SYSTEMES D`EQUATIONS LINEAIRES DETERMINANTS

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ALGE03 : Systèmes lin., déterminants
Cours
Janvier 2002
SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
DETERMINANTS
1
1.1
Déterminant
Introduction
Nous avons déjà vu dans l’UMN « Outil vectoriel » comment caractériser la
colinéarité de deux vecteurs en dimension 2 ( grâce au déterminant ) et en dimension
3 ( grâce au produit vectoriel ).
Puis dans le chapitre « Espaces vectoriels » nous avons défini la notion plus large de
famille libre ou liée. Mais jusqu’à présent, pour savoir si une famille est libre ou liée
il faut se donner une combinaison linéaire nulle des vecteurs concernés, et trancher
entre deux conclusions possibles :
• Chaque fois qu’une combinaison linéaire des vecteurs est nulle, alors tous les
coefficients sont nuls : la famille est libre
• Il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls :la famille est
liée.
Le but de ce paragraphe est de se donner un outil de décision : ce sera le
déterminant, nombre réel calculé à partir d’une famille de vecteurs, tel que :
• Si le déterminant est nul alors la famille est liée
• Si le déterminant est non nul alors la famille est libre.
La notion de déterminant s’applique donc à une famille de vecteurs, et aussi par
extension à un système d’équations, et surtout à une matrice. Elle permet en
particulier le calcul de ses valeurs propres, et la réduction éventuelle à une forme
plus simple ( exemple : matrice diagonale ).
Pour simplifier l’approche de cette notion nous allons nous placer en dimension 3 ; la
définition en dimension n ne pose ensuite pas de problème.
Dans tout le chapitre K désigne un corps qui est R ou C.
1.2
Définition du déterminant en dimension 3
Soit f une application de E = K 3 vers K. On dit que f est une application trilinéaire
si : ∀ ( λ , µ ) ∈ K 2
!!" !!" " !"
!!"
!!" " !"
!!" " !"
!!" " !"
• ∀ u1 ,u2 ,v,w ∈ K 4 , f λ u1 + µ u2 ,v,w = λ f u1 ,v,w + µ f u2 ,v,w
(
)
(
)
(
)
(
)
© Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT
1
•
•
Cours
Janvier 2002
" !" !!" !"
" !"
!!" !"
" !" !"
" !!" !"
∀ u,v1 ,v2 ,w ∈ K 4 , f u, λ v1 + µ v2 ,w = λ f u,v1 ,w + µ f u,v2 ,w
" " !!" !!"
" " !!"
!!"
" " !!"
" " !!"
∀ u,v,w1 ,w2 ∈ K 4 , f u,v,λ w1 + µ w2 = λ f u,v,w1 + µ f u,v,w2
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
" " !"
On dit que f est alternée si chaque fois que deux des trois vecteurs u,v,w sont
" " !"
égaux alors f u,v,w = 0 .
(
(
)
)
Enfin on dit que f est une forme si l’ensemble d’arrivée est K.
En conjuguant ces deux propriétés on peut démontrer que : ∀ ( λ , µ ) ∈ K 2
"
!" " !"
• f λ v + µ w,v,w = 0
" "
!" !"
• f u, λ u + µ w,w = 0
"" "
"
• f u,v, λ u + µ v = 0
(
(
(
)
)
)
ALGE01E01A
Soit K un corps et l’espace vectoriel K 3 , f une forme trilinéaire alternée définie sur
K 3 . Démontrer les trois propriétés :
"
!" " !"
• f λ v + µ w,v,w = 0
" "
!" !"
• f u, λ u + µ w,w = 0
"" "
"
• f u,v, λ u + µ v = 0
(
(
(
)
)
)
Ces propriétés vont nous permettre de trouver une « formule » pour le déterminant de
trois vecteurs.
!" !!" !!"
Soit e1 ,e2 ,e3 une base de K 3 . Posons :
(
)
" 3
!"
!"
!!"
!!"
u = ∑ ai1 ei = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3
i =1
" 3
!!"
!"
!!"
!!"
v = ∑ a j 2 e j = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3
j =1
!" 3
!!"
!"
!!"
!!"
w = ∑ ak 3 ek = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3
k =1
On développe par linéarité : on obtient 27 termes.
!"
!!"
!!"
!"
!!"
!!"
!"
!!"
!!"
f a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 , a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , a13 e1 + a23 e2 + a33 e3
!" !" !"
!" !" !!"
!" !" !!"
= a11a12a13 f e1 ,e1 ,e1 + a11a12a23 f e1 ,e1 ,e2 + a11a12a33 f e1 ,e1 ,e3 + ...
!" !!" !!"
• Lorsque les trois indices i,j et k sont égaux, f ei ,e j ,ek = 0 . Cela correspond à 3
((
)(
(
)
)(
(
)
(
(
)
)
))
termes.
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2
Cours
Janvier 2002
!" !!" !!"
Lorsque deux des trois indices i,j et k sont égaux, f ei ,e j ,ek = 0 . Cela
(
•
)
correspond à 18 termes.
• Il reste donc six termes pour lesquels les trois indices sont distincts : il y en a 6,
autant que de permutations de l’ensemble des indices {1, 2 ,3} .
!" !!" !!"
Pour ces termes on va mettre f e1 ,e2 ,e3 en facteur et tenir compte des
(
)
changements de signe lorsqu’on échange les vecteurs :
" " !"
!" !!" !!"
f u,v,w = f e1 ,e2 ,e3 ( a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 )
(
)
(
)
toutes les formes trilinéaires alternées sont donc proportionnelles à une même
quantité :
a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31
qu’on va baptiser déterminant.
Cela revient à choisir une forme trilinéaire alternée appelée déterminant dans la
!" !!" !!"
base e1 ,e2 ,e3 et qui vaudra 1 calculé sur ces vecteurs de base.
!" !!" !!"
det e!" ,e!!" ,e!!" e1 ,e2 ,e3 = 1
(
)
(1
2 3
)(
)
Notons simplement det cette forme trilinéaire alternée.
" " !"
Pour tous vecteurs u,v,w la formule du déterminant calculé dans cette même base
(
)
devient :
" " !"
det u,v,w = a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31
(
)
que l’on présente sous la forme d’un tableau :
a11 a12
" " !"
det u,v,w = a21 a22
a31 a32
(
" " !"
det u,v,w
(
)
a13
a23
a33
)
= a11a22 a33 − a11a23a32 − a12 a21a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31
a11 a12
= a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
" " !"
det u,v,w = a11 ( a22 a33 − a23a32 ) − a21 ( a12 a33 − a13a32 ) + a31 ( a12 a23 − a13a22 )
(
)
= a11
a22
a32
− a21
a12
a32
+ a31
a12
a22
a23 a33
a13 a33
a13 a23
ce qui permet de ramener le calcul d’un déterminant « 3-3 » à celui de trois
déterminants « 2-2 ».
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3
1.3
Cours
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Propriétés
1
Les déterminants d'un tableau et du tableau transposé (on échange lignes et colonnes)
sont égaux .
a11
a12
a11
a21
a31
a21 a22
a23 = a12
a22
a32
a31
a33
a23
a33
a32
a13
a13
2
Un déterminant est une fonction linéaire des éléments de chaque ligne.
Un déterminant est une fonction linéaire des éléments de chaque colonne.
En utilisant la propriété 2, on a par exemple :
a11
a12
a13
a21 + b21 a22 + b22
a31
a32
a11 + b11
a12
a11
a12
a23 + b23 = a21 a22
a33
a31 a32
a13
a11
a12
a13
b11
a13
a11
a12
a13
a23 + b21 b22
a33 a31 a32
b23
a33
a12
a13
a21 + b21 a22
a23 = a21 a22
a23 + b21 a22
a23
a31 + b31
a33
a33
a33
ou encore
α a11 a12
α a21 a22
α a31 a32
a32
a13
a11
a31
a32
a12
b31
a13
a32
a11
a12
a13
a23 = α a21 α a22 α a23 = α a21 a22
a33 a31
a32
a33
a31 a32
a23
a33
3
Le déterminant change de signe si l'on permute deux lignes quelconques du tableau.
Le déterminant change de signe si l'on permute deux colonnes quelconques du
tableau.
Par exemple,
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13 L1
a21 a22
a23 L 2
a23 L 2 = − a11
a12
a13 L1
a33 L3
a32
a33 L3
a31
ou
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4
Cours
C1 C 2 C 3
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C 2 C1 C 3
a11 a12
a21 a22
a13
a12
a23 = − a22
