Devoir commun de Seconde Durée : 1 h 50 min

Lycée Saint-Sernin – TOULOUSE
février 2006
Devoir commun de Seconde
Durée : 1 h 50 min
Exercice 1
(8 points)
On dispose un grillage de longueur 20 mètres,
face à un mur, de façon à obtenir un enclos
ABCD rectangulaire. On note x la longueur AB.
Partie A
1. Exprimez en fonction de x la longueur BC. Pourquoi
doit-on choisir x dans l’intervalle [0 ; 10] ?
2. Montrer que l’aire du rectangle ABCD peut s’écrire  2 x 2  20 x
Partie B
Etude de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ;10] par f ( x )  2 x 2  20 x
1. a) Démontrer que, pour tout x appartenant à [0 ; 10], f ( x )  2( x  5) 2  50
b) En déduire que pour tout x appartenant à [0 ; 10], f ( x )  50
2. Montrer en utilisant l’expression donnée à la question précédente que la fonction f est
croissante sur l’intervalle [0 ; 5]
3. On admet que la fonction f est décroissante sur [5 ; 10] Dresser le tableau de variation de f.
4. Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
f(x)
0
1
2
3
4
4,5
5
5,5
6
7
8
9
10
 
Tracer Cf, la courbe représentative de f dans le repère repère O, i , j  .on prendra un centimètre pour
unité sur les deux axes.
5. Résoudre graphiquement :
a) f ( x )  42
b) f ( x )  55
c) f ( x )  42
d) f ( x)  18
Partie C
1. L’aire définie par le grillage peut-elle être égale à 48 m² ? Si oui pour quelles valeurs de x ?
2. L’aire peut-elle être égale à 52 m² ? Pourquoi ?
3. Quelle valeur de x faut-il choisir pour que l’aire définie soit la plus grande possible ?
Exercice 2
(5 points)
 
