modèles de Thévenin et Norton

Modèles de Thévenin et Norton
I43. Modèle de Thévenin.
A
E
Déterminer le modèle de Thévenin du montage de gauche entre A et B, ce modèle étant
constitué par une source de fem déterminée en série avec une résistance déterminée, en
précisant par un croquis la convention de signe utilisée pour la fem.
λU R
B
R
e1 , r1
II22. Recharge d’une batterie.
UR
La diode D de droite a une tension de seuil U S et une résistance
dynamique r , c’est-à-dire que lorsqu’elle est passante, l’équation de sa caractéristique en
convention récepteur, le courant étant mesuré vers la droite, est U = U S + rI . Sinon elle est
e2 , r2
D
bloquée et parcourue par un courant nul. A quelle condition la diode D est-elle passante ?
R
III68
a
a
A
a
1) Déterminer le modèle de
E
Thévenin du circuit de la figure
E
a
b
1 pris entre les bornes A et B.
2)) Exprimer la tension u
B
dans la figure 2 en application
Figure 1
de la propriété précédente.
3) Exprimer la tension u dans la figure 2 en application du théorème de Millman.
a
a
a
u
Figure 2
IV12. Convertisseur numérique-analogique.
R0
R0 I1
R0
R
I2
R0
R
I3
R
u
I4
Le montage ci-dessus est considéré comme une suite de réseaux dipolaires qui n’échangent du courant qu’avec la
droite ; dans la figure, la suite comporte quatre termes, chacun entouré en pointillé, mais on considérera qu’elle en
comporte un nombre quelconque p . Le premier terme de la suite est un conducteur ohmique de résistance R0 en
parallèle avec une source de courant de courant électromoteur I 1 ; le deuxième terme est un réseau comportant deux
résistances R0 , une résistance R et deux sources de courant I 1, I 2 .
Le modèle de Norton du k -ième terme de cette suite est constitué d’un conducteur ohmique de résistance RN ,k en
parallèle avec une source de courant de courant électromoteur I N ,k . On veut que , quel que soit k , RN ,k = R0 .
1) Dessiner les deux montages équivalents d’après ces deux exigences utilisant I N ,k , I N ,k −1, I k , R0 , R .
2) En mettant en équation cette équivalence, exprimer R en fonction de R0 et I N ,k en fonction de I k et I N ,k −1 .
3) Exprimer I N ,k en fonction des I k .
4) En fait chaque source débite un courant, soit nul, soit égal à I 0 . On définit une variable binaire ai , égale à 0 ou 1,
telle que I i = ai I 0 . Exprimer la tension u en fonction des ai , de R0 et de I 0 .
p −1
5) Soit un entier q exprimable par les chiffres binaires bi : q =
∑ bi .2i . Comment doit-on choisir les ai
i =0
u soit proportionnel à q ?
6) Si p = 8 , quelle plage de valeurs d’entiers q peut être représentée par cette tension analogique ?
pour que
Réponses
I. voir ci-contre.
e1
II.
r − e2 > U S .
1+ 1
R
ab
bE
III. 1) rT =
et eT =
; 2) et 3) u = E /13 .
a +b
a +b
IV. 1)
E
U
I A
R(1 + λ)
B
R0
RN,k–1 = R0
IN,k–1
R
Ik
figure 1
Ij
∑ 2k − j
j =1
6) entre 0 et 255 .
IN,k
figure 2
k
2) R = 2R0 ; I N ,k = I k + I N ,k −1 / 2 ; 3) I N ,k =
R0
p
; 4) u = RN ,p I N ,p = R0I 0 ∑ a j 2 j − p ; 5) ai = bi −1 ;
j =1
Corrigés
I. Modèle de Thévenin.
Si on mesure le courant vers le haut, le montage obéit à :
U = E + λVR + VR ; VR = −RI . D’où : U = E − (1 + λ)RI (de la
I A
E
U
R(1 + λ)
forme U = eT − rT I ) et le modèle dessiné ci-contre.
B
II. Recharge d’une batterie.
Cherchons le modèle de Thévenin du montage privé de la branche de la diode. On peut procéder par les équivalences
successives suivantes :
r2
e1
r1
r1
r1 & R
e1
r1
R
e2
r1 & R
e1 (r1 & R)
r1
La diode est passante si la fem du modèle de Thévenin est supérieure à U s (sinon elle est bloquée) :
e1 (r1 & R)
e1
e1
− e2 > U S
− e2 > U S
r − e2 > U S
1⎞
⎛1
r1
1+ 1
r1 ⎜⎜ + ⎟⎟
R
⎝ r1
R⎠
III.
1) Calculons eT et rT par équivalences successives entre modèles de Thévenin et de Norton :
rT
a
E/a
b
soit
rT
E/a
soit
eT
ab
E
bE
et eT = rT
.
=
a +b
a
a +b
2) En appliquant deux fois l’équivalence démontrée à la question 2) :
rT =
a/2
a
E/2
a
a
i
eT
a
rT
a
a
E
E
a
E
E
2
5
.
eT =
=
u =
=
3a
3a
5
13
a+
a +a +
2
5
3) On peut aussi utiliser le théorème de Millman ; soit en effet la carte des potentiels :
w
v
u
E
a
a
a
a
3a
3a
rT = a &
=
2
5
a
w =
E +v
3
v =
w +u
3
a
a
0
v
E
.
u = , d’où v = 2u , w = 3v − u = 5u et E = 3w − v = 13u , soit u =
2
13
IV.
1) On veut l’équivalence des figures 1 et 2.
R0
RN,k–1 = R0
IN,k–1
R
Ik
figure 1
R0
IN,k
figure 2
2) Dans la figure 1, remplaçons le modèle de Norton des k − 1 premières cellules par son modèle de Thévenin :
nous obtenons la figure 3. Après groupement des deux résistances en série et remplacement du modèle de Thévenin par
son modèle de Norton, nous obtenons la figure 4.
La résistance R0 = RN ,k de la figure 2 équivaut aux deux
R0
résistances R et RN ,k −1 + R0 = 2R0 en parallèle sur la figure 4 ;
d’où :
1
RN ,k
=
1
1
1
1
1
= +
⇒ R = 2R0 .
, soit
+
R0
R 2R0
R RN ,k −1 + R0
Groupons les sources de courant et les résistances en parallèles.
RN ,k −1I N ,k −1
I N ,k −1
D’où : i =
=
; I N ,k = I k + I N ,k −1 / 2 .
2
R0 + RN ,k −1
k
3) I N ,k =
Ij
∑ 2k − j
RN,k–1 = R0
R
Ik
R
Ik
RN,k–1IN,k–1
Figure 3
.
j =1
p
4) u se calcule sur la figure 2 : u = RN ,p I N ,p = R0I 0 ∑ a j 2
RN,k–1 + R0
i
j −p
j =1
5) ai = bi −1 .
6) On peut représenter les entiers entre 0 et 255 = 28 − 1 .
Figure 4