a11 a13
a21 a23
a31
a33
a31
a32
a32
a33
4
Le déterminant d'un tableau dont une ligne est une combinaison linéaire des autres
lignes est nul.
Le déterminant d'un tableau dont une colonne est une combinaison linéaire des autres
colonnes est nul.
1 3 2
Ainsi, 4 5 1 = 0 , car L3 = L2 - L1.
3 2 −1
On peut déduire de cette propriété deux cas particuliers utiles. Un déterminant qui a
deux lignes (ou deux colonnes) égales est nul. Un déterminant, dont tous les éléments
d'une ligne (ou d’une colonne) sont nuls, est nul.
0 a11 a13
a11 a12 a13
Par exemple, on a : 0 a21 a23 = 0 et a11 a12 a13 = 0 .
a31 a32 a33
0 a31 a33
5
Un déterminant ne change pas si l'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des
autres lignes.
Un déterminant ne change pas si l'on ajoute à une colonne une combinaison linéaire
des autres colonnes.
En pratique, cette propriété est très utile pour calculer des déterminants, associée aux
méthodes de développement par ligne ou par colonne des déterminants que nous
allons présenter au paragraphe suivant.
" " !"
!" !!" !!"
Soient u,v,w trois vecteurs de R3 exprimés dans la base e1 ,e2 ,e3 . On note det le
(
(
)
)
déterminant dans cette base.
" " !"
" " !"
u,v,w est liée si et seulement si det u,v,w = 0
" " !"
" " !"
u,v,w est libre si et seulement si det u,v,w ≠ 0
{
{
}
}
(
(
)
)
" " !"
" " !"
1) Si u,v,w est liée alors det u,v,w = 0 par définition.
" " !"
!" !" !"
2) Si u,v,w est libre, alors c’est une base de R3 et 1 = f e1 , e2 , e3
" " !"
proportionnel à f u, v, w qui n’est donc pas nul.
(
(
)
)
(
(
)
)
(
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)
est
5
1.4
Cours
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En dimension n
On dit qu’un déterminant est d’ordre n pour indiquer qu’il a n lignes et n colonnes.
En appliquant les règles de développement selon les éléments d'une ligne (ou d'une
colonne), un déterminant d'ordre n se réduit à une combinaison linéaire de
déterminants d'ordre (n − 1). En appliquant plusieurs fois cette règle, on arrive donc
simplement à des déterminants d'ordre 2 ou 3 qui sont très faciles à calculer.
On arrive ainsi à la définition suivante :
Le déterminant d'un tableau carré n x n. est une fonction de n 2 variables (les
coefficients aij ) qui est égale à ∆ = ∑ ( −1 )k a1σ ( 1 )a2σ ( 2 ) … anσ ( n ) , où σ est une
σ
permutation des nombres 1,..., n, et k représente le nombre d'inversions dans la
permutation.
Précisons que :
• Soit S un ensemble de n éléments : S = {1, 2$ ,n} . Une permutation est une
•
1.5
bijection de S sur lui-même.
Soit une permutation σ sur l'ensemble S. Deux éléments i et j de S forment une
inversion dans la permutation σ si et seulement si i < j et σ ( i ) > σ ( j ) .
Méthodes de calcul
On appelle mineur M ij d'un déterminant ∆ d'ordre n le déterminant d'ordre ( n − 1)
déduit de ∆ en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne.
On appelle cofacteur Cij d'un déterminant ∆ d'ordre n le déterminant d'ordre ( n − 1)
égal à Cij = ( −1 )i + j M ij .
1
2
Le mineur M12 du déterminant −4 3
3 −2
−3
2 est M12 =
1
du même déterminant vérifie C12 = ( −1 )1+ 2 M12 = −
−4 2
. Le cofacteur C12
3 1
−4 2
.
3 1
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6
Cours
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Le déterminant ∆ d'ordre n × n peut être développé selon les éléments d'une ligne
quelconque i :
n
∆ = ∑ ( −1 )i + j aij M ij
j =1
Comme nous l'avons mentionné au début de ce paragraphe, le développement est
aussi possible selon les éléments d'une colonne quelconque j, et l'on a alors :
n
∆ = ∑ ( −1 )i + j aij M ij
i =1
Les signes ( −1 )i + j dont on doit affecter chaque terme du développement sont très
faciles à déterminer. Il suffit de remarquer que tous les mineurs associés à des
coefficient diagonaux sont égaux à 1, et que d'un coefficient à un voisin le signe
change. Par exemple, pour un déterminant d'ordre 3, le tableau des signes
correspondant à ( −1 )i + j est simplement :
⎡ +1 −1 +1⎤
⎢ −1 +1 −1⎥
⎢
⎥
⎢⎣ +1 −1 +1⎥⎦
1
2
Le développement du déterminant −4 3
3 −2
1
2
−4 3
3 −2
−3
2 selon la première ligne s'écrit :
1
−3
−4 2
−4 3
3 2
+ ( −2 )
+ ( −3 )
.
2 =1
−2 1
3 1
3 −2
1
On peut aussi développer par rapport à l'une quelconque des autres lignes ou des
colonnes, par exemple par rapport à la troisième colonne :
1
2 −3
−4 3
1 2
1 2
.
−4 3 2 = −3
+ ( −2 )
+1
−4 3
3 −2
3 −2
3 −2 1
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7
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ALG03E02A
1
2 3
On considère le déterminant D = 2 1 0 .
−1 3 2
1) Calculer D en développant le déterminant suivant les mineurs (a) de la 1ère ligne,
(b) de la 2ème colonne, et (c) de la 3ème colonne.
2) Calculer les déterminants obtenus par les transformations suivantes et conclure :
( D1 ) c1 : c1 + 2c2 + 3c3 , ( D2 ) c1 : 5c1 − c2 − c3 , ( D3 ) c3 : c3 − c1 − c2
3) Transformer le déterminant D en faisant apparaître des termes nuls sur la 1ère
colonne.
2
2.1
Systèmes de n équations à n inconnues
Interprétation géométrique
On considère le système de n équations à n inconnues notées xi , 1 ≤ i ≤ n :
⎧ a11 x1 + $ + a1n xn
⎪
%
%
⎨ %
⎪a x + $ + a x
nn n
⎩ n1 1
= b1
%
= bn
(S)
D'un point de vue vectoriel, ce système correspond à l'équation vectorielle :
"
"
"
A1 x1 + $ + An xn = B
⎛ a1i ⎞
⎛ b1 ⎞
⎜
⎟
!!"
" ⎜ b2 ⎟
a2i ⎟
⎜
où Ai =
,1 ≤ i ≤ n et B = ⎜ ⎟ .
⎜ ... ⎟
⎜ ... ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ani ⎠
⎝ bn ⎠
Soit ∆ le déterminant associé au système :
a11 $ a1n
"
"
%
% = dét( A1 ,$ , An )
∆= %
an1 $ ann
"
La famille Ai ,1 ≤ i ≤ n
{
}
est linéairement indépendante si et seulement si le
déterminant ∆ est non nul.
"
Le système a dans ce cas une solution unique égale aux coordonnées du vecteur B
"
dans la base Ai ,1 ≤ i ≤ n .
(
)
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Cours
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"
Dans le cas contraire, déterminant nul, la famille Ai ,1 ≤ i ≤ n est liée. Cette famille
{
}
n'engendre alors qu'un sous-espace de dimension strictement inférieure à n. La
"
résolution du système consiste à étudier si le vecteur B appartient à ce sous-espace.
Si oui, le système a des solutions avec indétermination, si non le système est
impossible.
Considérons le système :
⎧3 x + 2 y − z = a
⎪
⎨x − y + z = b
⎪x + y − 2z = c
⎩
où a, b et c sont trois réels donnés.
Le déterminant du système vaut :
3 2 −1
∆ = 1 −1 1 = 7
1 1 −2
⎧
⎛ 3⎞
⎛2⎞
⎛ −1 ⎞ ⎫
⎪ !" ⎜ ⎟ !!" ⎜ ⎟ !!" ⎜ ⎟ ⎪
donc la famille ⎨e1 = ⎜ 1 ⎟ ,e2 = ⎜ −1⎟ ,e3 = ⎜ 1 ⎟ ⎬ est une famille libre et donc une
⎪
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ −2 ⎟ ⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠⎭
⎩
⎛a⎞
!" ⎜ ⎟
3
base de R : quel que soit les choix des réels a, b et c, le vecteur B = ⎜ b ⎟ aura des
⎜c⎟
⎝ ⎠
!" !!" !!"
coordonnées uniques dans la base e1 ,e2 ,e3 et le système aura une solution unique.
(
)
On verra au chapitre suivant comment déterminer cette solution.
Soit à présent le système :
⎧3 x + 2 y − z = a
⎪
⎨x − y + z = b
⎪4 x + y = c
⎩
de déterminant
3 2 −1
∆′ = 1 −1 1 = 0
4 1 0
