Exercice de spécialité Antilles

Ultrabac Terminale S – Exercice de spécialité du sujet Antilles-Guyane juin 2008
Partie A
On considère l'équation (E) :11× x − 26 × y = 1 où x et y désignent deux entiers relatifs.
1) Vérifier que le couple ( −7; −3) est une solution de (E).
Comme :
11× ( −7 ) − 26 × ( −3) = −77 + 78 = 1
alors le couple ( −7; −3) est une solution de (E).
2) Résoudre alors l'équation (E).
D'abord, de quelle forme sont les solutions de cette équation diophantienne (E) ?
Soit ( u; v ) un couple d'entiers relatifs solution (E). Il vérifie donc l'égalité :
11× u − 26 × v = 1 = 11× ( −7 ) − 26 × ( −3) ⇔ 11× ( u + 7 ) = 26 × ( v + 3)
De cette dernière égalité, on déduit que 11 divise le produit 26 × ( v + 3) .
Sauf que 11 étant premier avec le premier facteur 26, il divise nécessairement le second
facteur v + 3 en application du théorème de Gauss.
Donc il existe un entier naturel λ tel que v + 3 = 11× λ ⇔ v = 11× λ − 3
Il vient alors pour l'autre entier u :
11 × ( u + 7 ) = 26 × ( v + 3) = 26 × 11 × λ ⇔ u = 26 × λ − 7
Ainsi toutes les solutions de (E) sont de la forme ( 26 × λ − 7;11× λ − 3) où λ est un
entier relatif quelconque.
Réciproquement, tout couple de la forme ( 26 × λ − 7;11× λ − 3) est-il solution de (E) ?
Pour tout entier relatif λ, nous pouvons écrire :
11× ( 26 × λ − 7 ) − 26 × (11× λ − 3) = 286 × λ − 77 − 286 × λ + 78 = 1
La réponse est : Oui !
Conclusion : les solutions de l'équation diophantienne (E) :11× x − 26 × y = 1 sont les
couples d'entiers de la forme ( 26 × λ − 7;11× λ − 3) où λ est un entier relatif.
3) En déduire le couple d'entiers relatifs ( u; v ) solution de (E) tel que 0 ≤ u ≤ 25 .
Si ce couple ( u; v ) est solution de (E), alors il existe un entier λ tel que u = 26 × λ − 7 .
Il vient alors :
0 ≤ u ≤ 25 ⇔ 0 ≤ 26 × λ − 7 ≤ 25 ⇔ 7 ≤ 26 × λ ≤ 32 ⇔
7
32
≤λ≤
⇔ λ =1
26
26
Car λ est un entier relatif.
Conclusion : Il existe un seul couple ( u; v ) solution de (E) tel que 0 ≤ u ≤ 25 . Il a pour
paramètre λ = 1 . Il s'agit de (19;11) .
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Partie B
On assimile chaque lettre de l'alphabet à un nombre entier compris entre 0 et 25 comme
l'indique le tableau ci-dessous.
Lettre
Position
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
Lettre
Position
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
On "code" tout entier naturel x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
On calcule 11× x + 8
On calcule le reste de la division euclidienne de 11× x + 8 par 26 que l'on appelle
y.
On dit alors que x est "codé" par y.
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11.
11× 11 + 8 = 129
Le reste de la division euclidienne de 129 par 26 est 25 car 129 = 4 × 26 + 25 .
Le nombre 25 correspondant à la lettre Z, la lettre L est donc codée par Z.
1) Coder la lettre W.
Codons la lettre W qui a pour indice 22.
On calcule la combinaison linéaire : 11× 22 + 8 = 250
Le reste de la division euclidienne de 250 par 26 est égal à 16 car 250 = 9 × 26 + 16 .
Par conséquent, la lettre W est codée par lettre d'indice 16 qui est Q.
2) Le but des questions suivantes est de déterminer la fonction de décodage.
2.a) Montrer que pour tous nombres entiers relatifs x et j, on a :
11× x ≡ j modulo 26 ⇔ x ≡ 19 × j modulo 26
Cette question repose sur une propriété qui est normalement hors programme :
Modulo 26, les entiers 11 et 19 sont les inverses l'un de l'autre.
En effet, le produit 11×19 vaut 209.
Or le reste de la division euclidienne de 209 par 26 est 1 car 209 = 26 × 8 + 1 .
Par conséquent :
11× 19 ≡ 1 modulo 26
Sachant cela, l'équivalence s'établit sans peine au moyen d'une double implication.
(⇒) : Si 11× x ≡ j modulo 26 alors 19 × 11× x ≡ 19 × j modulo 26 .
On a multiplié par 19.
× 11× x ≡ 1× x ≡ x modulo 26
Or comme 11× 19 ≡ 1 modulo 26 alors 19
.
On a multiplié par x.
Ultrabac Terminale S – Exercice de spécialité du sujet Antilles-Guyane juin 2008
Par conséquent :
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La lettre Q a pour indice j = 16 .
On calcule 19 × j + 4 = 308 .
x ≡ 19 × j modulo 26
(⇐) : Réciproquement, si x ≡ 19 × j modulo 26 alors 11× x ≡ 11×19 × j modulo 26 .
Le reste de la division euclidienne de 308 par 26 est 22 car 308 = 11
× 26
+ 22 .
On a multiplié par 11.
Or, comme 11× 19 ≡ 1 modulo 26 alors 19 × 11× j ≡ 1× j ≡ j modulo 26 .
On a multiplié par j.
Il vient alors :
11× x ≡ j modulo 26
Conclusion : pour tous entiers relatifs x et j, nous avons l'équivalence :
On multiplie par 11
← 
11× x ≡ j modulo 26 ⇔
x ≡ 19 × j modulo 26
On multiplie par 19
 →
Les dessous de cette question.
On dit qu'un entier a est inversible modulo n s'il existe un autre entier b tel que
a × b ≡ 1 modulo n
On démontre que pour qu'un entier a soit inversible modulo n, il faut et il suffit que a et
n soient premiers entre eux.
En effet, si a est inversible modulo n, alors il existe un entier b tel que :
a × b ≡ 1 modulo n ⇔ Il existe un entier k tel que a × b = 1 + k × n
⇔
a
× b − k × n =1 ⇔ a et n sont premiers entre eux
Une égalité de Bezout
C'est le théorème de Bezout !
Modulo 26, seuls les entiers 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21 ; 23 et 25 sont
inversibles. Les autres ne le sont pas car ils ont au moins un facteur en commun avec 26.
286
La lettre d'indice 22 est bien W. Donc le procédé est valide.
2.c) Décoder la lettre W.
Appliquons notre processus de décodage à la lettre (codée) W qui a pour indice j = 22 .
On calcule 19 × j + 4 = 422 .
Le reste de la division euclidienne de 422 par 26 est 6 car 422 = 16
× 26
+6.
416
La lettre d'indice 6 est G.
Conclusion : la lettre W code la lettre G.
Les dessous de cet exercice
La fonction de codage dont il est question est une "fonction affine modulo 26". Il s'agit de
la fonction f définie par :
f : {0;1;… ; 25} 
→
{0;1;…; 25}
x

