Sciences Industrielles pour l`Ingénieur en MPSI

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TABLE DES MATIÈRES
1 Caractérisation et étude des systèmes asservis
1.1 Systèmes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Structure d’un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Régulation et asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Caractéristiques d’un système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Exemples de cahiers des charges de SA . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Les signaux canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Rapidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Dépassements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Systèmes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Systèmes linéaires continus invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Systèmes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Systèmes invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Description des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Description par les équations différentielles . . . . . . . . . . .
1.4.2 Résolution par la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . .
1.5 Fonction de transfert – Transmittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Schéma bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Pôles et zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Schéma fonctionnel ou schéma bloc . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
3
4
4
4
6
8
9
9
11
12
12
14
14
15
15
16
25
25
26
26
27
27
2
TABLE DES MATIÈRES
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
Des équations différentielles au schéma-bloc . . . . . . . . . .
Manipulation des schémas blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple guide : détermination d’une fonction de transfert . .
Application guide : Moteur à courant continu à champ permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
29
32
37
42
45
CHAPITRE 1
CARACTÉRISATION ET ÉTUDE DES SYSTÈMES ASSERVIS
1.1 Systèmes asservis
Les systèmes asservis sont des systèmes automatisés, ils forment la plus grande
partie des systèmes que nous allons étudier cette année.
1.1.1 Structure d’un système asservi
L’objectif d’un système automatisé étant de remplacer l’homme dans une tâche,
nous allons pour établir la structure d’un système automatisé commencer par étudier le fonctionnement d’un système dans lequel l’homme est la « partie commande ».
a ) Exemple : conducteur au volant d’un véhicule
θ
d
F IGURE 1.1 – maintien de la trajectoire d’une voiture
Le conducteur doit suivre la route (figure 1.1), pour cela :
– Il observe la route et son environnement et évalue la distance d qui sépare
son véhicule du bord de la route.
– Il détermine en fonction du contexte l’angle θ qu’il doit donner au volant
pour suivre la route.
1
2
– Il agit sur le volant (donc sur le système), la rotation du volant est transmise
aux roues via la colonne de direction.
– puis de nouveau il recommence son observation pendant toute la durée du
déplacement.
– Si un coup de vent dévie le véhicule, après avoir observé et mesuré l’écart il
agit pour s’opposer à cette perturbation le plus rapidement possible.
b ) Schéma fonctionnel
Le fonctionnement peut être traduit par le schéma de la figure 1.2.
perturbations
consigne
Comparer
²
Déterminer
erreur
θ
Agir
Transmettre
d
d’
Mesurer
(a) Schéma fonctionnel
perturbations
consigne
Comparateur
²
Régulateur
erreur
θ
Actionneur
Effecteur
d
d’
Capteur
(b) Constituants
F IGURE 1.2 – Schémas caractéristiques d’un asservissement
Les schémas de la figure 1.2 présente la structure classique d’un système asservis, on y retrouve la structure générique que nous avons détaillée dans le chapitre
précédent (figure ??). Elle fait apparaître une chaine directe d’action et boucle de
rétroaction.
Un capteur mesure en permanence l’évolution de la sortie à contrôler (ici la
distance d ) et en retourne une image (d 0 ) à la partie commande qui la compare à
la consigne. En fonction de l’erreur (²), le système va déterminer la nouvelle loi de
commande (ici θ) et agir.
1.1 Systèmes asservis
3
c ) Constituants et signaux
Comparateur : le comparateur est chargé de comparer la consigne et l’image de
la grandeur à asservir. À la sortie du comparateur, on trouve l’erreur (ou
écart) entre ces deux informations.
Partie commande ou régulateur : la partie commande, le régulateur, le contrôleur, détermine la loi de commande à partir de l’erreur et de son évolution.
Actionneur : c’est l’organe d’action qui apporte l’énergie au système pour produire l’effet souhaité. Il est en général associé à un pré-actionneur qui permet de moduler l’énergie.
Capteur : le capteur prélève sur le système la grandeur réglée ( information physique ) et la transforme en un signal compréhensible par le régulateur. La
précision et la rapidité sont deux caractéristiques importantes du capteur.
Effecteur : L’effecteur rassemble l’ensemble des constituants qui vont permettre
d’obtenir la sortie à partir de l’énergie fournie par l’actionneur. On trouvera
par exemple dans un asservissement qui agit sur de l’énergie mécanique :
– un réducteur à engrenages,
– un système de transmission à poulie et courroies ou à chaîne,
– un mécanisme bielle manivelle,
– un système vis-écrou,
– ...
Consigne : la consigne, est la grandeur réglante du système, c’est ce que l’on veut
obtenir.
Sortie régulée : la sortie régulée représente le phénomène physique que doit régler le système, c’est la raison d’être du système.
Perturbation : on appelle perturbation tout phénomène physique intervenant
sur le système qui modifie l’état de la sortie. Un système asservi doit pouvoir maintenir la sortie a son niveau indépendamment des perturbations.
Écart, erreur : on appelle écart ou erreur, la différence entre la consigne et la sortie. Cette mesure ne peut être réalisée que sur des grandeurs comparables,
on la réalisera donc en général entre la consigne et la mesure de la sortie.
1.1.2 Régulation et asservissement
On considère deux types principaux de systèmes asservis.
Régulation : on appelle régulation un système asservi qui doit maintenir constante
la sortie conformément à la consigne (constante) indépendamment des perturbations (régulation de température d’un four, régulateur de vitesse, . . .).
Asservissement : on appelle asservissement un système asservi dont la sortie doit
suivre le plus fidèlement possible la consigne quelle que soit son évolution
(suivi de trajectoire d’un robot, asservissement de vitesse).
4
1.2 Caractéristiques d’un système asservi
1.2.1 Exemples de cahiers des charges de SA
– Four : Un four électrique doit atteindre la température de consigne à 10°C
près en moins de 30 min puis la maintenir sans fluctuation. À l’ouverture de
la porte la température ne doit pas chuter.
– Robot d’assemblage 1 : Un robot assure l’assemblage de deux pièces, la première arrive sur un tapis et s’arrête devant le poste d’assemblage. Le robot
saisit l’autre pièce sur un tapis d’amenage et la positionne sur la première.
La précision d’assemblage est de 0,2 mm.
– Robot d’assemblage 2 : Afin d’améliorer la productivité du poste précédent,
on ne souhaite plus arrêter la première pièce et réaliser l’assemblage de manière dynamique.
– Suspension : La suspension active doit assurer une hauteur de caisse constante
quelle que soit la charge du véhicule et doit absorber les défauts de la route.
Le nombre des oscillations résiduelles ne doit pas être supérieur à 3.
Nous voyons au travers de ces quelques extraits de cahier de charges les caractéristiques que l’on peut attendre d’un système asservi :
– Le temps de réponse du four est de 30 min ;
– Le système de régulation du four doit permettre de rejeter les perturbations
(ouverture de la porte) ;
– La précision est une qualité importante pour le four (10°C près), le premier
robot ( 0,2 mm). Pour ces deux systèmes, il s’agit de l’erreur à une entrée
constante (la température, la position), pour le deuxième robot, il doit être
précis pendant le mouvement (suivi de trajectoire).
– Le système peut autoriser ou non les oscillations avant la stabilisation et
bien sûr tous ces systèmes doivent être stables.
1.2.2 Les signaux canoniques
Pour étudier le comportement d’un système asservi, on le sollicite avec des
signaux canoniques qui permettent de caractériser des fonctionnements particuliers.
a ) Échelon - Heaviside
L’échelon est le signal de base d’étude des systèmes asservis. Il permet d’étudier le comportement du système lorsqu’on on lui applique une consigne constante.
Il est généralement noté u(t )
L’échelon unitaire est appelé fonction de Heaviside et parfois noté H(t ).
( L’échelon est défini par :
t <0:
e(t ) = 0
.
t ≥ 0 : e(t ) = E0
5
( L’échelon unitaire par :
t < 0 : e(t ) = 0
.
t ≥ 0 : e(t ) = 1
s
1
t
0
0
1
F IGURE 1.3 – Échelon unitaire
b ) Impulsion - Dirac
Cette fonction permet de simuler le comportement à un choc, une impulsion.
L’impulsion ou fonction de Dirac (figure 1.4(a)) est définie par :
ˆ
∀t 6= 0, δ(t ) = 0 et
+∞
δ(t )d t = 1.
