Chapitre-4 Polarisation des ondes planes progressives sinusoïdales

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Chapitre-4 Polarisation des ondes planes progressives sinusoïdales
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Chapitre-4
Polarisation des ondes planes progressives
sinusoïdales
4.1- Définition de la polarisation
Considérons une onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant dans un
diélectrique parfait. En choisissant Oz comme direction de propagation, le vecteur d’onde
2π
. Le champ électromagnétique E , B est alors contenu dans les
s’écrit : k = k e z avec k =
(
λ
(
)
)
plans z = Cte et E s’explicite dans la base e x , e y , e z selon :
E mx cos(ωt − kz − Φ x )
E E my cos(ωt − kz − Φ y )
0
D’où le champ magnétique B =
−
B
k∧E
ω
E my
v
= ez ∧
(4-1)
E
, qui a pour projections :
v
cos(ωt − kz − Φ y )
E mx
cos(ωt − kz − Φ x )
v
0
(4-2)
Par définition, la direction de polarisation de l’onde est celle du champ électrique. en notation
complexe, celui-ci s’écrit :
E = E m exp − iωt ,
E m = E mx e x + E my e y
avec
les amplitudes complexes E mx et E my ayant pour expression :
E mx = E mx exp
E my = E my exp
i (k z +Φ x )
i ( k z +Φ y )
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= E mx exp
iϕ x
= E my exp
iϕ y
2
Le rapport r entre les amplitudes complexes E mx et E my des deux composantes E x et E y a
pour expression :
E my E my
i (Φ y − Φ x )
r =
=
exp
E mx E mx
r = = r exp iΦ
avec
r =
E my
E mx
et
Φ = Φy − Φx
(4-3)
r et Φ sont respectivement le rapport des amplitudes réelles et le déphasage de E y par rapport à
Ex .
Remarque :
Lorsque Φ est positif, E y est en retard par rapport à E x , dans un plan d’onde donné ( z = Cte ),
d’une durée τ =
Φ
ω
puisque : E y = E my cos(ωt − kz − Φ x − Φ ) = r E x (t − τ ) . Il est souvent
commode de choisir l’origine des phases de telle sorte que Φ x = 0 : dans ce cas Φ = Φ y .
4.2- Différents états de polarisation d’une OPPM
4.2.1- Polarisation elliptique
Lorsque le nombre complexe r est quelconque, la polarisation est dite elliptique, car l’extrémité
du vecteur OM de composante E x et E y décrit, dans le plan d’onde xOy , une ellipse inscrite
dans un rectangle de côtés 2 E x et 2 E y (figure-1) :
Le sens de parcours de l’ellipse est obtenu à partir de l’orientation du vecteur
OM ∧
∂OM
comparée à celle du vecteur d’onde k , c’est à dire dans notre cas à e z .
∂t

d OM
♦ Si  OM ∧

dt


 ⋅ k est positif, l’hélicité est dite positive, le sens de parcours coïncide avec


le sens trigonométrique ( de e x vers e y ). En optique, on qualifie l’onde de gauche, car OM
tourne vers la gauche ( de e x vers e y ) pour un observateur qui reçoit l’onde.

d OM
♦ Si  OM ∧

dt

qualifiée de droite.
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
 ⋅ k est négatif, c’est le contraire : l’hélicité est négative et l’onde est


3
y
y’
k
x’
E my
− E mx
M
x
O
E mx
Figure-1 : dans le plan d’onde z=0, l’extrémité de E décrit une ellipse.
Considérons, par exemple le plan d’onde z = 0 , comme :
.
E mx cos ωt
OM E my cos(ωt − Φ)
0
− ω E mx sin ωt
d OM
− ω E my sin(ωt − Φ)
dt
0
On a à l’instant t = 0 , OM = E mx e x + E my e y cos Φ et
d OM
= ωE my sin Φ e y . Il en résulte
dt
que :

