d’appui à C possède au moins un sommet.
41. Soit n l’espace vectoriel sur .
On définit le produit scalaire de deux vecteurs de n par :
n
∀ a = ( a1, a2, …, an ) et ∀ x = ( x1, x2 , …, xn ), a. x = ∑ ai xi .
i=
Soit a fixe, a∈n . Montrer que l’ensemble définit par { x∈n / ∃ b∈ , a . x = b } est
un s.e.v de dimension « n-1 ».
On appelle hyperplan de n, tout s.e.v de dimension « n-1 »
Montrer qu’un s.e.v H de n est un hyperplan si et seulement si il existe un vecteur
a∈n et une constante c∈ tel que H = { x∈n / a . x = c, avec a∈n , c∈ }
42. Soit A une matrice : m x n
 = { b, At. u = b avec u = ( u1, u2, …, um ), u ≥ 0 }
a) Montrer que  est un cône convexe.
b) Montrer que le cône convexe + = {α , αt . x ≥ 0, ∀ x∈  } est identique à
B= { y / A . y ≥ 0}.
43. Trouver toutes les solutions de base des problèmes de programmation linéaire
suivants :
a) minz = x1 – x2
x1 + x 2 + x 3 = 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x3 ≥ 0
b)minz = x1 – x2
x 1 + x 2 + x3 = 1
2 x1 + 3 x2 = 1,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x3 ≥ 0
c) max z = - 2 x1 + x2 + x3 + x4
x1 + x2 + 2 x3 – x4 = 2
2 x1 + x2 - 3 x3 – x4 = 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 7
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 4
18
44. Donner toutes les solutions de base réalisables du programme linéaire :
max z = x1 - x2
x1 + 3 / 2 x2 ≤ 4
x1 + x2
≤ 2
2 x1
≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
45. Soient un système d’équations
3 x1 + 2 x2 + x3 = 13
2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 19
et sa solution réalisable x = ( 1, 3, 4 )
A partir de x déterminer une solution de base réalisable.
46. On considère un système d’équations
x1 + 2 x2 + x3 = 12
4 x1 + x2 + 2 x3 = 16
et sa solution réalisable x = ( 2, 4, 2 )
A partir de x déterminer deux solutions de base réalisables.
Montrer que x est une combinaison linéaire convexe de ces solutions de base
réalisables.
47. Soit le système suivant :
x1 + x2 +2 x3 + x4 = 2
2x1 + x2 + 3 x3 + x4 = 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 7
Déterminer deux solutions de base réalisables de ce dernier..
 2 x1 + x2 + 4 x 3 + x4 = 12
 x1 + 2 x2 + x 3 - x4 = 4
48. Soient le système 
et X = ( 1, 1, 2, 1 ) une solution réalisable.
A partir de X déterminer deux solutions de bases réalisables de ce système.
19
49. On considère le problème de programmation linéaire
Min z = x1 - 2 x2 - 3 x3 - x4
4 x1 + x2 + 3 x3 + 2 x4 = 13
3 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 10
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 4
et sa solution optimale x* = ( 0, 11/2, 3/2, 3/2 ). A partir de x* déterminer une
solution de base optimale.
50. En utilisant les théorèmes fondamentaux de la programmation linéaire, résoudre
les problèmes suivants :
a ) Max z = x1 + x2 + x3 + x4
x1 + 3 x 2 + 7 x 3 - x 4 = 6
x1 - x2 - x3 + 3 x4 = 2
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 4
b) Max z = x1 + x2 + x3 + x4+ x5
x1 + x 2 +
2 x4
- x 2 + x3
=3
+ 2 x5 = 1
- x3 + x4 - 2 x5 = -1
x1
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 5
51. On considère les systèmes d’inéquations
a) x1 + x2 ≤ 100
b) x1 + x2 ≥ 1
x1 - x2
≤ 50
x1 - x2 ≥ 1
- x 1 + x2
≤ 25
- x1 + 2 x2 ≤ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
c) x1 + x2 ≤ 1
2 x1 + 3 x2 ≥ 6
- x1 + x2 ≤ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Représenter dans un plan muni d’un repère orthonormé, les ensembles de
solutions des systèmes donnés. Déterminer les points extrémaux des ensembles
obtenus.
