Contrôle de statistiques – Après-Midi Sujet 2

Contrôle de statistiques – Après-Midi
Sujet 2
L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
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Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones
portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées
et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être
rendu avec la copie.
Exercice 1 (6 points)
Bruno est sur le bord d’un circuit d’essai automobile, il comptabilise les voitures qui passent mais
n’est pas toujours sûr de ses comptes. Il a remarqué qu’il y a 5 marques de voitures différentes, et
l’univers de l’expérience Ω est l’ensemble des voitures observées. Ferrari, Lamborghini et Porsche
produisent uniquement des voitures de sport, Rolls-Royce uniquement des voitures de luxes tandis
que Mercedes produit des voitures de luxes et des voitures de sports. Ferrari et Lamborghini sont des
marques italiennes. Bruno est sur d’avoir observé :
•
1
12
•
1
9
de voitures italiennes (Lamborghini et Ferrari) ;
•
1
3
de voitures de sports ;
•
2
3
de Mercedes.
de Lamborghini ;
Dans la suite de l’exercice, on cherche à savoir quelle probabilité a Bruno d’observer une marque et un
type de voiture quand il en entend une arriver.
Question 1 Que doivent vérifier les proportions de Rolls-Royce, Porsche, de voiture de luxes et de
voitures de sports pour définir une probabilité (que l’on notera P) ?
Question 2 Bruno a aussi remarqué qu’il y a 2 fois plus de Mercedes luxueuses que de Mercedes
sportives sur le circuit. Donner les probabilités suivantes : P({Porsche}), P({Mercedes sportives}),
P({Mercedes luxueuses}) et P({Rolls-Royce}).
Question 3 Est-ce que les probabilités sont cohérentes avec le fait d’avoir observé au moins une
voiture des 5 marques ?
Exercice 2 (8 points)
Marion range ses chaussettes en vrac dans son tiroir. Elle dispose de 5 paires de chaussettes rouges, 3
paires bleues, 6 paires jaunes et 6 paires vertes.
Question 1 En tirant deux chaussettes au hasard de son tiroir, quelle probabilité a-t-elle de former
une paire ? Donner l’univers de l’expérience.
Question 2 Elle a maintenant besoin de chaussettes pour elle et sa sœur jumelle, de sorte qu’elle en
tire 4 dans son tiroir. Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir 4 chaussettes de la même couleur ? Donner
le nouvel univers de l’expérience.
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Question 3 Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir au moins une chaussette jaune, une chaussette verte
et une chaussette bleue ?
Question 4 Sa sœur jumelle aime beaucoup le vert, elle aimerait donc en obtenir au moins 2 chaussettes
vertes pour sa sœur. Quelle probabilité a-t-elle d’y arriver ?
Question 5 A défaut de pouvoir obtenir des paires de chaussettes, Marion et sa sœur aiment mettre
des chaussettes de la même couleur, mais aussi se différencier entre elles. Quelle probabilité a-t-elle
d’obtenir exactement 2 couleurs de chaussettes, avec 2 chaussettes par couleur ?
Question 6 (bonus) Quelle probabilité a-t-elle d’obtenir au moins une paire en tirant 4 chaussettes ?
Exercice 3 (6 points)
Un collègue d’Alan Turing, employé des services secrets américains, essaie de faire le point sur les
capacités de sa machine FantoMass à déchiffrer des messages codés. Le service sait que l’ennemi utilise
trois clés possibles (A1, A2 et A3) pour chaque message. La répartition des messages codés entre les
trois clés se fait dans les proportions suivantes : 10 % pour la clé A1 ; 60 % pour la clé A2 et 30 %
pour la clé A3.
Les messages chiffrés peuvent être de trois natures. Ainsi :
• Les probabilités qu’un message soit de nature militaire sont de 0,5 lorsque A1 est utilisé
; de 0,25 lorsque A2 est utilisé et de 13 lorsque A3 est utilisé.
• Les probabilités qu’un message soit de nature civile sont de 0,3 lorsque A1 est utilisé ;
de 0,45 lorsque A2 est utilisé et de 0,5 lorsque A3 est utilisé.
• Dans les autres cas, le message n’a pas d’importance (nature insignifiante).
Question 1 Quelle est la probabilité que le message soit de nature militaire pour un message pris au
hasard ?
Question 2 Sachant que le message intercepté est de nature militaire, quelle est la probabilité que la
clé A2 ait été utilisée ?
Question 3 Quelle est la probabilité que le message soit de nature civile pour un message pris au
hasard ?
Question 4 Sachant que le message décodé était civil, quelle est la probabilité que le message ait été
codé avec A1 ou A2 (explicitez) ? Le résultat peut être donné arrondi ou en fraction
Question 5 Quelle clé permet de décoder le plus de messages militaires ? Justifiez votre réponse.
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