Peut-on tout démontrer ? INTRODUCTION I. PREMIERE PARTIE

Peut-on tout démontrer ?
INTRODUCTION Un avocat habile n’apprend-­‐il pas à soutenir n’importe quelle thèse, à l’aide d’une argumentation 1
vraisemblable ? Un habile rhéteur est en mesure de développer n’importe quelle démonstration. Mais qu’entendons-­‐nous alors par démonstration ? Si la démonstration consiste seulement à appuyer une thèse par des raisons, c’est-­‐à-­‐dire à argumenter en faveur d’une thèse, alors il semble possible de démontrer tout et son contraire. Il y a dès lors autant de démonstration que d’avis et d’opinion. Cependant, ne faudrait-­‐il pas plutôt relier la démonstration à la notion de vérité ? Dans ce sens, démontrer une thèse reviendrait à en établir la vérité, notamment par une déduction. Mais si nous réduisons la démonstration à ce qui dont on peut rigoureusement démontrer la vérité, peut-­‐on alors tout démontrer ? Toute démonstration dépend de ses prémisses : est-­‐il possible de démontrer la vérité de ces prémisses ? Ces prémisses demanderaient donc elles-­‐mêmes une démonstration, ce qui amènerait à une régression à l’infini. Mais d’un autre côté, si les fondements de la démonstration ne sont pas des « vérités », la démonstration elle-­‐
même disparaît, ne reposant sur rien de stable et de sûr. S’il n’est pas possible de démontrer les prémisses d’une démonstration, cela ne signifie-­‐t-­‐il pas que la science demeure incertaine, car jamais complètement prouvée ? Peut-­‐on démontrer tout ce que l’on sait ? Toute vérité est-­‐elle donc démontrable ? Si elle n’est pas démontrable, pourquoi la tenons-­‐nous pour une vérité ? Tout démontrer peut paraître impossible, car on irait alors, semble-­‐t-­‐il, à l’infini (il faudrait démontrer les prémisses, puis les prémisses de cette nouvelle démonstration) ; mais comment renoncer à la démonstration sans renoncer à l’objectivité ? -­‐> Plusieurs problèmes sont ici enchevêtrés : -­‐ S’il n’y a pas de critère fiable de la vérité, tout est démontrable, car on peut trouver une raison à tout -­‐> mais dans ce cas, on perd la distinction entre la science et l’opinion. -­‐ Si l’on s’en tient à l’idée d’une démonstration scientifique (en la distinguant de l’opinion), dont le critère est la vérité, est-­‐il possible de démontrer même les prémisses ? -­‐ Si l’on ne peut pas démontrer les prémisses d’une démonstration, comment renoncer à la démonstration de toutes choses, sans renoncer à l’objectivité ? Sur quoi sont fondées ce que qualifions de « vérités » ? I. PREMIERE PARTIE : PEUT-­‐ON TROUVER UNE RAISON A TOUT ? Thèse : Si nous comprenons « démontrer » comme « donner des arguments en faveur d’une thèse », alors il est possible de tout démontrer, mais la démonstration s’apparente à de la rhétorique. A.1. Au premier abord, donc, il semble possible de démontrer tout et n’importe quoi, c’est-­‐à-­‐dire de donner des raisons appuyant n’importe quelle thèse ou défendant n’importe quel comportement. On peut ici penser à l’avocat qui peut défendre la légitimité d’un comportement odieux. Ici « démontrer » est compris comme donner des arguments par exemple en faveur d’une thèse. Certes les démonstrations peuvent être plus ou moins efficaces, mais la forme même de la démonstration, consistant à appuyer par exemple une thèse par d’autres thèses peut s’appliquer à toutes choses : la démonstration peut ne pas persuader quelqu’un mais il demeure possible d’élaborer une démonstration pour toutes choses. Il s’agit alors de rhétorique et relève de l’art de persuader (≠ convaincre). A.2. N’est-­‐ce pas ce dont le célèbre sophiste Gorgias prétend être capable, dans le dialogue Gorgias de Platon ? Gorgias prétend pouvoir persuader un auditoire de n’importe quoi. Il tente, dans ce dialogue, de convaincre Socrate de la puissance de la rhétorique, en lui montrant qu’aucun domaine ne lui échappe et que là où un médecin, par exemple, serait impuissant à convaincre ses patients de la nécessité de prendre un remède, la rhétorique y parviendrait : « Car il n’y a rien dont l’orateur ne puisse parler, en public, avec une plus grande force de persuasion que celle de n’importe quel spécialiste. Ah, si grande est la puissance de cet art rhétorique ! » (Platon, Gorgias, 456c). Il s’enorgueillit ainsi de pouvoir démontrer qu’il est meilleur médecin qu’un vrai médecin, et assure qu’il serait choisi à l’insu des vrais médecins grâce à son art oratoire. Gorgias met 1
Ce qui explique qu’en France, la plupart des politiciens sont des avocats de métier, incapables de gouverner mais capables de vendre une idée. 1 Peut-on tout démontrer ?