52. On considère les problèmes de programmation linéaire
a) max z = 4 x1 + 2 x2
b) max z = 2 x1 + x2
- x 1 + 3 x2 ≤ 9
2 x1 + 3x2
3
ième
≤ 18
année Licence LMD de mathématiques, USDBlida
x1 + x2 ≤ 100
x1 - x2 ≤ 50
20
2 x1 - x2 ≤ 10
- x1 + x2 ≤ 25
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
c) min z = 2 x1 + 4 x2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
d) max z = x1 + x2
3 x1 + 2 x2 ≥ 11
- 2 x 1 + x2
- 2 x1 + x2 ≤ 1
≤2
x1 - x 2 ≤ 0
x1 + x2 ≤ 3
0 ≤ x2 ≤ 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
1) Représenter dans un plan muni d’un repère orthonormé les ensembles des
solutions des problèmes donnés.
2) Déterminer les points extrémaux des ensembles obtenus.
3) Calculer les valeurs des fonctions objectifs z en chacun des points extrémaux.
4) Tracer les droites perpendiculaires aux vecteurs C = ( c1, c2 ) ( composantes des
fonctions objectifs ) passant par chacun des points extrémaux. Commenter les
résultats obtenus.
53. Pour les programmes linéaires donner une interprétation géométrique et trouver la
solution optimale si elle existe. Est-elle unique ?
a) max z = 5 x1 + 3 x2
b) max z = 5/ 2 x1 + x2
3 x1 + 5 x2 ≤ 15
5 x1 + 2x2
3 x1 + 5 x2 ≤ 15
≤ 10
5 x1 + 2 x2 ≤ 10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
c) min z = 2 x1 + 3 x2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
d) max z = 3 x1 + 2 x2
x1 + 2 x 2 ≤ 4
x1 + x2 ≤ 1
6 x1 + 2 x 2 ≥ 8
x1 – 5 x2 ≤ 0
x1 ≤ 3, x2 ≤ 3
x1 – x2 ≥ -1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 + x2 ≤ 6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
e) max z = - 3 x1 + 2 x2
x1
≤3
x1 - x 2
≤0
f) max z = 2 x1 + 2 x2
x1 - x2 ≤ -1
½ x1 + x2 ≤ 2
21
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
54. Utilisant l’interprétation géométrique, résoudre les problèmes :
a ) Max z = x1 - 3 x2 - x3
5 x1 + x 2 + x 3
3 x1 + 4 x2
= 49
- x4 = 19
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 4
b ) Max z = 2 x1 - x2 + 3 x3 + x4
2 x1 + x 2 - 3 x 3
x1
- 3x1
= 10
+ x 3 + x4
+ 2 x3
=7
+ x5 = 4
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 5
c ) Min z = x1 + 2 x2 + x3 - x4 - 6
- x1 + 5 x2 + x3 +
x4 + x5 = 10
2 x1 + x2 + x3 - 3 x4
=6
10 x2 + 2 x3 + 2x4+ 3 x5 = 25
xj ≥ 0, ∀ j = 1, …, 5
max z = cx

55. Soit le problème linéaire suivant (PL)  Ax = b
 x≥0

a) Montrer que si x’ et x’’ sont des solutions admissibles ou réalisables du problème
(PL) alors x = α x’ + ( 1 - α ) x’’ est aussi une solution admissible pour tout
α ∈[α1, α2] avec α1 et α2 à déterminer.
b) si x est une solution admissible, mais pas de base, alors il existe λ ∈ [ 0, 1] et x’ et
x’’ des solutions admissibles tels que x = λ x’ + ( 1 - λ ) x’’.
c) si x est une solution optimale unique de (PL) alors elle est admissible de base.
d) Si le problème (PL) a deux solutions optimales distincts x’ et x’’ alors on a une
infinité de solutions optimales et parmi celles ci il y a au moins une solution de
base.