 OM ∧ d OM

dt


 ⋅ e z = ωE mx E my sin Φ


(4-4)
♦ si 0 p Φ p π : l’hèlicité est positive (l’onde est gauche)
♦ si π p Φ p 2π : l’hèlicité est négative (l’onde est droite)
Les valeurs particulières de Φ , 0, π/2, π, 3π/2 définissent des états de polarisation remarquables.
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y
E my
M0 •
x
•
M0 •
E mx
0pΦp
•
π
π
2
2
p Φ pπ
Onde gauche (hèlicité positive)
M0 •
•
M0 •
•
π pΦp
3π
2
3π
p Φ p 2π
2
Onde droite (hélicité négative)
Figure-2 : Polarisation elliptique de l’onde
4.2.2- Polarisation rectiligne
lorsque Φ = 0 ou π , le rapport des amplitudes complexes est réelle :
r =
E my
E my
E mx
=±
E my
E mx
=± r
(3-5)
y
y
x
x
E mx
Φ=0
Φ =π
Figure-3 :Onde polarisée rectilignement
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Les deux composantes sont soit en phase ( Φ = 0 ) soit en opposition de phase ( Φ = π ) et le
champ électrique garde une direction fixe dans l’espace (figure-3). On dit que la polarisation est
rectiligne où que l’onde est polarisée rectilignement.
La structure d’une OPPM polarisée rectilignement est alors très simple, les champs E et B
gardent une direction fixe dans l’espace au cours de la propagation. Le plan formé par E et k est
le plan de polarisation.
En choisissant Ox comme direction du champ électrique ( E mx = E m , E my = 0 ), il vient :
E = E m e x cos(ωt - kz)
x
B=
et
ez ∧ E
=
v
Em
e y cos(ωt - kz)
v
(4-6)
E
z
k
O
λ
y
B
Figure-4 :Structure d’une onde polarisée rectilignement à t=0
4.2.3- Polarisation circulaire
lorsque Φ = ± π / 2 , le rapport des amplitudes complexes des composantes du champ
est un nombre imaginaire:
r =
E my
E mx
= ±i
E my
E mx
=± ir
Ces deux composantes sont en quadrature de phase ( retard si Φ =
axes de l’ellipse coïncident alors avec Ox et Oy (figure-7)
E mx
E m ± irE mx
0
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E mx cos(ωt − kz )
E m rE mx sin(ωt − kz )
0
(3-6)
π
2
, avance si Φ = −
π
2
). Les
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E my
y
x
E mx
Figure-7
Si de plus les amplitudes réelle des composantes sont égales :
E mx = E my = E m
ou
r = ±i
le point M décrit un cercle de rayon E m .
La polarisation est dite circulaire : elle est circulaire gauche si Φ =
circulaire droite si Φ = −
π
2
π
(hélicité positive) et
2
(hélicité négative). Ces ondes sont représentées sur la figure-8.
y
Em
y
Em
E
E
x
Em
x
Em
Figure-8 :Onde polarisée circulairement à droite et à gauche
4.3- Lumière naturelle
Une source de lumière naturelle est formée d’un très grand nombre d’émetteurs microscopiques
qui sont des atomes orientés au hasard. Du fait des collisions, les atomes émettent de la lumière
polarisée de façon indépendante et aléatoire sous forme de trains d’onde de durée ( τ ≈ 10 −8 s ).
Pour une fréquence donnée, la superposition de telles ondes, qui sont sans relations entre leur
phase, donne une onde résultante de polarisation donnée qui ne dure qu’un temps inférieur à τ.
Comme la durée de détection ( Td ≈ 10 −1 s ) est très grande devant la durée du train d’onde, la
lumière naturelle apparaît comme une superposition d’un grand nombres d’états de polarisation.
Elle peut être considérée comme une lumière elliptique dont la forme et l’orientation varient
rapidement et au hasard. On peut la représenter par une onde elliptique , constituée de deux
ondes polarisées rectilignement orthogonales, dont le déphasage Φ est une fonction qui varie
rapidement dans le temps de façon aléatoire.
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Finalement la lumière naturelle n’est ni entièrement polarisée, ni totalement incohérente mais
plutôt un mélange. Par des phénomènes physique aussi simples que la réflexion ou la réfraction
on peut provoquer une dissymétrie à l’origine de la lumière partiellement polarisée. On peut