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9
Cours
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⎧
⎛ 3⎞
⎛2⎞
⎛ −1 ⎞ ⎫
⎪ !" ⎜ ⎟ !!" ⎜ ⎟ !!" ⎜ ⎟ ⎪
Cette fois la famille ⎨e1 = ⎜ 1 ⎟ ,e2 = ⎜ −1⎟ ,e3 = ⎜ 1 ⎟ ⎬ est liée et engendre un espace
⎪
⎜1⎟
⎜1⎟
⎜ −2 ⎟ ⎪
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠⎭
⎩
vectoriel F qui est au maximum de dimension 2.
Deux
!" cas se présentent :
• B ∈ F : le système a une infinité de solutions
!"
• B ∉ F : le système n’a aucune solution
On verra au chapitre suivant comment trancher entre ces deux cas et calculer les
solutions éventuelles.
2.2
Système de Cramer
Si le déterminant ∆ est différent de zéro, le système est appelé système de Cramer
et il y a une solution unique. On peut alors utiliser les deux théorèmes suivants :
Si le déterminant d'un système de n équations linéaires à n inconnues est différent de
zéro, le système admet une solution unique :
∆x
∆x
∆x
x1 = 1 , x2 = 2 , $ , xn = n
∆
∆
∆
où ∆ xi est le déterminant d'ordre n obtenu à partir de ∆ en remplaçant le colonne i
⎛ b1 ⎞
" ⎜b ⎟
par la colonne du second membre B = ⎜ 2 ⎟ . (théorème de Cramer)
⎜ ... ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ bn ⎠
En effet, on peut calculer le déterminant ∆ xi , i = 1,$ ,n :
"
"
"
" "
∆ xi = dét( A1 ,$ Ai −1 ,B, Ai +1 ,$ , An )
n "
"
"
"
"
= dét( A1 ,$ Ai −1 , ∑ A j x j , Ai +1 ,$ , An ) .
j =1
n
"
"
" "
"
= ∑ x j dét( A1 ,$ Ai −1 , A j , Ai +1 ,$ , An )
j =1
Excepté le déterminant pour lequel j = i , tous les déterminants de la somme sont
nuls puisqu'ils ont deux colonnes identiques : la i-ème colonne est égale à une des
autres. Il reste donc :
"
"
" "
"
∆ xi = xi dét( A1 ,$ Ai −1 , Ai , Ai +1 ,$ , An ) .
Si les bi sont tous nuls, le système est dit sans second membre ou homogène. De
façon évidente, x1 = x2 = $ = xn = 0 est toujours solution de ce système.
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10
Cours
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Si son déterminant est différent de zéro, un système homogène de n équations à n
inconnues admet la solution unique évidente :
x1 = x2 =$ = x n = 0
ALG03E03A
Résoudre le système d’équations linéaires suivant :
⎧5 x − y + 2 z = 9
⎪
⎨− x + 2 y + z = 6 .
⎪x + y − z = 0
⎩
2.3
Système avec déterminant nul.
Si le déterminant est nul, cela signifie :
•
•
d'un point de vue algébrique, que dans le premier membre, une des équations au
moins est une combinaison linéaire des autres. Il faut alors étudier, si cette
relation linéaire est encore vérifiée dans le second membre.
"
"
d'un point de vue vectoriel, que la famille ( A1 ,$ , An ) est liée. Il faut alors
"
"
déterminer quel est le sous-espace engendré par la famille ( A1 ,$ , An ) et étudier
"
si B appartient à ce sous-espace.
On appelle rang du système la taille maximale du sous-système de déterminant non
nul.
Supposons que le déterminant suivant, extrait de ∆ en conservant les r premières
lignes et les r premières colonnes, soit non nul :
a11 $ a1r
Dr = %
%
%
ar1 $ arr
Cette hypothèse n'est pas restrictive car il suffit d'ordonner les équations et les
inconnues pour y arriver. On peut alors réécrire le système sous la forme :
⎧a11x1 + $ + a1r xr
⎪
% %
⎨%
⎪a x + $ + a x
rr r
⎩ r1 1
= b1 − a1,r +1xr +1 − … − a1n xn
%
(SP)
= br − ar ,r +1xr +1 − … − arn xn
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11
⎧ar +11, x1 + $ + ar +1,r xr
⎪
% %
⎨%
⎪a x +
$ + anr xr
⎩ n1 1
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= br +1 − ar +1,r +1 xr +1 − … − ar +1,n xn
%
= bn − an,r +1 xr +1 − … − ann xn
(SS)
où le premier système est le système dit principal (SP) constitué de r équations à r
inconnues où les n − r inconnues restantes jouent le rôle de paramètres, et le second
système (SS) est constitué de n − r équations auxiliaires.
Le système principal a une solution puisque son déterminant est non nul :
Dx
Dx
x1 = 1 , $ , xr = r , xr +1 = λ1 , $ , xn = λn−r
(SOL)
Dr
Dr
où les déterminants Dxi sont obtenus à partir du déterminant Dr , en remplaçant la
colonne i par la colonne du second membre. La solution est indéterminée puisqu'elle
dépend de n − r paramètres arbitraires : les inconnues xr +1 ,xr + 2 ,$ xn .
Pour que la solution du système principal (SP) soit solution du système (S), elle doit
également satisfaire les n − r équations auxiliaires du second système (SS) : on dit
que ce sous-système doit être compatible avec (SP).
La compatibilité de (SP) avec (SS) peut être vérifiée en remplaçant dans chacune des
équations de (SS) les inconnues par la solution indéterminée (SOL) ci-dessus. Si une
des équations n'est pas vérifiée, le système (S) est impossible. Si toutes les équations
sont vérifiées, le système (S) possède la solution indéterminée (SOL).
Cette méthode de vérification de la compatibilité de (SS) avec (SP) est lourde. On
peut remarquer qu'une équation de (SS) est compatible avec (SP) si elle est une
combinaison linéaire des équations du sous-système (SP), second membre compris.
Ceci peut se vérifier en formant les déterminants suivants, qui doivent être tous nuls :
Dk =
a11 $ a1r
%
%
%
b1 − a1,r +1 xr +1 − … − a1n xn
%
ar1 $ arr
br − ar ,r +1 xr +1 − … − arn xn
ak1 $ akr
bk − ak ,r +1 xr +1 − … − akn xn
En appliquant les règles de linéarité des déterminants, on a :
a11 $ a1r
Dk =
%
%
%
a11 $ a1r
b1
%
ar1 $ arr
br
ak1 $ akr
bk
−
n
∑
i = r +1
xi
%
%
%
a1,i
%
ar1 $ arr
ar ,i
ak1 $ akr
ak ,i
Or, les déterminants en facteur dans la somme sont des déterminants d'ordre r + 1
extraits du déterminant ∆. Ils sont par conséquent tous nuls puisque d'ordre supérieur
Isabelle HENROT
12
Cours
Janvier 2002
au rang du déterminant. On arrive alors au déterminant appelé déterminant
caractéristique :
a11 $ a1r b1
%
%
%
%
Dk =
ar1 $ arr br
ak1 $ akr bk
La compatibilité de (SS) avec toutes les n − r équations auxiliaires nécessitent de
vérifier que les n − r déterminants caractéristiques sont nuls. D'où les deux
théorèmes :
Le système (SS) est compatible avec le système (SP) si et seulement si tous les
déterminants caractéristiques Dk , r + 1 ≤ k ≤ n, sont nuls. Ces déterminants sont
obtenus à partir de Dr en rajoutant une (r + 1)ième ligne constituée des coefficients
ak1 $ akr de l'équation k (r + 1 ≤ k ≤ n) et la colonne des seconds membres
correspondants de (S).
Si le déterminant d'un système de n équations à n inconnues est nul, le système est
soit indéterminé soit impossible. Soit r le rang du système, on peut alors l'écrire sous
la forme d'un système de r équations principales à r inconnues et n − r paramètres et
d'un système de n − r équations auxiliaires.
Si un des déterminants caractéristiques est non nul, le système n’a pas de solutions.
Si tous les déterminants caractéristiques sont nuls, la solution dépend de n − r
paramètres arbitraires et s'écrit :
Dx
Dx
x1 = 1 , $ , xr = r , xr +1 = λ1 , $ , xn = λn−r ,
Dr
Dr
où les déterminants Dxi sont des déterminants d'ordre r, obtenus à partir du
déterminant Dr en remplaçant la colonne i par la colonne du second membre du
système principal (SP).
Résoudre le système :
⎧ −2 x + y + z = 4
⎪
−2 y + z = −2 .
⎨x
⎪x