56. Soit K = { x ∈ Rn, A. x = b , x ≥ 0 }
22
Montrer que x est un point extrême de K si et seulement si x est une solution de
base réalisable du problème A.x = b. En déduire que si K ≠ ∅ alors il a au moins
un point extrême.
max z = cx

57. Soit le problème linéaire suivant ( PL)  Ax = b
 x≥0

Montrer que si on peut trouver un ensemble de k ≤ n vecteurs P1, P2, .., Pk
linéairement indépendants ( nous supposons que les k vecteurs ainsi sélectionnés sont
les k premiers ) et tels que : ξ1 P1 + ξ2 P2+ ..+ ξk Pk = b ,
Alors
ζi ≥ 0.
x = ( ξ1 , ξ2 , …, ξk , 0,…,0 ) est un point extrême de l’ensemble convexe des
solutions possibles de K.
Réciproquement soit x = ( ξ1 , ξ2 , …, ξn ) un point extrême. Les vecteurs Pi associés
aux ξi positifs forment un ensemble de vecteurs linéairement indépendants. Il ne peut
y avoir qu’au plus m . ξi vecteurs linéairement indépendants ( m ≤ n ).
58. Soit un problème de programmation linéaire
Max z = x1 + 3 x2
x1 + 2 x2 ≤ 10
x1 + 2 x2 ≥ 2
2 x1 + x2 ≤ 10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Déterminer en utilisant l’interprétation géométrique :
a) L’ensemble des solutions réalisables du problème.
b) Les sommets de l’ensemble K en donnant leurs coordonnées respectives et la
valeur optimale.
c) Si dans la fonction objective on change le coefficient de c2 en λ
( c-a-d, max z = x1 +λ x2 ), pour quelles valeurs de λ le problème possède une
infinité de solutions.
59. Montrer que le problème linéaire suivant peut se résoudre géométriquement.
max z = x1 - x2
4 x1 - 3 x2 – x3 + x4 + x5 = 6
23
x1 + 4x2 + x3 + x5 = 15
2 x1 – 4 x2 - x3 + x4 = 3
xj ≥ 0, j = 1, …, 5
le résoudre.
60. Trouver la solution du programme linéaire
max z = 2 x1 + 3 x2 - x3 + x4 – 3 x5
x1 - x2
+ x4 - x5 = 100
x2 - x3 + 2 x4 = 20
x3 - x4
≤ 50
xj ≥ 0, j = 1, …, 5
61. Résoudre par la méthode du simplexe le programme suivant :
max z = 2 x1 + 3 x2 + 21 x3 + 2 x4
x1 + x2 - 2 x3 ≤ 2
2 x 1 - x 2 + x 3 + 2 x4 ≤ 2
2 x1 + x 2 + 2 x 3 - x 4
≤1
xj ≥ 0, j = 1, …, 4
62. On considère le programme linéaire :
min z = - 2 x1 + x2
x1 + x2 ≤ 100
x1 - x2 ≤ 50
- x1 + x2 ≤ 25
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
a) par la méthode de simplexe, résoudre le problème.
b) Montrer qu’il a une solution optimale unique.
c) Donner l’interprétation géométrique.
63. par l’algorithme du simplexe, résoudre le problème :
min z = - 2 x1 + x2
x1 - 2 x2 ≤ 4
x1 - 3 x2 ≤ 6
24
- 2 x1 + x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Montrer que ce problème n’a pas de solutions optimale finie. Donner l’interprétation
géométrique.
64. Par la méthode du simplexe, résoudre :
min z = 2 x1 - x2
x1 - 2 x2 ≤ 4
x1 - 3 x2 ≤ 6
- 2 x1 + x2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Montrer qu’il possède une infinité de solutions optimales et une solution de base
optimale. Donner l’interprétation géométrique.
65. On considère le problème de programmation linéaire :
max z = 6 x1 + 8 x2
2 x1 - x2 ≤ 50
3 x1 + 4 x2 ≤ 180
- x1 + 2 x2 ≤ 40
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
a) par l’algorithme du simplexe, résoudre ce problème.
b) Montrer qu’il possède une infinité de solutions optimales.
c) Déterminer deux solutions optimales.
d) Donner l’interprétation géométrique.
