TD7 - Inria

MIT 1re année - 2011/12
Module Logique et Calculabilité
TD7 : Déduction par coupure en logique
propositionnelle
et calcul des prédicats
1. Stratégies de preuve par coupure
1.1 Proposez des stratégies de preuve par coupure.
Soit C un ensemble de clauses. On appelle preuve par résolution linéaire une suite c0 , c1 , . . . , cn
de clauses telles que c0 soit élément de C et telle que ci , 1 ≤ i ≤ n soit obtenue comme
résolvante de ci−1 et d’une clause de C ∪ {c0 , c1 , . . . , ci−1 }.
On rappelle les règles du très select club écossais :
(R1 ) tout membre non écossais porte des chaussettes rouges,
(R2 ) tout membre portant des chaussettes rouges porte un kilt,
(R3 ) les membres mariés ne sortent pas le dimanche,
(R4 ) un membre sort le dimanche si et seulement s’il est écossais,
(R5 ) tout membre qui porte un kilt est écossais et est marié,
(R6 ) tout membre écossais porte un kilt.
1.2 Prouver par résolution linéaire que personne ne peut faire partie du club.
1.3 Soient :
– C un ensemble de clauses,
– a une clause prouvable par résolution à partir de C,
– cn une clause prouvable par une résolution linéaire c0 , . . . , cn sur C.
Montrez que la clause c résultant de la coupure de a et cn est prouvable par une résolution
linéaire commençant par c0 , . . . , cn .
1.4 Montrez que la preuve par résolution linéaire est correcte et complète.
Soit C un ensemble de clauses. On appelle preuve par résolution linéaire à entrées directes
une suite c0 , c1 , . . . , cn de clauses telles que c0 soit élément de C et telle que ci , 1 ≤ i ≤ n
soit obtenue comme résolvante de ci−1 et d’une clause de C.
1.5 Montrez par une résolution linéaire à entrées directes que sans la règle (R1 ), aucun
écossais ne peut être membre du club.
On appelle clause de Horn une clause dont au plus un littéral est une variable propositionnelle. Dans le cas où exactement un littéral est une variable propositionnelle, on parle de
clause positive ; si aucun littéral n’est une variable, on parle de clause négative.
1.6 (Facultatif) Montrez que la preuve par résolution linéaire à entrées directes sur un
ensemble de clauses de Horn est correcte et complète.
2. Calcul des prédicats
2.1 Soit L le langage défini par C = {a, b}, F1 = {f }, F2 = {g}, R1 = {P } et R2 = {R}.
Les quantificateurs sont prioritaires sur les connecteurs logiques. Indiquez les occurrences
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libres et les occurrences liées des variables de la formule
∀v1 (∃v2 Rv2 v1 ⇒ P gav2 ) ∨ (∀v0 ∃v2 Rf v0 v2 ∧ Rv0 gbv1 )
2.2 Montrez que pour que deux formules soient équivalentes, il ne suffit pas que leurs
clôtures universelles le soient.
2.3 La formule ∀v1 ∃v2 A[v1 , v2 ] ⇒ ∃v2 ∀v1 A[v1 , v2 ] est-elle universellement valide quelle que
soit la formule à deux variables libres A[v1 , v2 ] ?
2.4 Même question pour la formule ∃v1 ∀v2 A[v1 , v2 ] ⇒ ∀v2 ∃v1 A[v1 , v2 ]
2.5 La formule ∃x∀y (Rxy ⇐⇒ ¬Ryy) a-t-elle un modèle ?
2.6 Montrer que, quelles que soient les formules à deux variables libres A[v1 , v2 ] et B[v1 , v2 ],
la formule suivante est universellement valide
(∀v1 ∀v2 A[v1 , v2 ] ⇒ ∃v1 ∃v2 B[v1 , v2 ]) ⇐⇒ ∃v1 ∃v2 (A[v1 , v2 ] ⇒ B[v1 , v2 ])
2.7 Soit F la formule
∀v1 ∀v2 (A[v1 , v2 ] ⇒ A[v2 , v1 ]) ⇒
(∀v3 ∀v4 (A[v3 , v4 ] ⇒ B[v3 , v4 ]) ⇒ ∃v1 ∃v2 (A[v1 , v2 ] ⇒ C[v1 , v2 ]))
où A[v1 , v2 ], B[v1 , v2 ] et C[v1 , v2 ] sont des formules à deux variables libres quelconques.
Montrer qu’il existe une formule G[v1 , v2 ] à deux variables libres sans quantificateur telle
que F soit universellement équivalente à ∃v1 ∃v2 G[v1 , v2 ].
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