ici en avant le pouvoir absolu, illimité de la rhétorique : il serait possible grâce à celle-­‐ci de tout démontrer. Rien ne saurait pour un bon rhéteur être indémontrable : les seules limites de la démonstration seraient liées à l’incompétence du rhéteur, mais en soi tout est démontrable. Autrement dit, le domaine de la démonstration, de la persuasion, de l’argumentation semble bel et bien illimité. L’activité ici en jeu n’est autre que la sophistique. A.3. Mais cette puissance même de la rhétorique n’est-­‐elle pas ce qui en fait la faiblesse ? La démonstration (au sens où l’on parle d’une « démonstration de force ») de sa capacité de tout démontrer et son contraire, n’est-­‐
elle pas de nature, quand on en a pris conscience, à nous faire douter de toute démonstration ? Pouvoir tout démontrer, c’est ne pouvoir rien démontrer en particulier ; et à vouloir trop prouver, le rhéteur ne fait que prouver la vanité de toute démonstration. TRANSITION : Si donc la « démonstration » rhétorique ne peut démontrer sa puissance universelle qu’en démontrant son impuissance, qu’en est-­‐il de la vraie démonstration, c’est-­‐à-­‐dire de la démonstration du vrai ? Si l’on ne peut pas démontrer tout ce que l’on veut, ne peut-­‐on pas soutenir cependant que toute vérité est démontrable ? Démontrer, c’est donc distinguer le vrai du faux. Cela signifie que “tout” n’est pas démontrable. Il s’agit plutôt de savoir si toute vérité (et non pas tout et n’importe quoi) est démontrable. II. PEUT-­‐ON ETABLIR UN DOMAINE DES SCIENCES, OU LA VERITE EST SURE CAR TOUJOURS DEMONTREE ? (Distinction conceptuelle :) Le problème de ce premier temps de notre analyse est le manque de distinction entre la simple persuasion et la démonstration. Un élément, notamment, a été laissé de côté, pourtant essentiel au concept de démonstration : le rapport de celle-­‐ci à la vérité. La démonstration ne consiste pas seulement à appuyer une thèse par d’autres thèses, mais à établir la vérité d’une thèse ou d’une proposition. Autrement dit, démontrer A revient à prouver que A est vrai. En ce sens, la démonstration est étroitement liée à la notion de vérité, ce qui s’oppose à la sophistique abordée auparavant pour laquelle tout est démontrable, y compris ce qui est faux ou ce qui n’est pas. C’est la définition qu’en donne Aristote, dans les Topiques (100A) : « Le syllogisme est un discours dans lequel, certaines choses étant posées, une autre chose différente d’elles en résulte nécessairement, par les choses mêmes qui sont posées. – C’est une démonstration quand le syllogisme part de prémisses vraies et premières, ou encore de prémisses telles que la connaissance que nous en avons prend elle-­‐même son origine dans des prémisses premières et vraies ». Un raisonnement n’est donc une démonstration que quand le raisonnement est logique et quand les prémisses sont vraies. En effet, un raisonnement peut être logiquement valide mais matériellement faux (Toutes les hommes sont bleus, or Socrate est un homme, donc est bleu). La cohérence est une condition nécessaire mais non suffisante de la vérité. Cependant, nous avons vu dans la définition de la démonstration proposée par Aristote que le point de départ, les prémisses de la démonstration doivent être vraies, certaines en elles-­‐mêmes. Or, comment prouver la vérité de ces prémisses ? Par une autre démonstration ? Mais