−∞
Elle est physiquement irréalisable elle peut être modélisée par la limite lorsque
τ tend vers 0 de la fonction représentée sur la figure 1.4(b).
s
s
1
τ
↑ +∞
1
1
t
0
0
t
0
0
1
(a) impulsion de Dirac
τ→0
(b) modèle de l’impulsion de Dirac
F IGURE 1.4 – impulsion de Dirac
c ) Rampe
1
6
s
L’entrée en rampe permet d’étudier
le comportement dynamique d’un système et principalement sa capacité à
suivre une consigne variable. La rampe
est définie par :
(
t <0:
e(t ) = 0
.
t ≥ 0 : e(t ) = a · t
1
t
0
0
1
F IGURE 1.5 – Rampe
d ) Sinusoïdal
L’entrée sinusoïdale permet d’étudier le comportement fréquentiel du
système en faisant varier la pulsation du
signal.
( Le signal sinusoïdal est défini par :
t <0:
e(t ) = 0
s
1
t
0
0
1
2
t ≥ 0 : e(t ) = a · sin ω · t
F IGURE 1.6 – Rampe
1.2.3 Précision
La précision est caractérisée par l’écart entre la consigne et la sortie. La précision peut être soit absolue, soit relative, elle est toujours définie par rapport à
un type de sollicitation : un échelon si on souhaite caractériser la réponse pour
une consigne constante, une rampe si on souhaite étudier le comportement dynamique.
a ) Erreur indicielle
L’erreur indicielle est mesurée entre la valeur finale de la réponse du système
en régime établi (à l’infini) et la consigne en échelon unitaire. La figure 1.7 montre
la réponse de plusieurs systèmes à un échelon unitaire.
L’erreur indicielle est notée ²i , par abus de langage, elle est souvent notée ²s et
appelée erreur statique.
7
s
1
εi
t
0
0
1
2
F IGURE 1.7 – Erreur indicielle- réponse temporelle à un échelon
b ) Erreur de traînage
L’erreur de traînage est une mesure de l’aptitude d’un système à suivre une
consigne variable, elle est notée ²t . Cette erreur est mesurée en régime établi, entre
la consigne et la réponse du système (figure 1.8 ).
s
εt
εt
1
t
0
0
1
2
F IGURE 1.8 – Erreur de traînage- réponse temporelle à une rampe
8
1.2.4 Rapidité
La rapidité d’un système caractérise le temps mis par le système à atteindre la
valeur finale pour une entrée en échelon.ce n’est théoriquement qu’au bout d’un
temps infini que le régime permanent est atteint. Néanmoins, pour chiffrer en pratique la rapidité du régime transitoire, on a l’habitude de considérer le temps de
réponse à 5% ; c’est le temps au bout duquel le système a atteint son régime permanent à 5% près et à partir duquel il ne s’en écarte pas de plus de 5%. De la même
manière on peut définir les temps de réponse à 10% et à 2%.
La figure 1.9 montre pour trois réponses temporelles :
– la courbe 1 est caractéristique d’un système non oscillant, le temps de réponse à 5% de ce système est : T5% = T1 . À partir de l’instant T1 la réponse
est toujours comprise entre les deux bandes à ±5% de la valeur finale.
– les courbes 2 et 3 sont caractéristiques d’un système dont la réponse est oscillatoire amortie. Les instants T2 et T3 correspondent aux temps de réponse
à 5% des réponses 2 et 3.
s
3
2
+5%
1
-5%
1
t
0
0
T2T3
T1 1
F IGURE 1.9 – Temps de réponse
On constate en comparant les réponses des systèmes 2 et 3 que les temps de réponses sont comparables mais que le comportement est lui fortement différents.
Le système 3 est fortement oscillant et semble plus « dynamique » que le système 2.
Le temps de réponse, tel qu’il est défini ne permet pas de différencier ces deux systèmes. Pour les différencier, il est possible de déterminer le temps de montée Tm
que l’on détermine en mesurant l’intervalle de temps séparant les instants auxquels la réponse indicielle vaut 10% et 90% de la valeur finale (ou entre 20% et
80%). On remarque sur la figure 1.10 que les deux temps de montée Tm2 et Tm3
sont notablement différents.
9
s
3
2
+5%1
-5%
90%
10%
t
0
0
Tm3
Tm2
T2 T3
1
F IGURE 1.10 – Temps de montée
1.2.5 Dépassements
La mesure du dépassement relatif des systèmes oscillatoires amortis permet
d’évaluer le taux d’oscillation du système. L’amplitude du dépassement et la rapidité de décroissance caractérise la stabilité relative.
Le dépassement relatif est déterminé pour chaque dépassement de la valeur
finale (figure 1.11)
S(t mi ) − S(∞)
di
Di % =
=
S(∞)
(∞)
avec
– Di % : le dépassement relatif pour le ime maximum.
– t mi : l’instant du ime maximum.
– S(∞) : la valeur finale.
– S(t mi ) : la valeur du ime maximum.
– d i = S(t mi ) − S(∞).
Un critère important de réglage peut être l’absence de dépassement.
1.2.6 Stabilité
La stabilité est la plus importante des caractéristiques que doit posséder un
système asservi.
Une manière intuitive de préciser la notion de stabilité est d’imaginer un système que l’on écarte de sa position initiale par une impulsion et de regarder son
évolution, s’il retrouve sa position initiale, il est stable, s’il s’en écarte, il est instable(figure 1.12).
10
s
d1
d2
d3
d4
1
t
0
0
1
F IGURE 1.11 – Dépassement
Système
stable
Système
instable
Système
indifférent
Stabilité
conditionnelle
F IGURE 1.12 – Stabilité des systèmes
Un système à stabilité indifférente va s’écarter de sa position initiale pour trouver une autre position stable différente de la première, le système s’écarte mais ne
diverge pas.
Plusieurs définitions de la stabilité sont envisageables.
Définition 1 : Un système physique est stable si à une entrée bornée correspond
une sortie bornée.
Définition 2 : Un système physique est stable si la réponse libre du système tend
vers zéro à l’infini, c’est dire qu’il retourne spontanément vers son état d’équilibre lorsqu’il en est écarté.
Ces deux définitions sont équivalentes pour les systèmes linéaires.
La figure 1.13 présente la réponse temporelle de quelques systèmes sollicités
par un échelon :
– les réponses 1, 2, 3 , 4 sont caractéristiques de systèmes stables. La réponse
1 est une réponse apériodique, les trois autres sont oscillatoires amorties.
11
s
6
4
3
2
1
1
5
t
0
0
1
F IGURE 1.13 – Stabilité
– les réponses 5 et 6 sont celles de systèmes instables, elles sont toutes les deux
divergentes, oscillatoire ou non.
On note aussi en comparant les réponses 2 à 4 que le critère strict de stabilité,
s’il est nécessaire, n’est pas suffisant. En effet est-il envisageable qu’un système
atteigne sa position définitive après un grande nombre d’oscillations ?
1.2.7 Systèmes dynamiques
Les systèmes asservis sont une branche des systèmes dynamiques. On appelle
système dynamique un système pour lequel, les grandeurs de sortie dépendent
des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée.
Parmi les systèmes dynamiques, nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants (SLCI).
12
1.3 Systèmes linéaires continus invariants
1.3.1 Systèmes linéaires
Définition : Un système linéaire est un système pour lequel les relations entre les
grandeurs d’entrée et de sortie peuvent se mettre sous la forme d’un ensemble d’équations différentielles à coefficients constants 1 . Les systèmes linéaires possèdent principalement deux propriétés :
– la proportionnalité ;
– l’additivité.
x 1 (t )
Système
y 1 (t )
x 2 (t ) = λ · x 1 (t )
s
Système
y 2 (t ) = λ · y 1 (t )
x 2 (t ) = λ · x 1 (t )
y 2 (t ) = λ · y 1 (t )
x 1 (t )
1
y 1 (t )
t
0
0
1
F IGURE 1.14 – Proportionalité
a ) Principe de proportionnalité
Définition : Si y(t ) est la réponse à l’entrée x(t ) alors λ·y(t ) est la réponse à λ·x(t ).
Dans un système linéaire, l’effet est proportionnel à la cause (figure 1.14).
L’effet de proportionnalité n’est effectif que lorsque le système a atteint sa position d’équilibre ou que le régime permanent s’est établi.
La caractéristique Entrée / Sortie d’un système linéaire est une droite dont la
pente est appelée gain du système.