+ y −2 z = 1
⎩
On vérifie aisément que le déterminant est nul :
−2 1 1
0 3 −3
3 −3
∆ = 1 −2 1 = 0 −3 3 =
= 0.
−3 3
1 1 −2 1 1 −2
Isabelle HENROT
13
Cours
Janvier 2002
En revanche, tous les déterminants d'ordre 2 sont non nuls. On peut simplement
considérer le premier placé en haut et à gauche de ∆ :
−2 1
= 3 ≠ 0.
1 −2
Le rang du système est donc r = 2. On peut alors mettre le système sous la forme
d'un système de 2 équations à deux inconnues x et y et à un paramètre z, associé à
une équation supplémentaire :
⎧ −2 x + y = 4 − z
⎨
−2 y = −2 − z .
⎩x
x + y = 1 + 2z
Ici, il n'y a qu'un seul déterminant caractéristique, qui est :
−2 1
−2 3 6
4
3 6
D = 1 −2 −2 = 1 −3 −3 =
≠ 0.
−3 −3
1 1 1
1 0 0
Le déterminant caractéristique est non nul : l'équation supplémentaire n'est pas
compatible, il n'y a pas de solution. Le système n’a pas de solutions.
ALG03E04A
Discuter suivant la valeur du réel m le nombre de solutions du système d’équations
linéaires suivant :
⎧mx + y − z = 0
⎪
⎨ x − 2 y + 2z = 0 .
⎪
⎩− x + y + mz = 0
3
Systèmes de n équations à p inconnues
Nous avions jusqu’à présent des systèmes « carrés » dans lesquels il y avait autant de
lignes que de colonnes dans le membre de gauche.
Nous considérons maintenant le cas plus général de systèmes « rectangulaires » avec
n lignes et p colonnes, c’est-à-dire n équations et p inconnues. On distingue deux cas
possibles :
• n > p : plus d’équations que d’inconnues. L’idée est de commencer par résoudre
un système de p équations à p inconnues et de vérifier la compatibilité des
solutions éventuelles avec les n − p équations restantes.
• n < p : plus d’inconnues que d’équations. On considère arbitrairement p − n
inconnues comme des inconnues « auxiliaires » en les faisant passer dans le
membre de droite et on essaie de résoudre le système de n équations à n
inconnues restant.
Dans les deux cas, on commence par chercher le rang r du système, c'est-à-dire
l'ordre du plus grand déterminant non nul extrait du tableau de coefficients de taille
n × p associé au système :
Isabelle HENROT
14
Cours
Janvier 2002
⎡ a11 $ a1 p ⎤
⎢
⎥
∆=⎢ %
%
% ⎥
⎢ an1 $ anp ⎥
⎣
⎦
On appelle rang d’un système linéaire de n équations à p inconnues l’ordre du plus
grand déterminant non nul extrait de ce système.
3.1
Plus d'équations que d'inconnues (n > p).
Dans ce cas, le rang r est inférieur ou égal à p.
3.1.1 Cas r = p .
Si le rang r est égal à p, le système (S) peut être décomposé en un sous-système de
Cramer de p équations à p inconnues, associé à un ensemble de n − p équations
auxiliaires. La solution unique du système de Cramer d'ordre p doit être compatible
avec toutes les équations auxiliaires, c'est-à-dire que les n − p déterminants
caractéristiques suivants doivent être nuls :
a11 $ a1 p b1
Dk =
%
%
%
%
a p1 $ a pp
bp
ak1 $ akp
bk
= 0 , p + 1 ≤ k ≤ n.
Résoudre le système de trois équations à deux inconnues :
⎧x + y = 1
⎪
⎨2 x + y = a .
⎪
2
⎩4 x + y = a
On décompose ce système en un système principal de deux équations à deux
inconnues (de déterminant différent de zéro) associé à une équation auxiliaire :
⎧x + y = 1
⎨
⎩2 x + y = a .
4x + y = a2
Avant de calculer la solution du système, on s'assure d'abord la compatibilité en
vérifiant que le déterminant caractéristique est nul :
1 1 1
1 0 0
−1 a − 2
= −( a − 2 )( a − 1 ).
D3 = 2 1 a = 2 −1 a − 2 =
2
−
−
a
3
4
4 1 a 2 4 −3 a 2 − 4
Isabelle HENROT
15
Cours
Janvier 2002
Il n'y a des solutions que si a = 2 ou a = 1 :
a = 2 ⇒ ( x, y ) = (1,0 )
a = 1 ⇒ ( x, y ) = ( 0,1)
Si a ≠ 1 et a ≠ 2 : pas de solution.
ALG03E05A
Discuter en fonction du paramètre m et résoudre le système d’équations linéaires
suivant :
⎧x + y = 2
⎪x + z = 4
⎪
.
⎨
⎪ y + z = 2m
⎩⎪ x + 2 y + 3z = 8
3.1.2 Cas r < p
Si le rang r est inférieur au nombre p d'inconnues, le système s'écrit sous la forme
d'un sous-système de r équations à r inconnues et p − r paramètres arbitraires,
associé à un ensemble de n − r équations auxiliaires.
La solution du système est impossible si un seul déterminant caractéristique est
différent de zéro. La solution est indéterminée, et dépend de p − r paramètres
arbitraires, si toutes les équations auxiliaires sont compatibles avec le sous-système,
c'est-à-dire si les n − r déterminants caractéristiques suivants sont nuls :
a11 $ a1r b1
%
%
%
%
= 0 ,r + 1 ≤ k ≤ n.
Dk =
ar1 $ arr br
ak1 $ akp bk
Cette solution s'écrit :
x1 =
Dx1
Dr
, $,
xr =
Dxr
Dr
,
xr +1 = λ1 , $ ,
x p = λ p −r
Discuter en fonction du réel m les solutions du système :
⎧x + y = 2
⎪x + z = 4
⎪
⎨ − y + z = 2m
⎪
⎪ 2 x − y + 3 z = 8 + 2m 2
⎩
les déterminants extraits d’ordre 3 sont tous nuls.
Isolons un sous-système :
Isabelle HENROT
16
Cours
Janvier 2002
⎧x + y = 2
⎨
⎩x = 4 − z
1 1
= −1 ≠ 0 donc le rang du système est 2.
1 0
Comme il reste deux équations on doit calculer deux déterminants caractéristiques :
1 1
2
1 1
2
4
= 2 (1 − m )(1 + m )
D1 = 1 0
4 = 2 (1 − m ) et D2 = 1 0
0 −1 2m
2 −1 8 + 2m 2
Le déterminant de ce système est
3.2
•
Premier cas : m = 1 ⇒ D1 = D2 = 0 : le système admet comme ensemble de
solutions S = {( 4 − z,z − 2 ,z ) ,z ∈ R}
•
Deuxième cas : m ≠ 1 ⇒ D1 ≠ 0 : l’un au moins des déterminants caractéristiques
est non nul, il n’y a pas de solution : S = ∅ .
Plus d’inconnues que d’équations : n<p
Dans ce cas , le rang r est inférieur ou égal à n.
3.2.1 Cas r = n
On peut écrire le système sous la forme :
p
⎧
⎪ a11 x1 + $ + a1n xn = b1 − ∑ a1k xk
⎪
k = n +1
⎪
%
%
%
⎨ %
⎪
p
⎪a x + $ + a x = b −
∑ ank xk
nn n
n
⎪ n1 1
k = n +1
⎩
La solution est indéterminée et dépend de p − n paramètres arbitraires :
Dx
Dx
x1 = 1 , $ , xr = r , xr +1 = λ1 , $ , x p = λ p −r
Dr
Dr
où les déterminants Dxi sont des déterminants d'ordre n, obtenus à partir du
déterminant Dn du système en remplaçant la colonne i par la colonne du second
membre.
3.2.2 Cas r < n
Le système s'écrit sous la forme d'un système de r équations à r inconnues dépendant
de p − r paramètres arbitraires, associé à un système de n − r équations auxiliaires :
Isabelle HENROT
17
⎧
a x + $ + a1 r xr
⎪⎪ 11 1
%
%
⎨ %
⎪ar1 x1 + $ + arr xr
⎪⎩
Cours
Janvier 2002
p
∑a
= b1 −
x
1k k
k =r +1
%
= br −
⎧
a x + $ + ar +1, r xr
⎪⎪ r +1,1 1
%
%
%
⎨
⎪ an1 x1 + $ + anr xr
⎪
⎩
p
∑a
rj
xj
j =r +1
p
= b1 −
∑a
j = r +1
%
= bn −
1k
xj
p
∑a
j = r +1
nj
xj
similaire au système étudié au paragraphe 3.2.1. Elle dépend notamment des
déterminants caractéristiques.
La solution est impossible si un des déterminants caractéristiques est différent de
zéro.
La solution est indéterminée et dépend de p − r paramètres arbitraires si tous les
déterminants caractéristiques sont nuls :
x1 =
Dx
1
Dr
, $,
xr =
Dx
r
Dr
,
x r +1 = λ 1 , $,
x p = λ p −r
ALG03E06A
Discuter en fonction du paramètre m et résoudre le système d’équations linéaires
suivant :
⎧x + y + 2z + u = 5
⎪
⎨ 2 x + 3 y − z − 2u = 2 .
⎪4 x + 5 y + 3z = m
⎩
4
Résumé des discussions.
Les discussions des différents cas sont très importantes et nous les résumons dans ce
paragraphe sous la forme de trois organigrammes associés aux trois situations n = p,
n > p, n < p.
Isabelle HENROT
18
4.1
Cours
Janvier 2002
Cas n = p.
n=p
oui