alors nous aurions une régression à l’infini, la démonstration des prémisses dépendant de prémisses qui devront à leur tour être démontrées. L’une des solutions possibles serait d’envisager qu’il existe des vérités premières, évidentes par elles-­‐mêmes : en cela, elles n’auraient pas besoin de démonstration, leur vérité étant évidente. C’est ce que soutient le rationalisme. Aristote, dans les Topiques, définit ainsi les vérités premières : « Sont vraies et premières les choses qui tirent leur certitudes, non pas d’autres choses, mais d’elles-­‐mêmes ». Dans ce cas, la condition de possibilité de la démonstration est l’existence de propositions vraies par elle-­‐même, évidentes : ce que nous appelons des axiomes. Ces axiomes sont le fondement sur lequel repose la démonstration. Nous avons vu en ce deuxième temps que la démonstration doit être conçue comme l ’établissement de la vérité d’une proposition à partir de prémisses considérées comme vraies. En ce sens, on ne peut démontrer que ce qui est vrai. On a vu également que le fondement de la démonstration ainsi conçue est l’existence de vérités premières. Autrement dit, le présupposé de la démonstration est l’existence de vérité première, absolue, indubitable. Il s’agit désormais de questionner ces « vérités premières ». III. DEMONSTRATION ET RELATIVISME 2 Peut-on tout démontrer ?
La condition de possibilité de la démonstration réside notamment dans l’existence de vérités premières. Or de telles vérités évidentes et certaines existent-­‐elles ? Les axiomes d’Euclide en géométrie, ont longtemps été considérés comme de telles vérités évidentes, intuitives, indémontrables, sur lesquelles reposent ensuite toutes les démonstrations. Cependant, le développement de la géométrie non-­‐euclidienne a permis de montrer que certains de ses postulats, considérés comme des axiomes, doivent plutôt être considérés comme des hypothèses de travail que comme des vérités absolues. Par exemple, la géométrie euclidienne affirme que par un point distinct d’une droite, il ne peut passer qu’une droite parallèle à celle-­‐ci. Celle proposition semble évidente, mais elle ne l’est que dans notre perception habituelle de l’espace. Elle n’est donc qu’une hypothèse : d’autres systèmes existent où il n’en passe aucune, plus d’une ou même une infinité. Le rationalisme postule donc l’existence de vérités premières et évidentes par elles-­‐mêmes. Cependant, nous pouvons voir qu’il est difficile de distinguer s’il s’agit bien de vérités premières ou seulement de fausses évidences. Mais qu’en est-­‐il de la démonstration si ce sur quoi elle repose n’est plus une vérité première ? Cela ne revient-­‐il pas à rendre impossible toute démonstration ? Dans ce cas, non seulement on ne pourrait pas tout démontrer, mais plus encore : on ne pourrait plus rien démontrer. Mais la question est de savoir si justement la démonstration présuppose des vérités absolues et intuitives. Notre thèse est en fait que le fondement ultime de toute démonstration, qu’elle soit mathématique, physique, d’ordre moral ou encore théologique n’est pas une vérité absolue, mais au contraire un ensemble de 2
