Guide TD dopage

Et4 PSO
Semi-conducteurs
Nombre de porteurs dans un semi conducteur dopé
URL du TP numérique : http://intranet.polytech.u-psud.fr/ii/index.php?id=2755.
Modèle physique
Le TP a pour but de calculer le nombre de porteurs de charges dans un semi-conducteur dopé en fonction des
caractéristiques du semi-conducteur (gap, niveau d’énergie et concentration des dopants) et de la température.
Equations de base
Le semi-conducteur comprend deux bandes, la bande de valence (en rouge) et la bande de conduction (en bleu).
S’il est dopé, le dopage est caractérisé par la concentration en dopant nd et par le niveau d’énergie Ed du dopant.
Les relations de dispersion dans les bandes sont des paraboles d’équation
E = EV 0 −
h2k 2
2mh*
et
E = EC 0 +
h 2k 2
2me*
Connaissant ces relations de dispersion, on peut déterminer la densité des
états électroniques dans chacune des deux bandes :
1  2me* 


G(E ) =
2π 2  h 2 
3/ 2
EV 0 − E
et
1  2mh*

G(E) =
2π 2  h 2




3/ 2
E − EC 0
Les états du dopant sont des états discrets, qui correspondent à des
charges fixes à une énergie Ed . Dans le graphe ci-contre, on a marqué
d’un trait gris le niveau de ces états discrets afin de le visualiser. Attention,
il ne s’agit pas d’une relation de dispersion, puisque les charges
correspondant sont fixes.
A une température T donnée, on peut calculer la probabilité qu’a un état
d’être occupé en fonction de son énergie E , en fonction de E F , niveau de
Fermi du matériau :
P( E ) =
1
 E − EF
exp
 k BT

 + 1

Pour les bandes de valence et de conduction, on obtient en multipliant G ( E ) par P( E ) le nombre d’électrons par
unité de volume et d’énergie. Sachant que pour la bande de valence, les porteurs de charge sont des trous, on
représente l’occupation de la bande de valence par le nombre de trous par unité de volume et d’énergie, qui est
simplement le produit de G ( E ) par 1 − P( E ) .
Le nombre d’états du dopant occupés par des électrons s’obtient en multipliant la concentration en dopant nd par
leur probabilité d’occupation P(Ed ) . En dopage p, les atomes dopants sont ionisés lorsqu’ils ont capté un électron
de la BC : le taux d’ionisation du dopant vaut donc P(Ed ) . En dopage n, ils sont ionisés lorsqu’ils ont perdu un
électron, c'est-à-dire lorsque l’état du dopant n’est pas occupé. Le taux d’ionisation du dopant est donc 1 − P(Ed ) .
Décompte des porteurs de charge et niveau de Fermi
Les porteurs de charge peuvent être de quatre types
• les électrons libres dans la bande de conduction
• les trous dans la bande de valence
• les charges – fixes résultant de l’ionisation des dopants en dopage p
• les charges + fixes résultant de l’ionisation des dopants en dopage n
Le nombre de porteurs de charges libres est la somme des électrons libres et des trous.
Le niveau de Fermi est tel que la somme des charges + compense la somme des charges –. Il dépend de la nature
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du semi-conducteur, de la nature et du taux de dopage, et de la température
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Pour les semi-conducteurs intrinsèques, il n’y a pas de dépendance en température si les masses effectives des
électrons et des trous est identique. Ce n’est plus vrai avec un semi-conducteur dopé, le dopant cassant la
symétrie entre BC et BV.
Présentation du TP numérique
Le programme permet de fixer la température, l’énergie du haut de la bande de valence EV 0 , celle du bas de la
bande de conduction EC 0 , l’énergie du dopant Ed , sa concentration nd . L’énergie du niveau Fermi E F peut être fixée
à la main par essai-erreur, ou calculée par le programme. En mode expert, on peut en plus fixer la masse effective
des électrons et des trous, ainsi que des paramètres du calcul.
Le programme représente en fonction de l’énergie les relations de dispersion, les fonctions P(E ) et G (E ) , la
densité des électrons dans les bandes P( E ) × G ( E ) , et la densité des porteurs ( (1 − P( E ) ) × G ( E ) pour les trous de la
BV, P( E ) × G ( E ) pour les électrons de la BC. Le niveau d’énergie du dopant Ed est aussi représenté.
Le programme intègre les fonctions P( E ) × G ( E ) donnant la densité des états en fonction de E pour fournir le
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nombre de porteurs total de charge dans un cm de matériau. Il calcule aussi le nombre de charges occupant les
états du dopant.
Attention, pour que le TP soit profitable, il ne s’agit pas de se contenter de cliquer au hasard jusqu’à
obtenir les « bons » chiffres. Il faut à chaque fois que l’on soumet un calcul comprendre la relation
physique entre les paramètres du calcul et les résultats trouvés.
A faire
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A- Fabriquer un semi-conducteur dopé n, avec un taux de dopage moyen (10 atomes/cm ). Relever la
concentration des porteurs libres en fonction de la température. On distinguera trois domaines
• le régime d’ionisation, à basse température, que l'on caractérisera (arbitrairement) par un taux d’ionisation
inférieur à 50%
• le régime extrinsèque, que l'on caractérisera (arbitrairement) par un taux d’ionisation supérieur à 90% et un
nombre de porteurs minoritaires inférieur au dixième du nombre de porteurs majoritaires (nmin / nmax < 10%)
• le régime intrinsèque, que l'on caractérisera (arbitrairement) par un nombre de porteurs minoritaires
dépassant de moitié celui des porteurs majoritaires (nmin / nmaj > 50%)
Tracer l’évolution du nombre de porteurs libres en fonction de la température T. On reportera sur ce graphique les
limites des trois domaines.
B- Qu’est-ce qui change et qu'est-ce qui reste identique si on remplace le ½ conducteur n par un ½ conducteur p,
toutes choses égales par ailleurs ?
C- On veut fabriquer un semi-conducteur qui émettra à une longueur d’onde déterminée correspondant à son gap.
Pour des raisons qui apparaitront plus tard dans le court, on veut que ce semi-conducteur possède un dopage
déterminé.
On se propose d’utiliser une semi-conducteur III-V ternaire Alx Ga1-x As. Les deux premiers éléments appartiennent
à la colonne III du tableau périodique, et le troisième à la colonne V. En fonction de x, on trouve dans les bases de
données (voir www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/AlGaAs) des relations phénoménologiques :
• la valeur du gap en eV : Egap = 1.424 + 1.247 x
• la masse effective des électrons libres : me = 0.063 + 0.083 x
• la masse effective des trous : mh = 0.51 + 0.25 x
Afin de doper ce semi-conducteur, on remplace des atomes de Gallium soit par du Béryllium (Be), élément de la
colonne II d’une énergie d’ionisation dans le cristal de 28meV, soit par du Silicium (Si), élément de la colonne IV de
35meV d’énergie d’ionisation.
On déterminera les valeurs de x, la nature et la concentration des dopants permettant de fabriquer le semiconducteur désiré.