∆≠0
non
Calcul du rang r
Système de Cramer
1 solution unique
Calcul des n - r
déterminants caractéristiques
Dk ,r + 1 ≤ k ≤ n
oui
Système incompatible
Pas de solution
∃ k tel que
Dk ≠ 0
non
Solution indéterminée
dépendant de n - r paramètres
Isabelle HENROT
19
4.2
Cours
Janvier 2002
Cas n > p.
n>p
Calcul du rang r
oui
r =p
Calcul des n - p
Dk , p + 1 ≤ k ≤ n
oui
∃ k tel que
Dk ≠ 0
Pas de solution
non
Calcul des n - r
Dk ,r + 1 ≤ k ≤ n
oui
non
∃ k tel que
Dk ≠ 0
non
Pas de solution
Solution unique
dépendant de p - r paramètres
Isabelle HENROT
20
4.3
Cours
Janvier 2002
Cas n < p.
n<p
Calcul du rang r
oui
dépendant de p - n paramètres
r =n
non
Calcul des n - r
Dk ,r + 1 ≤ k ≤ n
oui
∃ k tel que
non
Dk ≠ 0
Pas de solution
dépendant de p - r paramètres
Isabelle HENROT
21
5
Cours
Janvier 2002
Méthode du pivot de Gauss
Cette méthode permet de résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues
en le transformant en un système triangulaire équivalent, dont la solution, par
substitutions successives est évidente comme nous allons le voir dans le paragraphe
suivant. Cette méthode se programme très facilement et fait partie des routines de
base des logiciels de résolutions de système d'équations linéaires, mais nous ne
détaillerons pas l'algorithme qui pourrait lui être associé.
5.1
Résolution d'un système triangulaire.
On considère le système triangulaire de n équations à n inconnues :
⎧a11 x1 + a12 x2 + $ + a1n xn = b1
⎪
a22 x2 + $ + a2 n xn = b2
⎪
⎨
%
%
%
⎪
⎪⎩
ann xn = bn
avec aii ≠ 0, i = 1,$ ,n.
Le déterminant du système est alors différent de zéro :
n
∆ = ∏ aii ≠ 0
i =1
Les solutions sont alors déterminées simplement de la dernière à la première
équation. En effet, on déduit d'abord de la dernière équation :
b
xn = n
ann
En reportant ce résultat dans la n − 1 équation, on en déduit la valeur de xn−1 :
bn −1 − an −1 n xn
xn −1 =
an −1 n −1
D'une façon générale, on a la relation :
bi −
xi =
5.2
n
∑
j =i +1
aii
aij x j
, i = 1,$ ,n − 1.
Equation pivot.
Nous allons décrire la méthode de Gauss de façon générale. Nous reviendrons sur
cette méthode dans le cours d’analyse numérique où nous verrons comment
l’optimiser afin de mettre en place des logiciels solveurs efficaces.
Isabelle HENROT
22
Cours
Janvier 2002
Considérons un système de n équations à n inconnues :
⎧ a11 x1 + a12 x2 + $ + a1n xn = b1
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + $ + a2 n xn = b2
⎨
%
%
%
⎪
⎪⎩ an1 x1 + an 2 x2 + ... ann xn = bn
Nous supposons qu’il existe i de l’intervalle entier [1..n ] tel que ai1 ≠ 0 . ( sinon le
système « perd » une variable )
Nous réorganisons les équations de telle façon à « faire remonter » la ligne i en
première ligne et nous réindexons les coefficients de manière normale. Cette
manœuvre donne évidemment un système équivalent avec a11 ≠ 0 .
Nous allons maintenant opérer pour transformer le système initial en un système
triangulaire.
On privilégie alors l’équation 1 et le coefficient a11 , qui sera le premier pivot.
La première étape consiste à éliminer l'inconnue x1 dans les équations 2, 3, ..., n par
combinaison linéaire de chacune de ces équations avec la première.
On commence par diviser la première équation par a11 ≠ 0 :
a
a
b
x1 + 12 x2 + $ + 1n xn = 1 .
a11
a11
a11
En multipliant cette équation par ai1 , on obtient :
a
a
b
ai1x1 + ai1 12 x2 + $ + ai1 1n xn = ai1 1 .
a11
a11
a11
-ème
En retranchant celle-ci à la i
équation du système initial, on élimine x1 , et
l'équation devient :
⎛
⎛
⎛
a1n ⎞
a12 ⎞
b1 ⎞
⎜ ai 2 − ai1
⎟ x2 + $ + ⎜ ain − ai1
⎟ xn = ⎜ bi − ai1
⎟.
a11 ⎠
a11 ⎠
a11 ⎠
⎝
⎝
⎝
En effectuant cette élimination pour i = 2,$ ,n , et en posant
⎛
a1k ⎞
⎜ aik − ai1
⎟ = aik ', k = 2 ,$ ,n
a11 ⎠
⎝
⎛
b1 ⎞
⎜ bi − ai1
⎟ = bi
a
⎝
11 ⎠
on arrive au système :
⎧a11 x1 + a12 x2 + $ + a1n xn
⎪
a22 ' x2 + $ + a2 n ' xn
⎪
⎨
%
%
⎪
⎪⎩
an 2 ' x2 + $ + ann ' xn
= b1
= b2 '
%
= bn '
On répète ensuite le procédé pour éliminer x2 dans les équations 3, ..., n.
Après n − 1 étapes, on obtient un système triangulaire.
Isabelle HENROT
23
5.3
Cours
Janvier 2002
Exemples.
5.3.1 Exemple 1.
On numérote les lignes
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
⎨2 x1 + x2 + x3 = 7
⎪3 x + 2 x + x = 10
2
3
⎩ 1
L1 , L2 et L3
L1
L2
L3
Première étape :
On conserve la première équation que l’on multiplie par −2 et −3 qu’on ajoute aux
lignes 2 et 3 respectivement du système, afin d'éliminer la variable x1 dans ces deux
équations. On arrive à :
L1 = L1
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
− x2 − x3 = −5
L2 = L2 − 2 L1
⎨
⎪ − x − 2 x = −8
L3 = L3 − 3 L1
2
3
⎩
Deuxième étape :
On conserve maintenant les deux premières équations, et on élimine la variable x2
dans la troisième équation en la remplaçant par la différence des équations 3 et 2 de,
ce qui donne le système triangulaire :
L1 = L1
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
L2 = L2
⎨ − x2 − x3 = −5
⎪
L3 = L3 − L2
− x3 = −3
⎩
Troisième étape :
On obtient directement x3 dans la troisième équation puis on « remonte ». On peut
ainsi trouver x2 dans la deuxième équation puis enfin x1 à l’aide de la première.
La solution est alors le triplet : (1, 2 ,3)
5.3.2 Exemple 2.
⎧ x1 + x2 + x3
⎪
⎨ x1 + x2 +2 x3
⎪ 2 x + x +3 x
2
3
⎩ 1
=6
=9
= 13
On applique la méthode d'élimination sur le pivot 1 de la variable x1 dans la
première équation. Après transformation, on arrive à :
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
x3 = 3
⎨
⎪
− x2 + x3 = 1
⎩
Isabelle HENROT
24
Cours
Janvier 2002
Le pivot de la variable x2 étant nul dans la seconde équation, on permute les deux
lignes et on arrive au système triangulaire :
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
⎪
− x2 + x3 = 1
⎨
⎪
x3 = 3
⎩
d'où l'on déduit les solutions :
x3 = 3
x2 = x3 − 1 = 2
x1 = 6 − x2 − x3 = 1
L’écriture des variables alourdit la notation et n’apporte rien à la méthode.
L’exercice qui suit adopte une notation matricielle simple à mettre en œuvre. Il suffit
de mettre le deuxième membre à la ( n + 1)
ième
colonne.
La correction proposée met en place cette nouvelle notation.
(ALG03E07A)
Résoudre le système suivant avec la méthode du pivot de Gauss
⎧2 x − 2 y + 4 z + 6t = 4
⎛ 2 −2 4 6 4 ⎞
⎜
⎟
⎪x − y
+ 7t = −8
1 −1 0 7 −8 ⎟
⎪
⎜
que l’on écrira
⎨
⎜ 3 −2 4 8 2 ⎟
⎪3x − 2 y + 4 z + 8t = 2
⎜⎜
⎟⎟
⎪⎩− x − y + 5 z − 6t = 20
⎝ −1 −1 5 −6 20 ⎠
5.4
Comparaison des méthodes de Cramer et de Gauss
La complexité de calcul pour résoudre un système de n équations à n inconnues est
n3
pour n assez grand et n 2 n! pour la méthode de Cramer.
de l’ordre de
3
Soit pour n = 10 :
• 900 opérations élémentaires pour Gauss ( une seconde )
• 360 millions d’opérations élémentaires pour Cramer ( une heure ).
Sans commentaires !
En analyse numérique on explore d’autres méthodes plus sophistiquées de résolution
des systèmes numériques.
Ils ont de nombreuses applications. L’une des plus récentes est la 3ème génération de
téléphones mobiles ( UMTS ).
Isabelle HENROT
25
ALGE03 : Déterminants
Exercices supplémentaires
ALGEO3S01
Résoudre par la méthode du pivot le système :
 x + y + z − 2t = −3
3 x − y + z + 2t = 5