66. Le gérant d’un hôtel souhaite renouveler le linge de toilette de son établissement.
Il a besoin de 90 draps de bain, 240 serviettes et 240 gants de toilette.
Une première entreprise de vente lui propose un lot A comprenant 2 draps de bain, 4
serviettes et 8 gants de toilettes pour 200 DA. Une deuxième entreprise vend pour 400
DA un lot B de 3 draps de bain, 12 serviettes et 6 gants de toilette. Pour répondre à ses
besoins, le gérant achète x lots A et y lots B.
25
1) Traduire par un système d’inéquations les contraintes auxquelles satisfont x et y et
les représenter dans un plan rapporté à un repère orthonormé où un point M du
plan est de coordonnées ( x, y).
2) a) Exprimer en fonction de x et y la dépense en DA occasionnée par l’achat de x
lotsA et de y lots B.
b) Est-il possible de procéder aux achats nécessaires avec 5000 DA ? on justifiera
la réponse.
3) Déterminer graphiquement, en précisant la démarche choisie, les nombres de lots A
et B à acheter pour avoir une dépense minimale. Quelle est cette dépense minimale ?
67. On considère les programmes linéaires :
a) max z = 2 x1 + x2
x1 - x2 ≤ 50
- x1 + x2 ≤ 30
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
b) max z = 3 x1 + x2 + x3 + 4 x4 + 10
x1 – 2 x2 + x3 = 15
+ x4 = 10
2 x2
4 x2
- x3 +
x5 = 2
x1 ≥ 0,…, x5 ≥ 0
Par l’algorithme du simplexe, résoudre les problèmes et donner à chaque fois leur
interprétation géométrique.
68. Résoudre
min z = - 2 x1 - 3 x2 + 8
x1 + 2 x 2
+ x3 = 10
2 x1 + x2 + x4 = 20
- x1 + 3 x2 + x5 = 16
xj ≥ 0, j = 1, …, 5
69. Montrer que le problème suivant n’a pas de solutions
minx z = - 2 x1 - x2
26
x1 - x2 ≤ 50
- x1 + x2 ≤ 30
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
70. Parmi les exercices de modélisation ( exos1-25), résoudre ceux qu’on peut leur
appliquer la méthode du simplexe.
71. Soit le programme linéaire suivant :
Max Z = 4 x1 + 3 x2
- x1 + x 2 ≤ 6
2 x1 + x2 ≤ 20
x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
a) Le résoudre graphiquement.
b) Résoudre ce problème par la méthode du simplexe. A chaque itération identifier
les points extrêmes de la solution graphique avec les solutions de base réalisables.
72. Par la méthode des deux phases, résoudre le problème :
min z = - x1 + 3 x2 – 2 x3
2 x1 + 3 x2 + x3 = 12
4 x1 + x2 + 2 x3 = 14
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x3 ≥ 0
73. Par la méthode des deux phases, résoudre les problèmes
a) min z = 2 x1 – 3 x2
2 x1 + 2 x2 + x3 = 6
3 x1 + 5 x2 = 15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x3 ≥ 0
b) max z = x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15
2 x1 + x2 + 5 x3 = 20
x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 10
x1 ≥ 0,…, x4 ≥ 0
3
ième
année Licence LMD de mathématiques, USDBlida
27
c) min z = - 2 x1 - 3 x2 + x3 – 4 x4
x1 + 2 x2 - x3 + x4 = 5
2 x1 + 3 x 2 + x 3 + 2 x 4 = 2
x1 ≥ 0,…, x4 ≥ 0
d) min z = x1 + 2 x2
2 x1 + x2 ≥ 8
x1 + x2 ≥ 6
x1 + 5 x2 ≥
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
74. En utilisant la phase 1 de la méthode des deux phases, montrer que le problème ci
dessous est irréalisable :
MinZ = 2 x1 + x2
x1 - x2 ≥ 8
2 x1 + 3 x2 ≤ 24
2 x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0
28

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