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j  .
On considère les points A(-3 ; 5), B(-2 ; -1) et C(3 ; 0). On fera la figure, et on la complètera au fur et à
mesure.
1. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD est un parallélogramme.
2. Calculer les coordonnées du point M intersection des diagonales de ABCD
3. Soit E(8 ; 1). Démontrer que B, C et E sont alignés
4. Soit F(-8 ; 4). Montrer que (BF) est parallèle à (AC)
5. Calculer AB, BC et AC
6. Le triangle ABC est-il rectangle ?
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Exercice 3
février 2006
(3 points)
Soit N un entier naturel à quatre chiffres. On sait que le chiffre des centaines est 2, le chiffre des
dizaines est 3 et on sait aussi que N est un nombre divisible par 30. Quelles sont les valeurs possibles
de N ?
Exercice 4 : QCM
La fonction g est définie sur [-4 ; 2] et admet pour tableau de variation :
1
x
-4
-2
-1
2
1
1
2
2
g(x)
-1
-1
(2 points)
2
-1
2
Pour chaque question, quatre phrases sont proposées. Une seule de ces phrases est vraie. Préciser
laquelle (on ne justifiera pas la réponse)
Une bonne réponse rapporte un point
mais ATTENTION, une mauvaise coûte un demi point. Le total ne pourra cependant pas être négatif.
a) le réel 0 n’a aucun antécédent dans [-4 ; 2]
b) le réel 0 possède un seul antécédent dans [-4 ; 2]
Question 1 :
c) le réel 0 possède deux antécédents dans [-4 ; 2]
d) Aucune des trois réponses précédentes n’est vraie
a) g(-3) est supérieur ou égal à g(- 2)
b) g(-3) est supérieur ou égal à g (- 2,5)
Question 2 :
c) g(-3) est supérieur ou égal à g(1)
d) On ne peut pas savoir si une des trois réponses précédentes est
vraie.
Exercice 5
(2 points)
La question posée est un problème ouvert, c’est-à-dire un exercice non guidé. Si l’objectif final est de
trouver une réponse, il n’est pas indispensable d’en arriver là. Toute tentative, toute piste de recherche
peuvent rapporter des points. Il faut OSER écrire quelque chose qui ait du sens.
Soit n un entier. Le nombre N  n 2  n  41 est-il toujours premier ?
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février 2006
Correction du devoir commun de seconde. Février 2006
Exercice 1
Partie A
1. La longueur du grillage est AB + BC + CD. Cela fait x+BC+x=20 et donc BC = 20- 2x ou
BC=2(10- x). Une longueur doit être positive, donc x et 10- x doivent être positifs ; cela se traduit
par x  0 et x  10.
2. L’aire du rectangle s’exprime par AB×BC ou x(20- 2x) ou 20x- 2x2.
Partie B
1. a) On peut choisir de partir de l’une ou l’autre des deux égalités, suivant la facilité qu’on y trouve. Par
exemple,
-2(x- 5)2+50 = -2(x 2- 10x+25)+50 =-2x 2+20x- 50+50 =-2x 2+20x.
b) le nombre (x- 5)2 est positif donc -2(x- 5) 2 est négatif. Ce dernier nombre est égal à f (x)- 50.
Ecrire f (x)- 50=0 ou f (x)=50, c’est la même chose.
2. Soient deux réels a et b tels qu’on ait 0  a<b  5. Alors
* -5  a-5 < b-5  0 (ajouter -5 aux membres d’une inégalité n’en modifie pas le sens)
2
2
* 0  (b- 5) < (a- 5)  25 (élever au carré des nombres négatifs -  0-change le sens)
* -50  -2(a- 5)2 < -2(b- 5)2  0 (multiplier par le réel négatif -2 change le sens)
* 0  -2(a- 5)2+50 < -2(b- 5)2+50  50 (ajouter 50 ne change pas le sens)
On a donc 0  f(a)<f(b)  50. Les implications qui conduisent de la première inégalité en caractères
gras à la seconde établissent que f est une fonction croissante sur l’intervalle [0 ; 5].
3. f (0)=0 ;f (5)=50, f(10)=0 donc le tableau est
4.
x
0
5
50
10
f
0
0
Conseil pour le tableau qui suit : Sur une calculatrice TI, dans [Y=] mettre Y1:-2X²+20X puis dans
[TBLSET], attribuer 0 à TblStart et la valeur 0.5 à ΔTbl. Le tableau est prêt dans [TABLE]
x
0
1
2
3
4
4,5
f(x)
0
18
32
42
48 49,5
x
5
5,5
6
7
8
9
f(x)
50 49,5 48
42
32
18
5. Les solutions sont visibles aussi bien dans le
tableau que le graphique : x
* f(x)=42 correspond aux points notés B et C sur le
dessin, donc x=3 ou x=7. L’ensemble des solutions
est {3 ; 7}
* f(x) = 55 n’a pas de solution ou : l’ensemble des
solutions est {}
* f ( x )  42 entre les abscisses des points B et C, soit
x élément de l’ensemble des solutions [3 ; 7].
* f(x)<18 ; c'est le cas à gauche du point A et à droite
du point D donc x élément de [0 ; 1[ U ]9 ; 10]
Lycée Saint-Sernin – TOULOUSE
février 2006
Partie C
1. Selon le tableau de valeurs l’aire est de 48 m² si le côté AB mesure 4 m (et le côté BC 12 m) ou
si AB mesure 6 m (et le côté BC 8 m)
2. L’aire ne peut dépasser 50 m² donc 52 m² est une valeur jamais atteinte..
3. Comme on peut l’observer sur le graphique ou à partir de la question 1 de la partie B, l’aire
maximum est de 50 m² quand AB mesure 5 m (et BC 10 m)
Exercice 2
1. Si ABCD est un parallélogramme, alors AB  DC et donc OB - OA = OC - OD ou encore
(-2 i - j ) - (-3 i + 5 j ) = (3 i )- OD . Donc OD = 2 i + 6 j qui exprime que les coordonnées de D
sont (2; 6).
2. M est le milieu de [AC] donc OM = ( OA + OC )/2. On obtient M: (0 ; 2,5).
3. BC = OC - OB =5 i + j .et BE = OE - OB =10 i + 2 j . On a BE =2 BC ; ceci établit que les deux
vecteurs sont colinéaires et utilisent le même point B ; les trois points sont donc alignés et C est au
milieu.
4. BF = OF - OB =-6 i + 5 j alors que CA = OA - OC =-6 i + 5 j . On a BF = CA ce qui prouve à la
fois que (BF) et (AC) sont parallèles mais aussi que BFAC est un parallélogramme.
5. AB= (2  3)²  (5  1)² = 1  36 = 37 . On calcule selon la même méthode BC et AC et on trouve
BC= 26 et AC= 61 .
6. Essayons maintenant le théorème de Pythagore :AC² = 61, AB² + AC² = 37 + 26 = 63. En absence
d’égalité, on peut déduire que le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exercice 3.
Un nombre divisible par 30 doit être divisible par 10 et par 3. Pour être divisible par 10, le chiffre des
unités doit être 0. Pour être divisible par 3, la somme des quatre chiffres doit être multiple de 3. Si on
appelle m le chiffre des milliers, il faut donc que m+2+3+0 soit multiple de 3. Les chiffres qui
conviennent sont 1, 4 et 7. Les nombres qui sont solutions de cet exercice sont donc 1230, 4230 et 7230.
Exercice 4
Question 1 : la réponse est b) car 0 possède quatre antécédents, un pour chaque intervalle ou la fonction
est monotone et change de signe.
Question 2 : la réponse est d) car g(-3) est inférieur ou égal à g(-2) et g(-2,5) (valeurs d’un intervalle où
la fonction est monotone croissante) et, quant à g(1), il ne peut être comparé à g(-3) ; tout ce qu’on sait
est que ces valeurs sont inférieures à 1/2.
Exercice 5
Conjecture connue et ancienne, objet de recherches jusqu’à ce qu’on s’avise que si n=41, le nombre N est
multiple de 41 (c’est alors 41²-41+41=41²) et n’est donc pas premier.
Dans ce type d’exercice sans guide, il est raisonnable de faire des essais comme :
 Si n=2 alors N=43, nombre premier
 Si n=3, alors N=47, nombre premier
 Si n== 5 alors N=61, nombre premier
 …
Mais c’est long et l’ensemble des nombres premiers est infini ! Après, il faut réfléchir… mais si on n’a
que ces exemples à proposer, il faut les écrire.