La réponse, en régime définitif (en régime permanent) d’un système linéaire à
une entrée donnée est un signal de même nature que l’entrée. Sur la figure 1.15 on
constate que la réponse en régime établi à une entrée sinusoïdale de fréquence f
est aussi une sinusoïde de même fréquence mais déphasée et atténuée.
1. Les équations différentielles seront abordées dans la suite du cours et approfondies en mathématiques
1.3 Systèmes linéaires continus invariants
13
s
s
1
1
t
0
t
0
0
1
0
(a) f = 4 Hz
1
(b) f = 10 Hz
F IGURE 1.15 – Comportement en régime permanent
b ) Additivité - principe de superposition
Définition : Si y 1 (t ) est la réponse à l’entrée x 1 (t ) et y 2 (t ) est la réponse à l’entrée
x 2 (t ) alors, y 1 (t ) + y 2 (t ) est la réponse à l’entrée x 1 (t ) + x 2 (t )(figure 1.16)
Les principes de proportionnalité et de superposition vont nous permettre,
connaissant la réponse d’un système à des sollicitations simples de déterminer
par additivité et proportionnalité la réponse à des sollicitations plus complexes.
s
x 2 (t ) + x 1 (t )
y 1 (t ) + y 2 (t )
x 2 (t )
y 2 (t )
1
x 1 (t )
y 1 (t )
t
0
0
1
F IGURE 1.16 – Principe de superposition
14
c ) Principales non-linéarités
Seuil : Un système présente un seuil si la sortie n’évolue que lorsque l’entrée dépasse une valeur minimale (seuil). Les seuils ont souvent pour origine des
frottements secs.
Saturation Un système présente une saturation lorsque la sortie n’évolue plus audelà d’une valeur limite.
Ces saturations sont dues soit aux limites mécaniques du système (butées)
soit aux limites des interfaces de puissance (saturation des amplificateurs
opérationnels).
Courbure : La quasi totalité des systèmes présente des courbures plus ou moins
prononcées.
Dans la plupart des cas le système est approché par une droite passant par
l’origine, mais il est aussi possible de linéariser autour d’un point de fonctionnement.
Hystérésis : Un système présente une réponse avec une hystérésis lorsque le comportement est différent suivant le sens d’évolution de la variable d’entrée.
Exemple : cycle de magnétisation.
y
y
y
y
x
x
(a) seuil
x
(b) saturation
x
(c) courbure
(d) hystérésis
F IGURE 1.17 – Non-linéarités
1.3.2 Systèmes continus
Un système est dit continu lorsque les grandeurs physiques qui le caractérisent, évoluent de manière continue d’un état à un autre.
On oppose les systèmes continus aux systèmes discrets pour lesquels l’évolution d’un état à un autre se fait par « saut » d’une valeur à la suivante.
1.3.3 Systèmes invariants
On dit qu’un système est invariant lorsque les caractéristiques du système ne
se modifient pas dans le temps.
1.4 Description des systèmes linéaires
15
Les systèmes réels ne sont ni linéaires, ni continus, ni invariants
Il est par contre toujours possible de modéliser correctement le système afin
que celui ci puisse être considéré comme linéaire, continu et invariant dans la
zone d’étude.
Pour réaliser la commande d’un système, il est nécessaire d’établir les relations existant entre les entrées (variables de commande) et les sorties (variables
d’observation), c’est à dire être capable de modéliser le problème permettant de
répondre à une question du type : Comment doit-on régler la chaudière pour avoir
une température de 20 ◦C ?
L’ensemble de ces relations s’appelle le « modèle mathématiques » du système
ou modèle de connaissance.
1.4.1 Description par les équations différentielles
Un système dynamique linéaire peut être décrit par une équation différentielle
à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie.
L’équation générale d’un système linéaire est de la forme :
bm
dm y(t )
dm−1 y(t )
dn x(t )
dm−1 x(t )
d y(t )
+
b
+
b
·
y(t
)
=
a
+
a
+
·
·
·
+
b
m−1
0
n
n−1
1
dtm
dt
dtn
dtm−1
dtm−1
d x(t )
+ · · · + a1
+ a 0 · x(t )
dt
on note :
d y(t )
= ẏ(t )
dt
d2 y(t )
= ÿ(t )
dt2
dn y(t )
dtn
dérivée 1re de y(t ) par rapport au temps
dérivée 2nd de y(t ) par rapport au temps
dérivée nme de y(t ) par rapport au temps
Pour les systèmes réels, m ≥ n (principe de causalité 2 )
À partir de cette représentation il est possible de déterminer l’évolution temporelle de la sortie en résolvant l’équation différentielle.
2. nous verrons plus loin dans le cours
16
1.4.2 Résolution par la transformée de Laplace
L’utilisation de la transformée de Laplace permet de ramener la résolution
d’une équation différentielle a une manipulation algébrique puis à la lecture d’un
tableau de fonctions.
Remarque : : pour toute cette partie et pour toute la suite, il est nécessaire de
bien assimiler le cours sur la transformation de Laplace en annexe ??.
a ) Exemple guide - Sismographe
Un sismographe est un instrument de mesure équipé d’un capteur des mouvements du sol, le sismomètre, capable de les enregistrer sur un support visuel, le
sismogramme.
Un sismographe simple est constitué d’un ressort de raideur k et de longueur
naturelle l 0 , d’un amortisseur de coefficient de frottement h et d’une masse M (m)
considérée comme ponctuelle.
Le ressort et l’amortisseur sont fixés à un cadre(C) rigide solidaire du sol(S).
L’amortisseur exerce sur la masse M une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse relative de M par rapport au cadre.
Un stylet reproduisant les déplacements verticaux de la masse M par rapport
au cadre est fixé au niveau de la masse M (voir figure 1.18).
On considère que l’axe vertical z#»
g est un des axes du référentiel galiléen.
Og
z#»
g
Z(t)
M
z(t )
–
–
–
–
M = 10 kg : masse de la masse M,
k = 36 kN m−1 : raideur du ressort,
l 0 : longueur à vide du ressort,
h : coefficient de frottement fluide
avec les valeurs suivantes :
h 1 = 2 000 N s m−1 , h 2 = 1 200 N s m−1 ,
h 3 = 600 N s m−1 .
(a) Schéma
(b) Données
F IGURE 1.18 – Sismomètre
On note, Z(t ) le mouvement du sol et z(t ) le mouvement du stylet. Le mouvement du stylet dépend de la sollicitation (Z(t )), de la masse et des caractéristiques
ressort et de l’amortisseur.
17
Q1. Détermination de l’équation différentielle liant du mouvement liant Z(t ) et
z(t ).
Pour établir l’équation différentielle, nous allons appliquer la deuxième loi de
Newton 3 (Principe Fondamental de la Dynamique en Translation) qui s’énonce :
Dans un référentiel galiléen, la variation de la quantité de mouvement est égale à
la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide :
·
¸
X# »
d#
»
Fext =
p S/R g
dt
Rg
que l’on peut aussi écrire :
X# »
Fext = M · a# S/R»g
avec a# S/R»g l’accélération du solide par rapport au référentiel galiléen.
La masse est soumise à 3 actions mécaniques :
– son poids
#»
P = M · g · z#»
g
– l’action du ressort qui s’oppose à sa déformation
#»
Fr = −k · (z − l 0 ) · z#»
g
– l’action de l’amortisseur, force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse relative de M par rapport au cadre :
#»
Fa = −h ·
d z #»
· z g = −h · ż(t ) · z#»
g
dt
Il reste à déterminer l’accélération de la masse M par rapport au référentiel
galiléen : a# S/R»g .
La masse M se déplace verticalement, la projection sur z#»
g dans le référentiel
# »
galiléen est : Og M · z#»
=
Z(t
)
+
z(t
).
g
Pour un mouvement de translation vertical, l’accélération est la dérivée seconde du déplacement, soit :
µ 2
¶
¢
d Z(t ) d2 z(t ) #» ¡
a# S/R»g =
+
z g = Z̈(t ) + z̈(t ) z#»
g.