→ 11× x + 8 modulo 26
La fonction de décodage est la réciproque de f. Il s'agit de la fonction affine g :
g : {0;1;… ; 25} 
→
j
{0;1;…; 25}

→ 19 × j + 4 modulo 26
En effet, pour tout entier naturel x ∈ {0;1;… ; 25} , nous avons :
2.b) En déduire le procédé de décodage.
Le procédé de décodage découle assez naturellement de la question précédente.
En effet, si l'indice x d'une lettre est codé en un indice j, alors :
j ≡ 11× x + 8 modulo 26 ⇒ j − 8 ≡ 11× x modulo 26
Car : −152 = −156 + 4
= ( −6 ) × 26 + 4
Donc −152 ≡ +4 modulo 26
⇒ 19 × ( j − 8) ≡ 19 ×11 × x modulo 26
On a multiplié par 19
⇒ 19 × j + ( −152 ) ≡ x modulo 26
⇒ x ≡ 19 × j + 4 modulo 26
Conclusion : le procédé de décodage est donc le suivant :
On considère l'indice j de la lettre codée.
On calcule la combinaison linéaire 19 × j + 4 .
On calcule le reste x de la division euclidienne de 19 × j + 4 par (ou modulo) 26.
La lettre décodée est celle d'indice x.
Pour vérifier si ce procédé est correct, déterminons la lettre décodée de (décodons) Q.
g f ( x ) = 19 × f ( x ) + 4 = 19 × (11 × x + 8 ) + 4 = 209
× x + 156
≡ 1 × x + 0 ≡ x modulo 26
8×26+1
6×26
Toute "fonction affine modulo 26" f ( x ) = a × x + b modulo 26 ne peut pas être une
fonction de codage. Pour qu'elle le soit, il faut qu'elle admette une réciproque, une
fonction de décodage.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que son coefficient directeur a soit inversible
modulo 26.
Sachant que seuls douze entiers (entre 1 et 25) sont inversibles modulo 26 et que b ne peut
prendre que vingt-six valeurs (de 0 à 25), nous en déduisons qu'au total il existe
12 × 26 = 312 fonctions affines modulo 26 de codage possibles.
Vu les moyens de calcul actuels, c'est relativement peu ! Ce procédé de chiffrement est
donc très fragile.