« paradigmes » pour reprendre le concept développé par Kuhn, dans La structure des révolutions scientifiques, en ce sens que c’est à partir d’un réseau donné de croyances fondamentales, d’hypothèses admises par un groupe ou par une seul individu, de conception métaphysique, ontologique du monde qu’est possible la démonstration. Le fondement ultime de la démonstration n’est pas une vérité, ou des vérités éternelles, anhistoriques, intemporelles mais des croyances tenues à un moment donné comme « vraies ». Mais ce n’est pas tomber dans le relativisme ? Comme nous l’avons précédemment souligné, le fondement de la démonstration demeure toujours indémontrable. Une autre possibilité, c’est que la démonstration ne repose pas sur des vérités premières, évidentes par elles-­‐mêmes, mais sur l’expérience. C’est ce qu’affirme l’empirisme. Mais si les prémisses proviennent de l’expérience, nous sommes alors confrontés au problème de l’induction. L’induction consister à une tirer une loi générale d’un certain nombre de cas particulier (particulier → général). Si les mathématiques sont purement déductives, les vérités issues de l’expérience reposent sur l’induction. Une démonstration tendant à montrer que Socrate est mortel doit s’appuyer sur la prémisse que tous les hommes sont mortels. Or comment le savons-­‐nous ? Par induction, c'est-­‐à-­‐dire par la généralisation de notre expérience de la mortalité humaine. Cependant, l’induction n’est pas un raisonnement sûr, car il consiste à tirer une loi générale de plusieurs cas particuliers : or il peut toujours exister des exceptions. De plus, une expérience ne peut jamais confirmer absolument une loi générale (je peux toujours trouver un irlandais alcoolique pour confirmer mon préjugé que tous les irlandais sont alcooliques) : par contre une expérience peut infirmer une loi générale. Mon induction n’est donc vraie que tant qu’elle n’est pas réfutée par une expérience non prévue. Nous ne pouvons pas prouver d’une manière absolue une vérité scientifique, mais nous pouvons dire à quelle condition elle serait fausse. Une expérience, en effet, ne peut jamais confirmer définitivement une loi générale : elle peut seulement la réfuter ou montrer que les faits ne la réfutent pas. La possibilité, pour un raisonnement, d’être confronté aux faits, c’est-­‐à-­‐dire d’être logiquement réfutable (sans être réfuté pour autant), c’est le critère permettant d’affirmer que ce raisonnement est scientifique. Ce critère est ce que Karl Popper appelle la « falsifiabilité » ou la « réfutabilité ». Une théorie n’est scientifique que si elle est falsifiable ou réfutable, c'est-­‐à-­‐dire si on peut la confronter aux faits et dire à quelle condition elle serait fausse (même si elle ne l’est pas). Il faut donc sortir de l’opposition démonstration = vérité/non démonstration = erreur. Il ne suffit pas qu’une proposition soit vraie pour qu’elle soit scientifique : car d’une part, il peut y avoir des propositions vraies qui ne sont pas scientifique ; d’autre part et surtout, la science ne possède pas de critère permettant de déclarer que telle proposition est une vérité absolue. Une démonstration est scientifique quand elle peut être remise en cause. Une proposition scientifique est par définition une proposition réfutable (ou « falsifiable » selon les traductions, mais le terme est un faux-­‐ami), c’est-­‐à-­‐dire une proposition dont on peut chercher à montrer la fausseté, car on peut la confronter aux faits. L’expression est paradoxale et provocante mais explicitera 2
C’est-­‐à-­‐dire de modèle de pensée. 3 Peut-on tout démontrer ?