2
2
dt
dt
Le principe fondamental de la dynamique en translation s’écrit donc :
M·
d2 Z(t )
2
dt
+M·
d2 z(t )
2
dt
= M · g − k · (z − l 0 ) − h ·
dz
dt
en réorganisant :
M·
d2 z(t )
dt2
+h ·
dz
d2 Z(t )
+ k · z = −M ·
+ M · g + k · l0
dt
dt2
3. vu en TS dans le cours de physique
18
À l’équilibre (pas de mouvement),
peut écrire
d2 z(t )
2
dt
= 0,
d2 Z(t )
2
dt
=0,
dz
= 0 et z = z e , on
dt
k · ze = M · g + k · l 0
On pose z = z e = 0 à l’équilibre, donc :
M · g + k · l0 = 0
L’équation différentielle se simplifie donc en :
d2 Z(t )
d z(t )
+
k
·
z
=
−M
·
dt
dt2
dt2
M · z̈(t ) + h · ż(t ) + k · z(t ) = −M · Z̈(t )
M·
d2 z(t )
+h ·
L’équation du mouvement est une équation différentielle du second ordre (dérivée seconde) à coefficients constants.
La sortie est ici z(t ), c’est à dire le tracé du stylet sur le rouleau, il dépend de la
sollicitation, l’entrée ici, Z(t ) et des coefficients de l’équation.
Il ne reste plus qu’à la résoudre !
Q2. Résolution de l’équation différentielle
L’annexe ?? présente les principes de la résolution des équations différentielles.
On reconnaît une équation différentielle du second ordre à coefficients constants
avec un second membre.
Déterminons dans un premier temps la solution générale de l’équation sans
second membre :
M · z̈(t ) + h · ż(t ) + k · z(t ) = 0
L’équation caractéristique est
M·r2 +h ·r +k = 0
∆ = h2 − 4 · k · M
Compte tenu des valeurs numériques de h (figure 1.18(b)), ∆ prend les valeurs
suivantes :
– pour h 1 = 2 000 ,
p
−h + ∆1
∆1 = 2 560 000 > 0
r1 =
= −20
2·M
p
soit deux racines réelles
−h − ∆1
r2 =
= −180
2·M
La solution générale de l’équation différentielle sans second membre est
donc :
z(t ) = A1 · e −180·t + A2 · e −20·t
– pour h 2 = 1 200
19
p
−h − ∆2
r=
= −60
2·M
∆2 = 0
une racine double
donc :
z(t ) = (A1 + A2 · t ) · e −60·t
– pour h 3 = 600 :
p
p ¢
¡
−h + i · |∆3 |
= −30 · 1 + i · 3
∆3 = −1 080 000 < 0
r1 =
2·M
p
soit deux racines complexes :
p ¢
¡
−h − i · |∆3 |
r2 =
= −30 · 1 − i · 3
2·M
donc :
³
´
p
p
z(t ) = A1 · sin(30 · 3 · t ) + A2 · cos(30 · 3 · t ) · e −30·t
Le sismomètre est soumis à une accélération sinusoïdale de pulsation ω et
d’amplitude A0 :
Z̈(t ) = Γ0 · sin(ω · t )
Q3. Déterminer la réponse temporelle pour chacune des valeurs du coefficient de
frottement fluide.
L’équation différentielle devient, avec le second membre
M·
d2 z(t )
2
dt
+h ·
d z(t )
+ k · z(t ) = −M · Γ0 · sin(ω · t )
dt
On recherche une solution particulière de la même forme que le second membre :
z p (t ) = A · sin(ω · t ) + B · cos(ω · t )
d z p (t )
dt
d z p (t )
dt
= A · ω · cos(ω · t ) − B · ω · sin(ω · t )
= −A · ω2 · sin(ω · t ) − B · ω2 · cos(ω · t )
en substituant dans l’équation différentielle :
¡
¢
M · −A · ω2 · sin(ω · t ) − B · ω2 · cos(ω · t )
+h · (A · ω · cos(ω · t ) − B · ω · sin(ω · t ))
+k · (A · sin(ω · t ) + B · cos(ω · t )) = −M · A0 · Γ0 · sin(ω · t )
20
M · B · ω2 · cos(ω · t ) − M · A · ω2 · sin(ω · t )
+h · A · ω · cos(ω · t ) − h · B · ω · sin(ω · t )
+k · B · cos(ω · t ) + (k · A · sin(ω · t ) = −M · A0 · Γ0 · sin(ω · t )
¡
¢
−M · B · ω2 + h · A · ω + k · B · cos(ω · t )
¡
¢
+ −M · A · ω2 − h · B · ω + k · A · sin(ω · t ) = −M · Γ0 · sin(ω · t )
¡
¢
(k − M · ω2 ) · B + h · A · ω · cos(ω · t )
¡
¡
¢ ¢
+ −h · B · ω + k − M · ω2 · A · sin(ω · t ) = −M · Γ0 · sin(ω · t )
h ·ω
¡
¢
·A
B=−
2
k
−
M ·¡ω2
h ·ω·A+ k −M·ω ·B = 0
¢
⇒
¡
¢
M · Γ0 · k − M · ω2
−h · ω · B + k − M · ω2 · A = −M · Γ0
A=
¡
¢2
h 2 · ω2 + k − M · ω 2
(
Q4. Déterminer la solution générale avec les conditions initiales suivantes :
z(0) = 0 et ż(0) = 0 pour h = 1200.
La solution générale est la somme de la solution générale sans second membre
et la solution particulière :
z(t ) = (A1 + A2 · t ) · e −60·t + A · sin(ω · t ) + B · cos(ω · t )
les deux constantes A1 et A2 sont déterminées à partir des conditions initiales, on
obtient (pour Γ0 = 1 et ω = 10) :
µ
¶
3
1
3
7
z(t ) = −
−
· t · e −60·t +
· cos(10 · t ) −
· sin(10 · t )
34225 370
34225
27380
La réponse temporelle (figure 1.19) montre que la sortie en régime permanent
est de même période que le signal d’entrée mais déphasée et atténuée.
Nous voyons avec cet exemple que la résolution d’un système linéaire peut
s’avérer relativement complexe.
Il n’est pas d’usage en automatique d’utiliser cette méthode, on préfère l’utilisation de la transformée de Laplace.
21
s
Z(t )
1000
t
0.5
1
1.5
F IGURE 1.19 – Réponse temporelle
2
z(t )
22
b ) Exemple guide - Sismographe - 2
On reprend l’étude à partir de l’équation différentielle du mouvement reliant
le mouvement de la masse z(t ) en fonction de l’accélération verticale du boitier
γZ (t ).
d2 z(t )
d z(t )
d2 Z(t )
+
k
·
z
=
−M
·
dt
dt2
dt2
2
d z(t )
d z(t )
+ k · z = −M · γZ (t )
M·
+h ·
2
dt
dt
¡
¢
On pose : L (z(t )) = Z(p) et L γZ (t ) = Γ(p)
Q1. On se place dans les conditions d’Heaviside, écrire l’équation différentielle
dans le domaine symbolique.
L’équation différentielle devient :
M·
+h ·
M · p 2 · Z(p) + h · p · Z(p) + k · Z(p) = −M · Γ(p)
Q2. En déduire Z(p) en fonction de Γ(p)
Z(p) =
−M
· Γ(p)
M · p2 + h · p + k
On soumet le cadre à une impulsion de Dirac γZ (t ) = δ(t ).
Q3. Déterminer la réponse temporelle pour les différentes valeurs de h.