augmenter aussi le degré de polarisation de la lumière par des systèmes dans lesquels des
phénomènes de polarisation apparaissent en raison de certains dissymétries. La plupart de ces
systèmes absorbent le champ électrique de l’onde dans une direction et transmet le champ dans
une direction perpendiculaire. On les appelle polariseurs.
4.4- Production de la lumière polarisée
4.4.1 Dichroïsme et polaroids
Le dichroïsme est l’absorption sélective par certains matériaux d’une direction de polarisation de
l’onde lumineuse qui le traverse.
Le plus simple des systèmes dichroïques est constitué d’une grille métallique dont la période est
de l’ordre de la longueur d’onde. La composante du champ électrique transmise est
perpendiculaire la direction de la grille : suivant la direction parallèle les électrons de la grille
sont mis en mouvement et l’énergie qu’ils reçoivent de l’onde est dissipée par effet Joule. Par
conséquent, la lumière transmise est fortement polarisée dans la direction perpendiculaire aux
fils.
Ei
y
x
Et
z
Figure-9 :Grille métallique
Les polaroids :
Ce sont un analogue moléculaire de la grille, inventées par E.H. Land en 1938. Ils sont constitués
d’une feuille transparente d’alcool polyvinylique dont les molécules en longue chaîne ont été
alignées dans une direction particulière et étirées. la feuille est alors séchée dans une solution
d’iode, et l’iode s’aligne entre les molécules linéaire de l’alcool polyvinylique. Les électrons de
conduction de l’iode peuvent alors aller et venir entre les molécules, comme si ils constituent
autant de fils microscopiques. Le résultat obtenu constitue un polariseur linéaire, c’est à dire un
appareil qui ne laisse passer qu’une lumière dont le champ : est orienté dans une direction
donnée.
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4.4.2 Polarisation par réflexion
Un des moyens les plus simples pour produire de la lumière polarisée est la réflexion par une
surface séparant deux diélectrique. On montre en effet (chapitre-5 : coefficients de Fresnel) que
seule la composantedu champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence est transmise
lorsque l’angle d’incidence a une valeur particulière appelée angle de brewster iB :
n
tan θ B = 2
n1
n1 désignant l’indice du milieu incident (figure-10). Dans ces conditions, les rayons réfléchi
et réfracté sont perpendiculaires :
n
sin iB = 2 sin i2 =tan iB sin i2
⇒ cos iB =sin i2 et iB +i2 = π
2
n1
Exemple : dans le cas de la réflexion sur le sur un verre crown ( n2 =1,52 ), iB =56,5°
iB ≈57°
M
Source
Figure-10 : Onde polarisée par réflexion
4.4.3 Polarisation par biréfringence
Certains cristaux tels que le quartz ( SiO2 ) ou la calcite ( CaCO3 ) divisent un faisceau incident
en deux faisceaux séparés de polarisations rectilignes orthogonales (Figure-11). On dit qu’ils
sont biréfringents (doublemement réfringents)
Faisceau extraordinaire
Faisceau
incident
Faisceau ordinaire
Lame de calcite
Figure-10 : La biréfringence
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La bérifringence a été découverte par le danois E. Bartolin vers 1665sur du spath d’Islande
qui est du carbonate de calcium cristallisé. On attribue sees propriétés d’anisotropie à la
structure dissymétrique de l’édifice cristallin : le cristal de calcite est un rhomboèdre, c’est à
dire un cube étiré le long de sa diagonale.
La bérifringence naturelle dans les cristaux et la berifringence aritificielle, que l’on provoque
en exerçant sur les matériaux des actions électromagnétique ou mécanique, jouent un rôle très
important en physique à la fois pour l’interprétation qu’en donne la théorie électromagnétique
de Maxwell et par leurs applications. En particulier ces cristaux sont capable de produire de la
lumière polarisée circulairemenyt ainsi que de la lumière polarisée elliptiquement.
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