− x + 2 y + z − 3t = −4
 x + z + t = 4
ALGEO3S02
Soit a un paramètre réel.
Résoudre le système
ax + y + z + t = 1
 x + ay + z + t = 1


 x + y + az + t = 1
 x + y + z + at = 1
Cycles Préparatoires du Service Commun de Formation Continue de l'INPL.
Isabelle HENROT
Juin 2003
Enoncés
Juin 2003
ALGE03E02B
Calculer le déterminant D en faisant apparaître des termes nuls sur une rangée :
3 1 6
D = 15 4 −3
8 7 12
Isabelle HENROT
1
Enoncés
Juin 2003
ALGE03E02C
3 1
4 7
Calculer le déterminant D =
2 −1
−3 1
0 −2
2 1
0 5
4 1
Isabelle HENROT
2
Enoncés
Juin 2003
ALGE03E03B
ax + y = a − b
On considère le système d’équations linéaires suivant : 
 x + ay = 1
Où x et y sont des inconnues et a et b des paramètres.
1) Calculer les déterminants du système.
2) Discuter l’existence des solutions en fonction des paramètres et indiquer ces
solutions lorsqu’elles existent.
Isabelle HENROT
3
Enoncés
Juin 2003
ALGE03E06B
Résoudre le système d’équations linéaires suivant :
−4 x + 2 y + 3 z + −3u − 9v = 3