¡
¢
On a L γZ (t ) = 1, l’équation devient :
Z(p) =
−M
M · p2 + h · p + k
Compte tenu des valeurs numériques deM = 10 kg et k = 36 kN m−1 , pour les
différentes valeurs de h :
– h 1 = 2 000 N s m−1
Z(p) =
−10
−1
=
10 · p 2 + 2 000 · p + 36 000 p 2 + 200 · p + 3 600
Le dénominateur admet 2 racines réelles (voir la 1re étude)
Z(p) = ¡
−1
¢ ¡
¢
p + 180 · p + 20
23
La décomposition en fraction simple s’écrit :
Z(p) = ¡
A
p + 180
¢+¡
B
p + 20
¢
Par identification on obtient :
Z(p) =
1
¡
160 · p + 180
¢−
1
¡
160 · p + 20
¢
À partir du tableau des transformées page ??, on déduit la réponse temporelle pour un Dirac :
µ
¶
1
1
−180·t
−20·t
z(t ) =
·e
−
·e
· u(t )
160
160
– h 2 = 1 200 N s m−1
Z(p) =
−10
10 · p 2 + 1 200 · p + 36 000
=
−1
p 2 + 120 · p + 3 600
Le dénominateur admet 1 racine double
−1
Z(p) = ¡
¢2
p + 60
À partir du tableau des transformées page ?? on obtient
z(t ) = −t · e −60·t · u(t )
– h 3 = 600 N s m−1
Z(p) =
−1
p 2 + 60 · p + 3 600
Le dénominateur admet 2 racines complexes conjuguées, pour déterminer
la transformée inverse, on doit mettre la fraction rationnelle sous la forme :
³ p
´
1
e −zω0 t · sin ω0 1 − z 2 .t
p
ω0 · 1 − z 2
Z(p) =
=
−1
p 2 + 60 · p + 3 600
−1
p 2 + 2 · 0,5 · 60 · p + 602
soit ω0 = 60 rad s−1 et z = 0,5. On retrouve la fonction temporelle à partir du
tableau :
z(t ) =
1
−0,5·60·t
µ q
¶
2
· sin 60 1 − 0,5 · t · u(t )
e
p
60 · 1 − 0,52
³
´
p
1
z(t ) =
p e −30·t · sin 30 · 3 · t · u(t
30 · 3
24
La transformée de Laplace permet donc de résoudre les équations différentielles à coefficients constants. Cette méthode ne permet pas de résoudre d’autres
équations que celle que l’on pourraient résoudre par la méthode classique, par
contre elle permet de prendre en compte rapidement les conditions initiales et
surtout les signaux d’entrées composés.
Exercice 1- Sismographe-suite
Corrigé page ??
Reprendre l’exercice sur Sismographe page 16, dans le cas où h = 1200.
Q1. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace si la
sollicitation est une sinusoïde.
Q2. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour
la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous :
γ(t )
0,75
0,5
0,25
t
0,25
Exercice 2- Circuit RC
0,5
0,75
1
Corrigé page ??
On se propose de déterminer l’évolution de la tension aux bornes du
R
condensateur (v s (t )) en fonction de
l’évolution de la tension d’entrée du
circuit (v e (t )) du circuit RC (figure 1.20). v e
vs
C
Les relations qui décrivent le fonctionnement sont :
– La loi d’Ohm aux bornes de la réF IGURE 1.20 – Circuit RC
sistance : v e (t ) − v s (t ) = R · i (t )
– La relation caractéristique d’un condend v s (t )
sateur parfait : i (t ) = C ·
dt
Q1. Établir l’équation différentielle reliant la tension aux bornes du condensateur
et la tension d’entrée.
Q2. Résoudre l’équation différentielle si on soumet le circuit complètement déchargé (v s (0) = 0) à un échelon de tension (v e (t ) = U0 V pour t > 0).
Q3. Tracer l’allure de la réponse temporelle.
1.5 Fonction de transfert – Transmittance
25
1.5 Fonction de transfert – Transmittance
Un système dynamique linéaire est décrit par une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d’entrée et de sortie.
bm
d y(t )
dm y(t )
dm−1 y(t )
dn x(t )
dm−1 x(t )
+
·
·
·
+
b
+
b
·
y(t
)
=
a
+
a
1
0
n
n−1
m + b m−1
n
dt
dt
dt
dtm−1
dtm−1
d x(t )
+ · · · + a1
+ a 0 · x(t )
dt
On se place dans les conditions de Heaviside (toutes les conditions initiales
sont nulles).
¡
¢
On pose : L (x(t )) = X(p) et L y(t ) = Y(p)
En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’égalité les
conditions initiales étant nulles.
¡
¢
¡
¢
b m · p m + b m−1 · p m−1 + · · · + b 1 · p + b 0 · Y(p) = a n · p n + a n−1 · p n−1 + · · · + a 1 · p + a 0 · X(p)
ce qui permet d’écrire
Y(p) =
a n · p n + a n−1 · p n−1 + · · · + a 1 · p + a 0
· X(p)
b m · p m + b m−1 · p m−1 + · · · + b 1 · p + b 0
On appelle
H(p) =
Y(p)
a n · p n + a n−1 · p n−1 + · · · + a 1 · p + a 0
=
X(p) b m · p m + b m−1 · p m−1 + · · · + b 1 · p + b 0
la fonction de transfert (ou transmittance) du système.
Dans le cas des systèmes physiques, le degré du dénominateur est supérieur
au degré du numérateur : m > n.
1.5.1 Forme canonique
Il est toujours possible de mettre la fonction de transfert sous la forme suivante
dite forme canonique avec :
H(p) =
avec
–
–
–
–
N(p)
N(p)
a n · p n + a n−1 · p n−1 + · · · + a 1 · p + 1
¢
=K· α
= α¡
D(p)
p · D1 (p) p b m · p m + b m−1 · p m−1 + · · · + b 1 · p + 1
N(p) : un polynôme en p avec N(0) = 1 ;
D1 (p) : un polynôme en p avec D1 (0) = 1 ;
K : le gain de la fonction de transfert ;
α : la classe de la fonction de transfert.
26
1.5.2 Schéma bloc
À partir de la fonction de transfert, on établit le schéma bloc du système
X(p)
H(p)
X(p)
Y(p)
soit
a n · p n + a n−1 · p n−1 + · · · + a 1 · p + a 0 Y(p)
b m · p m + b m−1 · p m−1 + · · · + b 1 · p + b 0
1.5.3 Pôles et zéros
On appelle
zéros : les racines de N(p) = 0, le polygone du numérateur.
pôles : les racines de D(p) = 0, le polynôme du dénominateur
Exercice 3- Fonctions de transfert
Corrigé page ??
A. 1r ordre
Soit un système décrit par l’équation différentielle suivante :
5·
d s(t )
+ 8 · s(t ) = e(t )
dt
On pose E(p) = L (e(t )) et S(p) = L (s(t )). On se place dans les conditions de
Heaviside.
S(p
Q1. Déterminer la fonction de transfert G(p) =
, la mettre sous forme canoE(p)
nique.
Q2. Tracer le schéma bloc.
Q3. Déterminer, à partir du tableau des transformée inverses, la réponse temporelle pour la réponse à une échelon
Q4. Déterminer la réponse temporelle à partir des transformées de Laplace pour
la sollicitation décrite par le graphe ci-dessous :
γ(t )
1,5
1
0,5
t
0,5
1
1,5
2
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le schéma fonctionnel 27
B. 2nd ordre
Soit un système décrit par l’équation différentielle suivante :
3·
d2 s(t )
2
dt
+5·
d s(t )
d e(t )
+ 4 · s(t ) =
+ 8 · e(t )
dt
dt
On pose E(p) = L (e(t )) et S(p) = L (s(t )). On se place dans les conditions de
Heaviside.
S(p
, la mettre sous forme canoQ5. Déterminer la fonction de transfert G(p) =
E(p)
nique.
Q6. Tracer le schéma bloc.
1.6 Représentation des systèmes asservis et linéaires par le
schéma fonctionnel
1.6.1 Schéma fonctionnel ou schéma bloc
La représentation par le schéma fonctionnel permet de représenter de manière
graphique un système linéaire.
Chaque bloc du schéma caractérise une des fonctions du système (un des constituants), on associe à chaque bloc la fonction de transfert du constituant qu’il représente. Les arcs qui relient les blocs portent les informations d’entrée et de sortie
de la fonction de transfert.
On détermine la fonction de transfert de chaque constituant à partir des équations différentielles régissant son comportement. L’allure globale du schéma renseigne sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée).
Le système d’équations est ainsi remplacé par un schéma comportant un ensemble de blocs représentant les fonctions du système. Les branches entre les
blocs portent les variables intermédiaires du système.
a ) Formalisme
Bloc :
E(p)
Jonction :
H(p)
S(p)
Le bloc est représenté par un cadre rectangulaire, il
possède une entrée et une sortie, la fonction de transfert du bloc est déterminée d’après les équations de
S(p)
fonctionnement : H(p) =
.
E(p)
28
S1
E
Une jonction est un point de prélèvement. La variable
de la branche 1 est identique à celle de la branche 2
S 1 = S 2 = E, un prélèvement d’information ne modifie pas la variable.
S2
Sommateur :
E1
E2
−
S
+
+
E3
Les sommateurs permettent d’additionner et soustraire des variables, ils possèdent plusieurs entrées
mais une seule sortie : S = E1 − E2 + E3 .
Comparateur :
E1
ε
−
+
E2
Le comparateur est un cas particulier de sommateur,
il permet de calculer la différence entre deux signaux :
ε = E1 − E2 .
