BREVET – 3 exercices de trigonométrie et leur corrigé

BREVET – 3 exercices de trigonométrie et leur corrigé
Exercice 1 : (Clermont-Ferrand 1999)
Le triangle LMN est rectangle en M et [MH] est sa hauteur issue de M.
On donne : ML = 2,4 cm , LN = 6,4 cm
1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle
.
On donnera le résultat sous forme d'une fraction simplifiée.
2) Sans calculer la valeur de l'angle
, calculer LH.
Le résultat sera écrit sous forme d'un nombre décimal.
Exercice 2 (Toulouse 1997)
On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l'unité étant le cm.
a) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
b) Calculer la valeur exacte de AC.
c) Calculer la mesure de l'angle (ABC) à un degré près par défaut.
d) Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M. La parallèle à la droite
(AC) qui passe par M coupe le segment [AB] en N.
Compléter la figure et calculer la valeur exacte de BN.
Exercice 3 (Problème, France métropolitaine 2007)
Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire
recouvrir d'un toit.
Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre.
- Le sol ABCD et le toit EFGH sont des
rectangles.
- Le triangle HIE est rectangle en I. - Le
quadrilatère IEAB est un rectangle.
- La hauteur du sol au sommet du toit est HB.
On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5
Partie I
On suppose dans cette partie que AE = 2 .
1) Justifier que HI = 3 .
2) Démontrer que HE = 3, 75 .
3) Calculer au degré près la mesure de l'angle
du toit avec la maison.
Partie II
= 45° et
Dans cette partie, on suppose que
on désire déterminer AE.
1) Quelle est la nature du triangle HIE dans ce
cas ? Justifier.
2) En déduire HI puis AE.
Partie III
Dans cette partie, on suppose que
= 60° et
on désire déterminer AE.
1) Déterminer la valeur arrondie au cm de HI.
2) En déduire la valeur arrondie au cm de AE.
Corrigé de l’exercice 1
1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle
2) Sans calculer la valeur de l'angle
.
, calculer LH.
Si on considère le triangle rectangle LHM, nous avons :
Les deux angles
et
étant identiques,
.
Corrigé de l’exercice 2
a) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
b) Calculer la valeur exacte de AC.
Le triangle ABC est rectangle en A par hypothèse. On peut donc utiliser le théorème de
Pythagore :
AC2 + AB2 = BC2
AC2 + 52 = 92
AC2 = 92 - 52
AC2 = 81 - 25
AC2 = 56
ou AC = AC =
AC est une longueur donc un nombre positif :
La valeur exacte de AC est
.
c) Calculer la mesure de l'angle
à un degré près par défaut.
ABC est un triangle rectangle par hypothèse. On peut donc utiliser la trigonométrie.
Par rapport à l'angle
, on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse : on va donc utiliser le
cosinus.
La calculatrice donne environ 56,2°.
L'angle
mesure 56° à une unité près
d) Compléter la figure et calculer la valeur exacte de BN.
Dans le triangle ABC, la droite (MN) est parallèle au segment [AC]. On peut utiliser le théorème
de Thalès.
On a :
M est le point d'intersection du cercle et du segment [BC] donc le segment [BN] est un rayon et il
mesure 5 cm.
Le segment [BN] mesure
cm.
Corrigé de l’exercice 3
Partie I
1) Les droites (IE) et (BA) sont deux perpendiculaires à HB et donc sont parallèles. Le quadrilatère
BAEI qui a un angle droit en B est donc un rectangle et IB = AE = 2.
I étant situé entre H et B, nous avons HI + IB = HB ou HI = HB - IB = 5 - 2 = 3.
2) BAEI étant un rectangle, IE = AB = 2,25.
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle HIE pour déterminer la longueur HE.
HE2 = HI2 + IE2 = 32 + 2,252 = 9 + 5,0625 = 14,0625 = 3,752. donc HE = 3,75.
3)
; Cette valeur correspond à un angle de 37° à un degré près.
Partie II
Si l'angle
mesure 45°, le triangle HIE est isocèle rectangle en I et HI = IE = 2,25.
Nous pouvons en déduire que IB = HB - HI = 5 - 2,25 = 2,75. AE qui est le côté opposé à BI dans le
rectangle AEIB a la même mesure que IB. Donc AE = 2,75.
Partie III
Si l'angle
mesure 60°,
à 1 cm près, HI = 1,3 m.
AE = BI = HB - HI = 5 - 1,3 = 3,7. à 1 cm près, AE = 3,7 m.