certaines des thèses que nous avons rencontrées sans pouvoir les mettre entièrement en lumière, faute de moyens conceptuels efficaces. La science est fondamentalement non dogmatique : une proposition est scientifique si elle est formulée de sorte que celui qui la reçoit comprend les présupposés, les hypothèses sur lesquels elle repose. Mais s’il connaît les conditions dans lesquelles cette proposition est valide, rien ne l’empêche de contredire ces hypothèses, d’en tester d’autres et éventuellement de montrer que celles qu’il propose fonctionnent mieux que celles qui étaient admises jusque là. C’est ce qu’affirme Karl Popper, dans La logique de la découverte scientifique : « Il faudrait noter (…) qu’une décision ne peut soutenir la théorie que pour un temps car des décisions négatives peuvent toujours l’éliminer ultérieurement. Tant qu’une théorie résiste à des tests systématiques et rigoureux et qu’une autre ne la remplace pas avantageusement dans le cours de la progression scientifique, nous pouvons dire que cette théorie a fait ses 3
preuves, qu’elle est "corroborée".» Le propre d’une proposition scientifique est de pouvoir être discutée et remise en cause, à condition que la remise en cause ne soit pas elle-­‐même idéologique mais scientifique. La science ne prétend donc plus à découvrir des vérités éternelles. En cela, nous renonçons à l’existence de vérités premières que nous croyions fondamentales. La science construit des hypothèses d’explication du monde, qui ne sont acceptées que tant qu’une théorie plus efficace n’est pas venue mettre en valeur les limites de la première et lui proposer une alternative plus intéressante et plus convaincante (une théorie plus efficaces, c’est-­‐à-­‐dire qui permet de maîtriser et d’expliquer avec plus de simplicité un plus grand nombre de phénomènes). Nos "vérités" quotidiennes ne sont elles-­‐mêmes que des généralisations d’expérience et des hypothèses. Nous les considérons comme vérités car elles se révèlent fonctionnelles dans le quotidien. Cependant, nous ne devons pas les considérer comme des vérités absolues, mais accepter leur statut d’hypothèses et accepter de les rectifier quand l’expérience vient la contredire : c’est cet esprit ouvert qui est source d’objectivité, car il ne se renferme pas dans une subjectivité close sur elle-­‐même et aveugle à la réalité. Ce n’est jamais donc une objectivité totale et absolue, ni de la pure subjectivité, mais une construction dans la confrontation de nos hypothèse à l’expérience, de notre subjectivité au monde tel qu’il s’offre à nous. CONCLUSION Nous avons ainsi pu voir dans un premier temps qu’il semblait possible de tout démontrer, ce qui revient à prendre la démonstration et la simple argumentation comme synonymes. Le terme de démonstration devient alors tellement vague qu’il en perd son sens. Nous avons alors restreint la définition de la démonstration en affirmant qu’elle consiste à établir la vérité d’une conclusion à partir de celle des prémisses. La démonstration repose donc à la fois sur la cohérence du raisonnement et sur la vérité des prémisses. Or celle-­‐ci est indémontrable par une chaîne de raisonnement. Mais nous avons vu qu’il nous manque un critère permettant de distinguer les vérités premières et les fausses évidences. A l’opposé du rationalisme, l’empirisme affirme que les propositions générales ne sont pas tirées de la raison seule, mais de l’expérience. Toute déduction, toute démonstration, reposerait donc sur une prémisse majeure qui ne serait jamais que la généralisation d’une expérience. Or nous sommes ici confrontés au problème de l’induction : une généralisation de l’expérience ne peut jamais être complètement confirmée, car une exception la réfutant ne peut pas être a priori entièrement exclue. Si le caractère évident de ces prémisses est remis en cause, ne rend-­‐on pas impossible toute démonstration ? Les prémisses ne doivent pas être considérées comme des vérités absolues ; cependant, cela ne ruine pas toute objectivité. Ces prémisses sont valables tant que nous sommes en mesure de les confronter aux faits et tant qu’elles résistent à ces tests. Même s’il n’est donc pas possible de tout démontrer, qu’une part d’incertitude demeure, nous n’avons pas à céder au relativisme mou. C’est précisément cet esprit critique, qui vient se confronter à l’expérience, qui caractérise la science, en opposition à un esprit dogmatique. Dans la vie quotidienne, nous usons en permanence de vérité non démontrée, mais nous les conservons pour leur efficacité ; l’important étant de reconnaître le statut d’hypothèse de nos constructions mentales et de conserver l’esprit critique et ouvert à l’expérience afin de progresser vers davantage d’objectivité. 3
Karl Popper, La logique de la découverte scientifique, trad. N. Thyssen-­‐Rutten et P. Devaux. 4