La figure 1.21 montre le schéma-bloc d’un système.
P
n1
E1
+−
²
F
G
u
H
−
+
L
M
S1
n2
R
Q
F IGURE 1.21 – Sschéma-bloc
1.6.2 Des équations différentielles au schéma-bloc
Nous allons reprendre l’exercice Circuit RC de la page 24 pour expliquer le passage au schéma-bloc.
Les relations qui décrivent le fonctionnement sont :
– La loi d’Ohm aux bornes de la résistance : v s (t ) − v e (t ) = R · i (t )
d v s (t )
– La relation caractéristique d’un condensateur parfait : i (t ) = C ·
dt
On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique (avec
les conventions précédentes) on peut écrire :

(
 v s (t ) − v e (t ) = R · i (t )
Vs (p) − Ve (p) = R · p · I(p)
d v s (t ) →

I(p) = C · p · Vs (p)
i (t ) = C ·
dt
Pour chaque équation, on trace le schéma bloc élémentaire correspondant :
¢
1¡
Ve (p)
I(p)
1
I(p) =
Vs (p) − Ve (p)
+
−
R
R
Vs (p
1
C·p
1 Vs (p)
C·p
puis on associe, les différents schémas élémentaires obtenus
Ve (p)
I(p)
Vs (p)
1
1
+−
C·p
R
Vs (p) =
I(p)
D’où la fonction de transfert en appliquant la formule de Black dans le cas d’un
retour unitaire :
1
Vs (p)
BO(p)
R·C·p
=
=
1
Ve (p) 1 + BO(p)
1+
R·C·p
Vs (p)
1
=
Ve (p) 1 + R · C · p
On le voit, le schéma-bloc, est un outil très pratique qui permet d’obtenir rapidement la fonction de transfert d’un système complexe. Associé à la transformée
de Laplace, c’est l’outil de base de l’étude des asservissements.
1.6.3 Manipulation des schémas blocs
Blocs en série : Il est possible de remplacer des blocs en série (sans jonction ni
sommateur entre chaque bloc) par le bloc produit des fonctions de chaque
bloc. Ainsi :
u)
²
²
u =
G
F·G·H
F
H
Il est important de noter que si les blocs ont un sens physique (ils sont la
traduction du comportement d’un constituant) , le bloc produit n’a lui qu’un
sens mathématique.
Déplacement d’un sommateur : Il est souvent utile de déplacer un sommateur,
soit pour faciliter l’analyse, soit (souvent) pour transformer un schéma bloc
en un schéma bloc à retour unitaire.
– Déplacement vers l’amont :
P
R1
1
H
n1
E1
H
u
−
+
L
S =
E1
−
+
H
n1
P
L
R1
S
30
– Déplacement vers l’aval :
R1
P
L
n1
E1
H
u −
+
S =
L
E1
H
R1
S
−
+
L
P
n1
Déplacement d’une jonction : comme pour les sommateurs, il est souvent nécessaire de déplacer un point de prélèvement.
– Déplacement vers l’aval
L
M
S1
=
L
Q
S1
M
1
M
Q
– Déplacement vers l’amont
L
M
S1
=
Q
L
Q
M
S1
L
a ) Fonction de transfert d’un système linéaire à retour non unitaire
Soit un système décrit par le schéma bloc de la figure 1.22
Chaine directe
E(p)
+−
ε(p)
H1
H3
H2
S(p)
m(p)
R3
R2
Chaine de retour
F IGURE 1.22 – Structure d’un système linéaire à retour non unitaire
On appelle :
Fonction de transfert en boucle fermée (FTBF), la fonction définie par
S(p)
BF(p) =
;
E(p)
Chaine directe, la chaine constituée des blocs reliant l’entrée et la sortie : on note,
S(p)
CD(p) =
, la fonction de transfert en chaine directe ;
ε(p)
Chaine de retour, la chaine constituée des blocs reliant la sortie au comparateur :
m(p)
on note CR(p) =
, la fonction de transfert de la chaine de retour
S(p)
Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) , la fonction définie par
m(p)
BO(p) =
= CD(p) · CR(p).
ε(p)
Le schéma-bloc peut se ramener au schéma de la figure 1.23(a) que l’on peut
mettre sous la forme de la figure 1.23(b).
E(p)
+−
ε(p)
S(p)
H1 · H2 · H3
E(p)
+−
m(p)
ε(p)
CD(p)
S(p)
m(p)
CR(p)
R2 · R1
(a)
(b)
F IGURE 1.23 – Structure d’un système linéaire à retour non unitaire
À partir ce cette représentation on peut écrire les trois équations ci-dessous
puis déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système


 S(p) = CD(p) · ε(p)
m(p) = CR(p) · S(p)


ε(p) = E(p) − m(p)
en substituant dans la 1re équation, on obtient :
¡
¢
S(p) = CD(p) · E(p) − CR(p) · S(p)
soit
CD(p)
· E(p)
1 + CD(p) · CR(p)
ce qui permet d’écrire la fonction de transfert en boucle fermée :
S(p) =
BF(p) =
S(p)
CD(p)
=
E(p) 1 + CD(p) · CR(p)
que l’on écrit généralement :
BF(p) =
S(p)
CD(p)
=
E(p) 1 + BO(p)
et que l’on nomme formule de Black
Dans le cas particulier ou le schéma bloc est à retour unitaire (figure 1.24), alors
la formule de Black devient.
S(p)
BO(p)
BF(p) =
=
E(p) 1 + BO(p)
32
E(p)
+−
ε(p)
H1
H3
H2
S(p)
F IGURE 1.24 – Structure d’un système linéaire à retour unitaire
1.6.4 Exemple guide : détermination d’une fonction de transfert
Il y a deux méthodes principales pour déterminer la fonction de transfert d’un
système, la prémière méthode s’appuie sur la modification du schéma-bloc pour
se ramener à une forme simple permettant d’appliquer la formule de Black, l’autre
méthode est purement analytique. Souvent nous utiliserons une combinaison des
deux.
a ) Détermination par la modification du schéma bloc
On reprend l’exemple de la figure 1.21.
Étape 1 : On commence par simplifier tous les blocs en série (figure 1.25).
P
n1
E1
+−
ε(p)
F·G·H
u
−
+
L
M
S1
n2
Q·R
F IGURE 1.25 – Détermination fonction de transfert - étape 1
Étape 2 : Ensuite, il faut déplacer les jonctions ou les sommateurs qui sont entrelacés (sur la figure 1.26, on a choisit de déplacer la jonction vers l’aval).
P
n1
E1
+−
ε(p)
F·G·H
u
−
+
L
M
n2
Q·R
1
M
S1
Étape 3 : On applique ensuite la formule de Black lorsque c’est possible, ici sur la
S1(p)
boucle interne, on détermine la fonction de transfert
(figure 1.27).
U(p)
S1(p)
L·M
=
U(p) 1 + L · M · P
E1
ε(p)
+−
L·M
1+L·M·P
F·G·H
S1
n2
Q·R
1
M
Étape 4 : Il ne reste plus qu’à appliquer la formule de Black (figure1.28) :
F·G·H·L·M
– Chaine directe : CD(p) =
1+L·M·P
Q·R
– Chaine de retour : CR(p) =
M
F·G·H·L·M Q·R F·G·H·L·Q·R
– FTBO : BO(p) =
·
=
1+L·M·P
M
1+L·M·P
S1(p)
CD(p)
BF(p) =
=
=
E1 (p) 1 + BO(p)
BF(p) =
E1 (p)
F·G·H·L·M
1+L·M·P
F·G·H·L·Q·R
1+
1+L·M·P
F·G·H·L·M
1+L·M·P+F·G·H·L·Q·R
S 1 (p)
F·G·H·L·M
1+L·M·P+F·G·H·L·Q·R
b ) Détermination analytique
Pour déterminer analytiquement la fonction de transfert, il est préférable de
partir de la sortie et de remonter vers l’entrée. Au préalable il est nécessaire de
nommer toutes les entrées et sorties des sommateurs et des jonctions (figure1.29).
On écrit ensuite les différentes relations, en partant de chaque nœud de sortie
(sortie générale, sortie des comparateurs, jonctions) en remontant jusqu’au nœud
précédent.