−2 x + y + z + u + 3v = 1 .
 2 x − y + 2 z + 2u + 6v = 2

Isabelle HENROT
4
Solutions
Juin 2003
ALG03E01A
Les trois propriétés ont des démonstrations identiques. Effectuons la première.
r ur
Soient λ, µ deux éléments du corps K et v, w deux vecteurs de l’espace vectoriel
K3.
Comme f est trilinéaire on peut écrire
r
ur r ur
r r ur
ur r ur
f λv + µ w, v, w = λf v, v, w + µf w, v, w
(
)
(
)
(
)
Comme f est alternée, elle s’annule chaque fois que deux vecteurs sont égaux : ainsi
r r ur
ur r ur
f v, v, w = 0 et f w, v, w = 0 .
r
ur r ur
On en déduit que f λv + µ w, v, w = 0 .
(
)
(
(
)
)
Appliquée à la forme trilinéaire alternée « déterminant » cette formule se traduit par :
si une famille de trois vecteurs de K 3 est liée, alors son déterminant est nul.
Si vous avez éprouvé des difficultés à résoudre cet exercice, nous vous
conseillons de contacter votre tuteur
Isabelle HENROT
1
Solutions
Juin 2003
ALG03E02A
1) Développement selon les mineurs :
1 0
2 0
2 1
Da = 1×
− 2×
+ 3×
= 2 − 8 + 21 = 15
−1 2
−1 3
3 2
Db = −2 ×
2 0
1 3
1 3
+ 1×
− 3×
= −8 + 5 + 18 = 15
−1 2
−1 2
2 0
2 1
1 2
+ 2×
= 21 − 6 = 15
−1 3
2 1
On peut remarquer que les calculs sont plus économiques lorsque l’on utilise des
rangées comportant des termes nuls.
Dc = 3 ×
2) Calcul de D1 , D2 , D3 :
14 2 3
4 1
14 2
D1 = 4 1 0 = 3 ×
+ 2×
= 3 + 12 = 15
11 3
4 1
11 3 2
⇒ D1 = D
0 2 3
2 3
2 3
D2 = 9 1 0 = −9 ×
− 10 ×
= 45 + 30 = 75 ⇒ D2 = 5 D
3 2
1 0
−10 3 2
1 2 0
1 2
= 15
D3 = 2 1 −3 = − ( −3) ×
−1 3
−1 3 0
⇒ D3 = D
Le calcul de D3 est plus simple car on fait apparaître deux termes nuls sur la 3ième
colonne.
conseillons de cliquer sur Exercice
Isabelle HENROT
2
Solutions
Juin 2003
ALG03E02B
Dans la combinaison des rangées, on a intérêt à utiliser les termes les plus simples,
c’est à dire les termes 1 ou −1 s’il y en a. Par exemple, les combinaisons des lignes :
L2 ← L2 − 4 L1
simplifient la seconde colonne.
L3 ← L3 − 7 L1
3
1
6
3
D = 15 4 −3 = 3
8
7 12
1
6
0 −27 = −1×
−13 0 −30
3
6
−13 −30
= − ( −90 − 351) = 441
De même, les combinaisons sur les colonnes :
C1 ← C1 − 3C2
simplifient première ligne.
C3 ← C3 − 6C2
3
1
6
0
1
0
3 −27
D = 15 4 −3 = 3 4 −27 = −1×
= − ( −90 − 351) = 441
−13 −30
8 7 12 −13 7 −30
Isabelle HENROT
3
Solutions
Juin 2003
ALG03E02C
On fait apparaître un terme nul supplémentaire sur la 3ième colonne, par :
L4 ← L4 − 2 L2
3 1 0 −2
3
1 0 −2
3
1 −2
4 7 2 1
4
7 2 1
=
= −2 2
−1 5
D=
−1 0 5
2 −1 0 5
2
−11 −13 −1
−3 1 4 1
−11 −13 0 −1
On peut maintenant simplifier la première ligne en combinant les colonnes :
C1 ← C1 − 3C2
C3 ← C3 + 2C2
3
D = −2 2
1
−2
−1
5 = ( −2 )( −1)
−11 −13 −1
5
3
28 −27
= 2 ( −135 − 84 ) = −438
NB : Lorsque l’on effectue plusieurs transformations simultanément, il faut vérifier
que les rangées utilisées n’ont pas été modifiées préalablement. Par exemple, si on
utilise :
C1 ← C1 + C2 + 2C3
C2 ← C2 − 4C1
La colonne C1 dans la deuxième transformation est celle déjà modifiée par la
première transformation et non celle du déterminant initial.
Isabelle HENROT
4
Solutions
Juin 2003
ALG03E03A
Le déterminant principal du système est formé par les coefficients x, y et z :
5 −1 2
D = −1 2 1 = −21 .
1
1
−1
Les déterminants Dx , Dy , Dz s’obtiennent
en remplaçant, respectivement, les
colonnes des coefficients de x, y et z par la colonne du second membre :
9 −1 2
5 9 2
5 −1 9
Dx = 6 2 1 = −21 , D y = −1 6 1 = −42 , Dz = −1 2 6 = −63 .
0 1 −1
1 0 −1
1 1 0
La solution du système de Cramer est donnée par :
Dy
D
D
= 2 , z = z = 3.
x = x = 1, y =
D
D
D
Isabelle HENROT
5
Solutions
Juin 2003
ALG03E03B
a 1
a −b 1
a a −b
= a 2 − 1 , Dx =
= a 2 − ab − 1 , D y =
=b.
1 a
1
a
1
1
2) Il y a toujours deux cas principaux selon les valeurs du déterminant principal D.
cas 1 : D ≠ 0 , c’est-à-dire a ≠ ±1 . Le système admet une solution unique :
Dy
D
b
a 2 − ab − 1
y
=
=
,
.
x= x =
D a2 −1
D
a2 −1
cas 2 : D = 0 , conduisant à deux sous-cas.
cas 2.1 : a = 1 . On calcule Dx = −b et Dy = b . Deux nouvelles possibilités.
1) D =
cas 2.1.1 : b ≠ 0 . Le système est impossible car Dx ≠ 0 . Il correspond
géométriquement à deux droites parallèles : x + y = 1 − b et x + y = 1 .
cas 2.1.2 : b = 0 . Donc Dx = Dy = 0 . L’une des deux équations du système est
inutile de sorte qu’il y a une infinité de solutions x = y − 1 . Les deux droites
formant le système sont confondues.
cas 2.2 : a = −1 . Dx = Dy = b . Deux autres possibilités.
cas 2.1.1 : b ≠ 0 . Le système est impossible car Dx ≠ 0 . Il correspond
géométriquement à deux droites parallèles : x − y = 1 + b et x − y = 1 .
cas 2.1.2 : b = 0 . Donc Dx = Dy = 0 . L’une des deux équations du système est
inutile de sorte qu’il y a une infinité de solutions x = y + 1 . Les deux droites
formant le système sont confondues.
Isabelle HENROT
6
Solutions
Juin 2003
ALG03E04A
Un système homogène (sans second membre) n’est jamais impossible car il admet
toujours la solution évidente x = y = z = 0 . Dans les systèmes carrés, le cas D ≠ 0 ne
fournit que cette solution unique et banale, alors que le cas D = 0 est plus intéressant
en pratique conduisant à une infinité de solutions. Nous avons D = − ( 2m + 1)( m + 1) .
Cas 1 : D ≠ 0 . Solution banale x = y = z = 0 .
Cas 2 : D = 0 . Une équation superflue.
Cas 2.1 : m = −1 . On élimine la 1ère équation qui est identique à la 3ème. En utilisant les
2 autres équations, on peut déterminer x et y en fonction de z :
1 −2
−2 z −2
1 −2 z
= −1 , Dx =
Dxy =
= 0 , Dy =
= −z .
−1 1
z
1
−1 z
Infinité de solutions :
Dy
D
x = x = 0, y =
=z.
Dxy
Dxy
−1
. La 1ère équation est toujours redondante (identique à la 2ème) :
2
−2 z −2
1 −2 z
1 −2
3z
′ =
Dxy
= −1 , Dx = z
= − z , Dy =
z =− .
−1 1
2
−1
1
2
2
Infinité de solutions :
Dy 3z
D
= .
x= x = z, y =
2
Dxy
Dxy
Cas 2.2 : m =
Isabelle HENROT
7
Solutions
Juin 2003
ALG03E05A
Forme matricielle du système :
1 1 0
 2 

 r  
1 0 1× X =  4  .
0 1 1
 2m 


 
1 2 3
14
 8 
243
M
On cherche un déterminant 3.3 de M non nul. En utilisant les 3 premières équations :
1 1 0
D123 = 1 0 1 = −2 ≠ 0 .
0 1 1
Ces trois équations conduisent donc à une solution unique :
2 1 0
1 2 0
1 1 2
Dx = 4 0 1 = 2m − 6 , Dy = 1 4 1 = 2 − 2m , Dz = 1 0 4 = −2 − 2m .
2m 1 1
0 2m 1
0 1 2m
Dy
Dx
D
= 3− m, y =
= m −1 , z = z = m +1 .
D123
D123
D123
ème
On remplace x, y et z dans la 4 équation :
3 − m + 2 ( m − 1) + 3 ( m + 1) = 8 ⇒ m = 1 .
x=
Cas 1 : m ≠ 1 , le système est impossible.
Cas 2 : m = 1 , le système admet une solution unique x = 2 , y = 0 , z = 2 .
Isabelle HENROT
8
Solutions
Juin 2003
ALGE03E06A
1
1 1 2
5

 r  
 2 3 −1 −2  X =  2  .
4 5 3
m
0 

 
On vérifie que tous les déterminants 3.3 de M sont nuls. Il existe donc une
combinaison linéaire des lignes, qu’on peut trouver en identifiant al1 + bl2 + cl3 = 0 .
On obtient l3 = 2l1 + l2 . On regarde si cette combinaison est vérifiée ou non par les
termes du second membre : m = 2 × 5 + 2 .
Cas 1 : m ≠ 12 , le système est impossible.
Cas 2 : m = 12 . On élimine la 3ème équation du système qui est inutile (combinaison
des 2 autres). La procédure est répétée : on cherche un déterminant 2.2 de M non nul,
par exemple Dxy = 1 . Par conséquent, x et y s’expriment de façon unique en fonction
de z et u :
Dx =
5 − 2z − u 1
1 5 − 2z − u
= −8 + 5 z + 4u .
= 13 − 7 z − 5u , D y =
2 + z + 2u 3
2 2 + z + 2u
Donc
x=
Dy
Dx
= −8 + 5 z + 4u .
= 13 − 7 z − 5u , y =
Dxy
Dxy
Isabelle HENROT
9
Solutions
Juin 2003
ALGE03E06B
 −4 2 3 −3 −9 
 3

