stabilite en virage - Université de Liège
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STABILITE DYNAMIQUE DU VEHICULE EN VIRAGE Pierre DUYSINX Ingénierie des Véhicules Terrestres Université de Liège Année Académique 2015-2016 1 Références bibliographiques G. Sander « Véhicules Automobiles», Notes de cours, 1983, Université de Liège G. Genta. « Motor Vehicle Dynamics: Modeling and Simulation ». World Scientific. 1997. J.R. Ellis. Vehicle Dynamics. London Business Book Limited. 1969 2 Plan de l’exposé Modèle bicyclette Équations du comportement dynamique du modèle bicyclette Étude de la stabilité du mouvement Équations d’équilibre Équations de compatibilité Équations de la dynamique Dérivées de stabilité Équations sous forme canonique Signe des parties réelles Étude du discriminant Cas du virage établi Description de la trajectoire 3 Modèle bicyclette Véhicule infiniment rigide en tangage (q=0) et en pompage (w=0) Véhicule sans roulis : p=0 On peut ignorer le phénomène de transfert de charge latéral qui conduit à une réduction de la raideur d’envirage de l’essieu lorsque les accélérations latérales restent sous 0.5 g (L. Segel, Theoretical Prediction and Experimental Substantiation of the Response of Automobile Steering Control, Cornell Aer. Lab. Buffalo. NY.) Mouvement à vitesse constante V Plan y=0 est plan de symétrie : Jyx = 0 et Jyz = 0 4 Modèle bicyclette Petits angles de braquage de dérive Théorie linéarisée CONCLUSION Modèle linéarisé à deux degrés de liberté: angle de dérive b (v) vitesse de lacet r 5 Modèle bicyclette 6 Équilibre dans le repère dynamique (véhicule) Équations d’équilibre Dérivée dans le repère dynamique Équations d’équilibre 7 Équilibre dans le repère dynamique Modèle à 2 ddls e Jxy = 0 et Jyz = 0 Équations du mouvement Équations des réactions relatives aux déplacements bloqués 8 Équilibre dans le repère dynamique Explication Pour un mouvement circulaire e Jxy = 0 et Jyz = 0 Forces agissantes: Forces développées par les pneus Autres forces (ex forces aérodynamiques) négligées, car elles ne dépendent pas des perturbations (en première approximation) 9 Équilibre dans le repère dynamique Équilibre selon Fy et Mz e Jxy = 0 et Jyz = 0 Hypothèse des petits angles Équilibre linéarisé 10 Équations de compatibilité Compatibilité des angles et des vitesses Petits angles de dérive et de braquage Si u=V 11 Équation de comportement des pneus Forces latérales et raideur d’envirage Source: Gillespie (fig 6.2) 12 Modèle dynamique Équilibre Introduisons les relations constitutives Utilisons les compatibilités 13 Modèle dynamique Les forces latérales et les moments de lacets s’écrivent donc: Soit 14 Modèle dynamique Équations de comportement du modèle bicyclette 15 Dérivées de stabilité De manière équivalente, cela revient à développer en série de Taylor les forces et moments autour de la configuration de référence On note habituellement les dérivées de stabilité 16 Dérivées de stabilité Valeur des dérivées de stabilité Les équations différentielles s’écrivent alors 17 Forme canonique des équations Il est également intéressant de remarquer que le modèle bicyclette conduit à un modèle linéaire invariant au cours du temps. Il est commun de mettre ce type de modèle sous forme canonique. Les variables d’état du système et le vecteur de commande sont: Les matrices A et B du systèmes s’obtiennent aisément 18 Étude de la stabilité du système Utilisation de la transformation de Laplace Le système devient (s mV ¡ Y¯ ) ¯(s) + (mV ¡ Yr ) r(s) = Y± ±(s) ¡N¯ ¯(s) + (s Jzz ¡ Nr ) r(s) = N± ±(s) La stabilité de la réponse libre résulte de l’examen des racines de l’équation caractéristique Soit mV Jzz s2 ¡ (Y¯ Jzz + mV Nr ) s + (Y¯ Nr ¡ Yr N¯ + N¯ mV ) = 0 19 Étude de la stabilité du système Équation caractéristique Cette équation est semblable à celle des vibrations d’un oscillateur à 1 degré de liberté x k c m f 20 Étude de la stabilité du système Racines de l’équation caractéristique Critère de stabilité: les parties réelles de toutes les racines doivent être négatives Si racines complexes conjugués, la somme des racines doit être négative Si racines réelles, la somme doit être négative et le produit positif Soit: Le critère est équivalent à Routh Hurwitz. 21 Étude de la stabilité du système Im x t t k t c m f Re stable t instable t 22 Étude de la stabilité du système Équation caractéristique (rappel) A vérifier: Première condition: toujours satisfaite 23 Étude de la stabilité du système Seconde condition: Soit D’où la condition 24 Étude de la stabilité du système La seconde condition est satisfaite si Pour un véhicule sous-vireur: le comportement est toujours stable Pour un véhicule sur-vireur le comportement est instable au-dessus de la vitesse critique 25 Étude du type de mouvement Examen du discriminant si r>0: 2 racines réelles, amortissement plus que critique et mouvement apériodique si r<0: 2 racines complexes conjuguées, amortissement sous critique si r=0, 2 racines confondues, amortissement critique 26 Étude du type de mouvement Valeur du discriminant On trouve finalement 27 Étude du type de mouvement Discriminant (rappel) Lorsque Nb<0 (machine sur-vireuse), r>0. La réponse est apériodique Stable tant que v < Vcrit. Lorsque Nb>0 (machine sous-vireuse), r<0. Le terme positif décroît avec 1/V² La réponse devient oscillante amortie au-delà de la vitesse 28 Équations du virage en régime établi Le mouvement circulaire est caractérisé par: Il vient successivement La valeur de l’angle de dérive La valeur de la vitesse de lacet 29 Équations du virage en régime établi On en déduit le gain de vitesse de lacet: Sachant que: Il vient 30 Équations du virage en régime établi Soit en tenant compte des données cinématiques du mouvement en virage En introduisant la valeur On retrouve l’expression classique 31 Description de la trajectoire La trajectoire peut être décrite par une loi paramétrique entre le temps et les coordonnées absolues x projeté X On définit: q l’angle de course entre la trajectoire et l’axe des X y l’angle de cap entre l’axe des X et l’axe des x du repère de la voiture b l’angle de dérive du véhicule, l’angle entre l’axe des x de la voiture et le vecteur vitesse tangent à la trajectoire Angle de cap y Angle de course Angle de dérive b Vitesse instantannée (projection) Angle de braquage y projeté Trajectoire du véhicule Y 32 Description de la trajectoire On évidemment les relations suivantes entre les angles de course q, de cap y et de dérive b: Les vitesses linéaires s’obtiennent par changement de repère entre le repère inertiel et celui de la voiture: 33