34
P
n1
E1
+−
ε1
G
F
u
H
ε2
−
+
L
v
M
n2
R
Q
F IGURE 1.29 – Schéma-bloc - variables intermédiaires nommées

S 1 (p) = M · v(p)




 v(p) = L · ε (p)
2

ε2 (p) = F · G · H · ε1 − P · S 1 (p)




ε1 (p) = E1 (p) − R · Q · v(p)
On cherche à faire disparaitre les sorties de comparateurs, d’abord ε1


 S 1 (p) = M · v(p)
v(p) = L · F · G · H · ε1 − L · P · S 1 (p)


ε1 (p) = E1 (p) − R · Q · v(p)
puis ε2
(
S 1 (p) = M · v(p)
¡
¢
v(p) = L · F · G · H · E1 (p) − R · Q · v(p) − L · P · S 1 (p)
(
S 1 (p) = M · v(p)
v(p) = L · F · G · H · E1 (p) − L · F · G · H · R · Q · v(p) − L · P · S 1 (p)
soit
(
S 1 (p) = M · v(p)
v(p) (1 + L · F · G · H · R · Q) = L · F · G · H · E1 (p) − L · P · S 1 (p)
il reste à remplacer v(p)
S 1 (p) (1 + L · F · G · H · R · Q) = M · L · F · G · H · E1 (p) − M · L · P · S 1 (p)
en ré-organisant :
S 1 (p) (1 + M · L · P · +L · F · G · H · R · Q) = M · L · F · G · H · E1 (p)
d’où la fonction de transfert
M·L·F·G·H
S 1 (p)
=
E1 (p) 1 + M · L · P · +L · F · G · H · R · Q
S1
c ) Principe de superposition
Une des propriétés principales des systèmes linéaires est la superposition, on
retrouve cette propriétés dans la représentation par schéma blocs.
E2
E1
G
+−
−
+
F
S
H
R
F IGURE 1.30 – Schéma-bloc avec 2 entrées
Le schéma 1.30 présente un système dont la sortie S dépend de deux entrées
E1 et E2 .
Déterminons la sortie S(p) en fonction de E1 (p) et E2 (p).
¡ ¡
¢
¢
S(p) = H · F · E1 (p) − R · S(p) − G · E2 (p)
S(p) = H · F · E1 (p) − H · F · R · S(p) − H · G · E2 (p)
S(p) · (1 + H · F · R) = H · F · E1 (p) − H · G · E2 (p)
Finalement, on obtient la relation donnant S :
S(p) =
H·F
H·G
· E1 (p) −
· E2 (p)
1+H·F·R
1+H·F·R
Montrons que l’on peut déterminer cette fonction en utilisant la superposition
Dans un premier temps, on pose E2 (p) = 0 (figure 1.31(a)), le schéma devient
celui de la figure 1.31(b)
E2 = 0
E1
G
+−
−
+
F
H
S
E1
+−
F
R
H
R
(a)
(b)
S
36
On détermine rapidement la fonction de transfert vis à vis de l’entrée E1 (p)
pour E2 (p) = 0.
H·F
S(p)E2 (p)=0 =
· E1 (p)
1+H·F·R
Dans un second temps, on pose E1 (p) = 0 (figure 1.32(a)), le schéma devient
celui de la figure 1.32(b) que l’on peut simplifier en déplaçant le signe négatif vers
le sommateur (figure 1.32(c)). Finalement on peut mettre le schéma sous la forme
classique de la figure 1.32(d)
E2
E2
G
E1 = 0
+−
−
+
F
−E2
H
S
G
-1
−
+
F
R
R
(a)
(b)
S
H
G
−+
F
H
S
−E2
G
+−
H
R
F
(c)
S
R
(d)
On détermine ainsi rapidement la fonction de transfert vis à vis de l’entrée
E2 (p) pour E1 (p) = 0.
S(p)E1 (p)=0 = −
H·G
· E2 (p)
1+H·F·R
On retrouve bien en sommant les deux fonctions, la fonction donnant S(p) en
fonction de E1 (p) et E2 (p) :
S(p) = S(p)E2 (p)=0 + S(p)E1 (p)=0
S(p) =
H·F
H·G
· E1 (p) −
· E2 (p)
1+H·F·R
1+H·F·R
1.6.5 Application guide : Moteur à courant continu à champ permanent
a ) Principe de fonctionnement
Un moteur 4 à courant continu est constitué d’un rotor bobiné (induit) qui est
placé dans le champ magnétique créé par un stator (inducteur), le champ peut
être créé par un aimant permanent ou par un stator bobiné.
stator - inducteur
collecteur
rotor - induit
F IGURE 1.33 – Moteur à courant continu - écorché
Le courant qui circule dans un conducteur du rotor placé dans le champ magnétique produit une force qui à tendance à faire tourner le rotor (figure 1.34). La
force agissant sur le conducteur est proportionnelle au courant circulant dans le
conducteur.
Lorsque le rotor tourne une force électromotrice est induite dans le rotor qui
s’oppose à la tension d’alimentation, cette tension, appelée force contre électromotrice f.c.e.m, est proportionnelle à la vitesse de rotation de l’arbre moteur.
b ) Modèle de connaissance
D’un point de vue électrique le moteur peut donc être modélisé de la façon
suivante (schéma 1.34(b)). le rotor est équivalent à une résistance, une inductance
et un générateur en série le stator est une inductance. On note :
– U(t ) : tension de commande d’induit,
– I(t ) : courant d’induit,
– E : force contre électromotrice,
– L, R : inductance et résistance
d’induit ;
4. Le principe et l’étude des machines électriques sera approfondi en sciences physiques
38
L
R
u(t )
E(t )
(a) schémla de principe
(b) schéma électrique équivalent MCC à
aimant permanent
F IGURE 1.34 – Schéma de principe moteur CC
Pour la suite nous n’étudierons que les moteurs dont le flux inducteur est constant
(cas des moteurs à aimant permanent).
Dans ce cas, le couple moteur est proportionnel au courant.
Relations électromécaniques On peut donc écrire les deux relations électromécaniques du moteur :
– la force contre-électromotrice est proportionnelle à la vitesse de rotation :
E(t ) = K E · ωn (t )
– le couple délivré par le moteur est proportionnel au courant dans le circuit
induit :
Cm (t ) = K T · i (t )
On appelle
– K E : constante de F.c.e.m du moteur.
– K T : constante de couple du moteur (dépendant du flux de l’inducteur) ;
Ces deux constantes sont égales.
Équation électrique A partir du schéma équivalent du moteur on écrit l’équation différentielle (loi des mailles) qui relie la tension de commande u(t ) au courant i (t ) dans le circuit :
u(t ) = R · i (t ) + L ·
d i (t )
+ E(t )
dt
F IGURE 1.35 – Modélisation mécanique
Comportement mécanique Le couple moteur c m (t ) entraine le rotor en rotation
et l’arbre moteur.
Le rotor a une inertie Ir [kgm2 ]. La charge est caractérisée par son inertie Ic
ramené sur l’arbre moteur. Un couple résistant c r (t ) s’oppose au mouvement.
L’arbre moteur est en liaison pivot avec le bâti, les frottements dans la liaison
sont modélisés par un couple de frottement fluide proportionnel à la vitesse de
rotation : c f (t ) = − f · ωm (t ).
L’application du théorème du moment cinétique appliqué à l’arbre moteur et
à la charge donne :
(Ic + Ir ) ·
d ωm (t )
= c m (t ) − f · ωm (t ) − c r (t )
dt
On pose Ie = Ic + Ir , avec Ie l’inertie équivalente à l’ensemble mobile ramené sur
l’arbre moteur.
Ie ·
d ωm (t )
= c m (t ) − f · ωm (t ) − c r (t )
dt
Le fonctionnement du moteur est donc traduit par ces quatre équations.
c ) Schéma-bloc du moteur
On pose : L (ωm (t )) = Ωm (p), L (c m (t )) = Cm (p), L (c r (t )) = Cr (p), L (u(t )) =
U(p), L (E(t )) = E(p) et L (i (t )) = I(p).