 r  
 −2 1 1 1 3  × X =  1  .
 2 −1 2 2 6 
 2
1444
 
424444
3
M
Pour pouvoir exprimer 3 inconnues en fonction des 2 autres, il faut trouver un
(
)
déterminant 3.3 de M non nul. Il y a 10 déterminants possibles C53 = 10 . On
minimise le choix, en notant que les 2 premières colonnes de M sont
proportionnelles. Tout déterminant qui inclurait ces colonnes serait nul, autrement dit
les inconnues x et y ne peuvent pas être déterminées simultanément. Même
raisonnement et conclusion pour u et v. On calcule Dyzu :
2
3 −3
D yzu = 1 1
−1 2
1 = −18 .
2
D yzu étant non nul, on peut exprimer, de façon unique, y, z et u en fonction de x et
v:
y=
Dy
Dyzu
, z=
D
Dz
, u= u .
D yzu
D yzu
Les déterminants D y , Dz , Du sont obtenus en transférant d’abord les termes en x et
v dans le second membre du système, et ensuite en substituant cette colonne libre à
celle de y, z et, respectivement, u dans Dyzu :
3 + 4 x + 9v 3 − 3
D y = 1 + 2 x − 3v 1
2 − 2 x − 6v 2
2
3 + 4 x + 9v − 3
1 = −36 x , Dz = 1 1 + 2 x − 3v
−1 2 − 2 x − 6v
2
1 = −18 , Du = 54v .
2
Une solution du système est donc y = 2 x , z = 1 , u = −3v .
De manière similaire, on aurait pu montrer que Dxzu ≠ 0 et déterminer ( x,z,v ) en
fonction de ( y,u ) .
Isabelle HENROT
10
Solutions
Juin 2003
ALGE03E07A
Système initial :
 L1 
 2 −2 4 6 4 
 


 L2 
 1 −1 0 7 −8 
 L3 
 3 −2 4 8 2 
 


 −1 −1 5 −6 20 
 L4 
Première étape :
4   L1 ← L1

 2 −2 4 6

  L ← L −1 2 L 
2
1
 0 0 −2 4 −10   2
 0 1 −2 −1 −4   L3 ← L3 − 3 2 L1 


 
 0 −2 7 −3 22   L4 ← L4 + 1 2 L1 
Première étape (bis) On fait remonter le pivot non nul a32 en a22 , ce qui équivaut à
l’échange des lignes 2 et 3.
4   L1 ← L1 
 2 −2 4 6


 
 0 1 −2 −1 −4   L2 ← L3 
 0 0 −2 4 −10   L3 ← L2 
 0 −2 7 −3 22   L ← L 

  4
4
Deuxième étape : l’élimination du coefficient de x2 est déjà faite à la ligne 3, il
suffit de le faire à la ligne 4.
4   L1 ← L1

 2 −2 4 6


 L ←L
2

 0 1 −2 −1 −4   2

 0 0 −2 4 −10   L3 ← L3
 0 0 3 −5 14   L ← L + 2 L 

  4
4
2
Troisième étape :
 L ← L1

4   1
 2 −2 4 6


  L2 ← L2

0
1
−
2
−
1
−
4

 L ←L

3
 0 0 −2 4 −10   3


 
3 
 0 0 0 1 −1   L4 ← L4 + L2 

2 
On trouve finalement la solution unique : ( 0;1; 3;−1)
Isabelle HENROT
11
Aides
Juin 2003
ALGE03E01A
Utilisez les deux propriétés suivantes :
• Comme f est trilinéaire on peut développer l’expression.
• Comme f est alternée, elle s’annule chaque fois que deux vecteurs sont égaux.
Isabelle HENROT
1
Aides
Juin 2003
ALGE03E02A
1) Développement selon les mineurs :
Utilisez la méthode du paragraphe 1.5.
2) Calcul de D1 , D2 , D3 : utilisez les propriétés du paragraphe 1.3.
Isabelle HENROT
2
Aides
Juin 2003
ALGE03E02B
Dans la combinaison des rangées, on a intérêt à utiliser les termes les plus simples,
c’est à dire les termes 1 ou −1 s’il y en a. Par exemple, les combinaisons des lignes :
L2 ← L2 − 4 L1
simplifient la seconde colonne.
L3 ← L3 − 7 L1
Isabelle HENROT
3
Aides
Juin 2003
ALGE03E02C
On fait apparaître un terme nul supplémentaire sur la 3ième colonne, par :
L4 ← L4 − 2 L2
3 1 0 −2
3
1 0 −2
3
1 −2
4 7 2 1
4
7 2 1
=
= −2 2
−1 5
D=
−1 0 5
2 −1 0 5
2
−11 −13 −1
−3 1 4 1
−11 −13 0 −1
On peut maintenant simplifier la première ligne en combinant les colonnes :
C1 ← C1 − 3C2
C3 ← C3 + 2C2
Isabelle HENROT
4
Aides
Juin 2003
ALGE03E03A
On calcule le déterminant principal du système :
5 −1 2
D = −1
1
2
1 .
1
−1
Ensuite on calcule les déterminants Dx , Dy , Dz qui s’obtiennent en remplaçant,
respectivement, les colonnes des coefficients de x, y et z par la colonne du second
membre.
Isabelle HENROT
5
Aides
Juin 2003
ALGE03E03B
a 1
a −b 1
a a−b
, Dx =
, Dy =
.
a
1 a
1
1
1
2) Il faut partir des valeurs du déterminant principal D : s’il est non nul solution
unique, sinon soit une infinité de solutions, soit pas de solutions du tout.
1) D =
Isabelle HENROT
6
Aides
Juin 2003
ALGE03E04A
Un système homogène (sans second membre) n’est jamais impossible car il admet
toujours la solution évidente x = y = z = 0 . Dans les systèmes carrés, le cas D ≠ 0 ne
fournit que cette solution unique et banale, alors que le cas D = 0 est plus intéressant
en pratique conduisant à une infinité de solutions.
Isabelle HENROT
7
Aides
Juin 2003
ALGE03E05A
1 1 0
 2 

 r  
1 0 1× X =  4  .
0 1 1
 2m 


 
1 2 3
14
 8 
243
M
On cherche un déterminant 3.3 de M non nul
On exprime alors les trois inconnues et on vérifie la compatibilité de la quatrième
équation.
Isabelle HENROT
8
Aides
Juin 2003
ALGE03E06A
1
1 1 2
5

 r  
 2 3 −1 −2  X =  2  .
4 5 3 0
m


 
On vérifie que tous les déterminants 3.3 de M sont nuls. Il existe donc une
combinaison linéaire des lignes, qu’on peut trouver en identifiant al1 + bl2 + cl3 = 0 .
On regarde si cette combinaison est vérifiée ou non par les termes du second
membre.
Isabelle HENROT
9
Aides
Juin 2003
ALGE03E06B
 −4 2 3 −3 −9 
 3

 r  
 −2 1 1 1 3  × X =  1  .
 2 −1 2 2 6 
 2
1444
 
424444
3
M
Pour pouvoir exprimer 3 inconnues en fonction des 2 autres, il faut trouver un
(
)
déterminant 3.3 de M non nul. Il y a 10 déterminants possibles C53 = 10 . On
minimise le choix, en notant que les 2 premières colonnes de M sont
proportionnelles. Tout déterminant qui inclurait ces colonnes serait nul, autrement dit
les inconnues x et y ne peuvent pas être déterminées simultanément. Même
raisonnement et conclusion pour u et v.
Isabelle HENROT
10
Aides
Juin 2003
ALGE03E07A
Système initial :
 L1 
 2 −2 4 6 4 
 


 L2 
 1 −1 0 7 −8 
 L3 
 3 −2 4 8 2 
 −1 −1 5 −6 20 
 L 


 4
Première étape : on élimine les coefficients de la première colonne n dessous du 2
4   L1 ← L1

 2 −2 4 6

  L ← L −1 2 L 
2
1
 0 0 −2 4 −10   2
 0 1 −2 −1 −4   L3 ← L3 − 3 2 L1 
 0 −2 7 −3 22   L ← L + 1 2 L 

  4
4
1
Première étape (bis) On fait remonter le pivot non nul a32 en a22 , ce qui équivaut à
l’échange des lignes 2 et 3, et on élimine les coefficients de la deuxième colonne en
dessous du 1.
Isabelle HENROT
11

SYSTEMES D`EQUATIONS LINEAIRES DETERMINANTS

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