Ondes électroniques dans un cable coaxial

Electronique : cable coaxial (PC*)
Cable coax
∂i
∂i
(x, t) donc Λ ∂t
(x, t) = − ∂u
Loi des mailles u(x, t) = u(x + dx, t) + ubobine (x, t) = u(x + dx, t) + Λdx ∂t
∂x
∂u
∂u
∂i
Loi des noeuds
i(x,
t)
=
i(x
+
dx)
+
i
=
i(x
+
dx)
+
Γdx
donc
Γ
=
−
et
on
en
déduit
condensateur
∂t
∂t
∂x
∂x2 −
1 2
ΓΛ ∂t
u=0
Impédance : considérons une solution onde place u = u0 ejωt−kx , i = i0 ejωt−kx
q . La relation de dispersion
u0
ωΛ
donne ω = kc. Les relations couplées donnent Λjωi0 = jku0 donc i0 = k = ΛΓ .
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Question de cours
:
On considère un cable coaxial de capacité linéique Γ et d'inductance linéique Λ.
1. Déterminez l'équation vériée par le champ de tension u(x, t) et le champ d'intensité i(x, t) en
détaillant chaque étape de votre calcul.
2. Rappelez la forme la plus générale de solution de cette équation. On s'intéressera dans la suite de
l'énoncé à des solutions de type onde plane harmonique. Rappelez en la dénition.
3. Dénissez la notion d'impédance et déterminez l'impédance caractéristique ZC de la ligne.
Exercice
:
On ferme le cable coaxial décrit précédement sur une impédance Z en x = 0 et on envoie depuis −∞
une onde plane progressive monochromatique. Les conditions aux limites donnent alors naissance à une
onde contrapropageante.
1. Exprimez la forme générale de l'onde incidente et de l'onde rééchie, ainsi que des conditions aux
limites.
2. Déterminez les coecients de réexions en courant et en intensité. Commenter.
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Question de cours
:
On considère un cable coaxial de capacité linéique Γ et d'inductance linéique Λ.
Déterminez l'équation vériée par le champ de tension u(x, t) et le champ d'intensité i(x, t) en détaillant
chaque étape de votre calcul. Rappelez la forme générale des solutions de cette équation.
Exercice Equation des télégraphistes
Pour rendre plus réaliste la description du cable, on ajoute en résistance linéique r en série avec l'inductance et une conductance linéique g en série avec la capacité.
1. Dessiner la ligne ainsi décrite et déterminez l'équation diérentielle vériée par le courant et l'intensité (équation des télégraphistes). Pouvez vous prévoir l'eet de la modication
?x Jusiez alors
qualitativement le fait de chercher des solutions sous la forme i(x, t) = f t − xc e− δ .
2. Déterminez l'expression de c et de δ en fonction de r, g, Γ et Λ et en déduire une condition sur
r, g, Γ et Λ pour qu'une telle solution soit envisageable (condition de Heaviside).
3. Dans l'hypothèse où les conditions de Heaviside sont vériées, par analogie avec les deux solutions
générales de l'équation de d'Alembert, proposez une autre forme de solution.
Solution
∂i(x,t)
1. u(x, t) = u(x + dx, t) + rdxi(x, t) + Λdx ∂i(x,t)
⇒ − ∂u
∂t
∂x = ri(x, t) + Λ ∂t
1
∂i
i(x, t) = i(x + dx, t) + gdxu(x, t) + Γdx ∂u(x,t)
⇒ − ∂x
= gu(x, t) + Γ ∂u(x,t)
∂t
∂t
∂2i
∂2i
− ΛΓ 2
2
∂x
∂t
∂2u
∂2u
− ΛΓ 2
∂x2
∂t
∂i
∂t
∂u
= rgi + (rΓ + gΛ)
∂t
= rgi + (rΓ + gΛ)
Termes de perte => solutions atténuées.
2.
En injectant
i=f t−
x
c
1
c2
x
e− δ , on trouve
x
− ΓΛ f 00 e− δ +
2
cδ
x
− (rΓ + gΛ) f 0 e− δ +
On doit donc avoir chacun des termes nul car égalité
δ=
3.
Solution contre propagative
√1 ,
rg
g t+
x
c
c=
∀x, t
4ΛΓ
√1
et
(rΓ+gΛ)2
ΛΓ
1
δ2
x
− rg f e− δ
:
=
1
rg
⇔ rΛ = gΓ
x
eδ .
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Daniel Suchet - 2012