On se place dans les conditions de Heaviside. Dans le domaine symbolique,
les quatre équations deviennent :
c m (t ) = K T · i (t ) → Cm (p) = K T · I(p)
E(t ) = K E · ωn (t ) → E(p) = K E · Ωm (p)
¡
¢
d i (t )
+ E(t ) → U(p) = R + L · p · I(p) + E(p)
u(t ) = R · i (t ) + L ·
dt
d ωm (t )
Ie ·
= c m (t ) − f · ωm (t ) − c r (t ) → Ie · p · Ωm (p) = Cm (p) − f · Ωm (p) − Cr (p)
dt
Pour chaque équation on peut tracer un schéma- bloc élémentaire :
40
Cm (p)
Cm (p) = K T · I(p)
Ωm (p)
E(p) = K E · Ωm (p)
U(p)
¡
¢
U(p) = R + L · p · I(p) + E(p)
que l’on met sous la forme
¡
¢
1
I(p) =
· U(p) − E(p)
R+L·p
I(p)
KT
E(p)
KE
+−
E(p
1
R+L·p
I(p)
Cr (p)
Cm (p)
Ωm (p)
1
+−
f + Ie · p
U(p) = Ie · p · Ωm (p) = Cm (p) − f ·
Ωm (p) − Cr (p)
que l’on met sous la forme
¡
¢
1
Ωm (p) =
· Cm (p) − Cr (p)
f + Ie · p
À partir de ces schémas élémentaires, on construit le schéma-bloc du moteur
à courant continu (figure 1.36).
U(p)
+−
²
1
R+L·p
I(p)
KT
Cm (p)
Cr (p)
−
+
1
Ie · p + f
Ωm (p)
E(p)
KE
F IGURE 1.36 – Schéma-bloc moteur à courant continu
On constate que la vitesse de rotation du moteur dépend à la fois de la tension
d’alimentation et du couple résistant. On doit donc pouvoir écrire :
Ωm (p) = H1 (p) · U(p) + H2 (p) · Cr (p)
d ) Détermination analytique de Ωm (p)
1
Ie · p + f
1
Ωm (p) =
Ie · p + f
1
Ωm (p) =
Ie · p + f
Ωm (p) =
¡
¢
Cm (p) − Cr (p)
µ
¶
¢
KT ¡
U(p) − E(p) − Cr (p)
R+L·p
µ
¶
¢
KT ¡
U(p) − K E · Ωm (p) − Cr (p)
R+L·p
soit en réorganisant
Ωm (p) =
KT
KE · KT
KT
· U(p) −
· Ωm (p) −
· Cr (p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
Ie · p + f
µ
Ωm (p) 1 +
¶
KE · KT
KT
1
· U(p) −
· Cr (p)
=
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
Ie · p + f
¶
KT
1
(Ie · p + f ) · (R + L · p) + K E · K T
=
· U(p) −
· Cr (p)
Ωm (p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p)
Ie · p + f
µ
Ωm (p) =
KT
R+L·p
· U(p) −
· Cr (p)
(Ie · p + f ) · (R + L · p) + K E · K T
(Ie · p + f ) · (R + L · p) + K E · K T
On retrouve bien que Ωm (p) dépend bien de U(p) et Cr (p).
Cet exemple est important, le moteur à courant continu étant un des principaux actionneurs utilisés dans les asservissements.
42
1.6.6 Exercices
Exercice 4- Fonction de transfert d’un moteur CC
Corrigé page ??
On reprend l’énoncé de l’exemple de la page 37.
Q1. Retrouvez Ωm (p) en utilisation le principe de superposition
Exercice 5- Étude d’un système linéaire
Corrigé page ??
Un système linéaire est décrit par les équations différentielles ci dessous :
d s(t )
d v(t )
d 2 s(t )
+ 110 ·
+ 1000 · s(t ) =
+ +30 · v(t )
dt2
dt
dt
d v(t )
+ v(t ) = k · e(t )
dt
L’entrée du système est e(t ), la sortie s(t ) et avec v(t ) , une variable interne.
Q1. Écrire les équations dans le domaine symbolique.
Q2. Déterminer la fonction de transfert du système, pour cela
V(p)
Q2a. Déterminer la fonction de transfert T(p) =
E(p)
S(p)
Q2b. Déterminer la fonction de transfert R(p) =
V(p)
Q3. On sollicite le système avec un échelon unitaire
Q3a. Déterminer la valeur finale de la sortie et la tangente à l’origine.
Q3b. Déterminer la sortie s(t ).
Exercice 6- Détermination fonction de Transfert
Soit le système décrit par le système suivant :
Corrigé page ??
Kr
m(p)
R(p) − ²(p)
Kp
+
−
+
1
4
1
1 + 0, 5 · p
+−
1
3
1
1+p
Y(p)
F IGURE 1.37 – Schéma blocs
m(p)
.
²(p)
Y(p)
Q2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée H(p) =
.
R(p)
Q1. Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) =
Exercice 7- Extrait- Planeuse-pcsi
extrait de Engees 2000
Corrigé page ??
Le schéma bloc de commande d’une planeuse est représenté ci-dessous
K1
U1
−
+
K1
R1
+
+
B·p
U2
+−
K2
R2
Ω1
1
A·p
B·p
Ω2
1
C·p
+
+
K2
A, B, C sont des constantes qui valent respectivement : A = 9 × 10−3 S.I. ; B =
1,5 × 10−3 S.I. ; C = 2 × 10−3 S.I. ; R1 = 0,3 Ω ; R2 = 0,5 Ω ; K 1 = 1S.I. ; K2 = 0,3S.I.
La vitesse de rotation du moteur 2 peut se mettre sous la forme :
Ω2 (p) = H1 (p) · U1 (p) + H2 (p) · U2 (p)
Q1. Déterminer l’expression de H1 (P) et H2 (P)
Pour alléger les écritures on omettra les « (p) » ; ainsi on écrira l’équation précédente : Ω2 = H1 · U1 + H2 · U2 .
Q2. Caractériser H2 (p). Mettre sous forme canonique.
Exercice 8- Enceinte chauffée
Corrigé page ??
Le système représenté figure 1.38 est chargé de maintenir la température d’une
enceinte Le chauffage est assuré par un échangeur thermique, la vanne v, permet
de réguler le débit du fluide calorifique dans l’échangeur. On note :
– α(t ) : l’angle d’ouverture de la vanne.
– q(t ) : débit dans l’échangeur.
– θ1 : température en sortie de l’échangeur.
La loi de fonctionnement de la vanne est caractérisée par l’équation
q(t ) = k 0 · α(t )
donnant le débit en fonction de l’angle d’ouverture.
Les deux autres équations caractérisent le transfert de chaleur :
d θ1 (t )
– dans l’échangeur : θ1 (t ) + τ1 ·
= k 1 · q(t ) ;
dt
44
Vanne
x
θ1
α
Pompe
θ
F IGURE 1.38 – Échangeur thermique
d θ(t )
= k 2 · θ1 (t ).
dt
On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles.
L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne α(t ) et la température
de l’enceinte θ, la sortie.
A(p) la transformée de Laplace de α(t ) et Q(t p), Θ(p) et Θ1 (p) respectivement
les transformées de q(t ), θ(t ) et θ1 (t ).
Q1. Traduire dans le domaine de Laplace les équations de fonctionnement. en déQ(t p) Θ1 (p)
Θ(p)
duire les fonctions de transfert :
,
et
.
A(p) Q(p
Θ1 (p)
Q2. Compléter le schéma bloc du système.
A(p)
Q(p)
Θ1 (p)
Θ(p)
– et dans l’enceinte : θ(t ) + τ2 ·
Θ(p)
A(p)
Afin de réguler la température, On choisit de motoriser la vanne et on installe
un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température θ(t ). Cette température est comparée à la température de consigne θc (t ). Un amplificateur K c
génère la tension de commande u(t ) du moteur (M) qui ouvre ou ferme la vanne
en fonction de l’écart de température.
Le schéma figure 1.39 précise la structure de l’asservissement.
Km
A(p)
=
La fonction de transfert du moteur est : M(p) =
U(p) p · (1 + Tm · p)
Q4. Compléter le schéma bloc du système, l’entrée est Θc (p).
Θ(p)
Q5. Déterminer la fonction de transfert du système HF (p) =
.
Θc (p)
Pour la suite on suppose que k c est tel que le système est stable.
Q6. Déterminer la valeur finale pour une entrée en échelon θ(t ) = θ0 · u(t )
Q3. Déterminer la fonction de transfert HO (p) =
1.7 Corrigés
45
Vanne
x
θc
+−
²
Kc
u(t )
θ1
α
M
Pompe
F IGURE 1.39 – Échangeur thermique asservi
1.7 Corrigés
θ
capteur

Sciences Industrielles pour l`Ingénieur en MPSI

Transcription

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