Exercice 1. Haltère accrochée au centre de masse d`un satellite.

¤ PCSI ¤ 12/13. Approfondissement. Série 7.
Exercice 1. Haltère accrochée au centre de masse d’un satellite.
Dans le repère géocentrique Ro ayant son origine au centre O de la Terre, assimilé à un astre de symétrie
sphérique de masse Mo et lié à des axes (OX, OY et OZ) dirigés des « étoiles fixes », le centre de masse G
d'un satellite artificiel S de masse M est animé dans le plan Z = 0 d'un mouvement circulaire et uniforme de
rayon R et de vitesse angulaire .
On note R un repère lié à S et Gyz un trièdre orthogonal de ce repère, Gx étant dirigé de O vers G, Gy le
long de la tangente à la trajectoire de G et Gz orthogonalement au plan de son orbite (voir figure).
Une tige A'A de longueur 2a << R et de masse négligeable est articulée parfaitement en son milieu autour de
Gz. Elle porte à chaque extrémité A ou A' une masselotte de masse m très inférieure à celle de S. On désigne
par T le solide constitué par la tige et les deux masselottes.
 
Les mouvements relatifs de T sont repérés par l’angle   OG, GA .
   
On note K la constante de la gravitation universelle et r = OA , r’ =OA’, r  OA, r '  OA ' .
n  n  1 2
n
On donne : 1     1  n 
 avec   1 .
2
 
1. Expliciter en fonction de K, m, Mo, r, r’, r et r ' la force gravitationnelle s’exerçant sur A et A’.
 
Expliciter en fonction de m, , Rr, r’, r et r ' ces mêmes forces.
Montrer que le moment de ces forces calculé en G, peut s’écrire après un développement limité selon


les puissances de a/R : M  3m 2 a 2 sin  2  u z


2. En appliquant dans le repère barycentrique R* de S un théorème que l'on explicitera soigneusement,
déduire du résultat précédent une équation différentielle (1). (Faire attention à la vitesse angulaire
des masses dans ce référentiel). 
3. Expliciter de la même façon que M la partie principale de l'énergie potentielle Ep de T dans le
repère R.
4. Déduire du résultat précédent une équation différentielle du premier ordre notée (2).
Vérifier la compatibilité de (1) et (2).
5. Décrire les circonstances des mouvements possibles, notamment les éventuelles positions d'équilibre
relatif, ainsi que les petits mouvements éventuels.
Exercice 2. Ascenseur spatial .
L'ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction. Le concept, imaginé en 1960 par l'ingénieur
soviétique Youri N. Artsutanov, fut popularisé par le romancier anglais Arthur C. Clarke en 1979 ("The
fountain of paradise"). L'idée consiste à envoyer un câble très résistant au-dessus de l'équateur et à s'en servir
pour lever des charges en direction de l'orbite terrestre, tel un ascenseur géant. Le but de ce problème est
d'étudier quelques aspects physiques d'une telle réalisation.
Données:
Masse de la Terre
Mo = 5, 98 x 1024 kg
Rayon équatorial de la Terre Ro = 6, 38 x 106 m
Constante de la gravitation K = 6, 67 x 10-11 m3.s-2.kg-1
Accélération de la pesanteur moyenne à la surface de la Terre (équateur) go = 9, 78 m.s-2
Vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport aux étoiles lointaines  = 7,29 x 10-5 rad.s-1.
On note :
T
le référentiel terrestre
T * le référentiel géocentrique
1. Mouvements orbitaux.
La Terre est assimilée à un corps de symétrie sphérique. On néglige ici la masse et l'influence de la Lune,
considérée comme un satellite léger. Les distances radiales r sont mesurées par rapport au centre de la Terre.
1.1 Donner l’expression du champ de gravité Go régnant à la surface de la Terre en fonction de K, Mo
et Ro. Y a-t-il une différence entre Go et go ?
1.2 Déterminer, en justifiant les différentes étapes du calcul, la relation entre le rayon r de l'orbite
circulaire d'un satellite et sa période T de révolution.
1.3 Dans quel plan et pour quelle distance Rgs un satellite est-il immobile dans le référentiel terrestre ?
Résultat à expliciter en fonction de K , Mo et  . Faire l'application numérique.
Comment s'appelle cette orbite ?
2. Equilibre du câble.
Le câble de l'ascenseur (Figure 1) possède une masse par unité de longueur  (r) qui peut éventuellement
dépendre de l'altitude (dans le cas où la section du câble varie, ou si le câble est élastique). Le câble est
positionné exactement à la verticale de l'équateur. On supposera qu'un équilibre stable du câble est
possible dans le référentiel terrestre T , résultant d'un équilibre entre la force de gravité, la force d'inertie

d’entraînement, et la force tensile T (r ) du câble.
2.1 Rappeler la différence entre le référentiel géocentrique T * et le référentiel terrestre T . Lequel
des deux est le plus proche d'un référentiel galiléen ?
2.2 Donner dans un repère de coordonnées sphériques (Figure 1), lié au référentiel T , l'expression


de la force d'inertie d'entraînement Fie  r ,   et de la force de gravité terrestre FG  r  en fonction
de la distance r d'un objet de masse m.
2.3 En tout point N d'altitude r, la partie supérieure du câble exerce sur la partie inférieure une force


T  r  = T  r  er , où T  r  est une fonction de signe positif, dont l'effet est de s'opposer à un
effondrement du câble. Montrer que l'équilibre d’un élément de longueur dr du câble implique

R2 
l'équation suivante: T  r  dr   T  r     r  dr  r  2  G0 T2   0 .
r 

2.4 Le câble se termine à une altitude Rtop par une masse Mtop. En supposant la masse linéique µ du
câble constante, déterminer l’expression de la tension T  r  en fonction de µ, r, Rtop, Ro, Go, 
et T(Rtop) pour toute valeur supérieure à Rbase = Ro = 6380 km.
En étudiant l’équilibre de la masse Mtop, déterminer l’expression de T(Rtop) en fonction de Rtop, Ro,
Go,  et Mtop.
En déduire l’expression de T(r) en fonction de µ, r, Rtop, Ro, Go,  et Mtop.
2.5 Etudier la fonction T  r  entre r =Ro et r = Rtop > Rgs dont on dressera le tableau de variation.
Si la tension T  r  prend une valeur négative, cela est synonyme de comportement en
compression du câble ce qui traduit un effondrement du câble.
Quelle inégalité doit vérifier T  Ro  et T  Rtop  . Déterminer l’expression de T  Rtop  . Conclure.
2.6 Un câble de hauteur R t o p = 145 000 km est-il stable en l'absence de masse M t o p ?