Correction DM4_seconde1

CORRECTION DU DM4
DM4
EXERCICE 1 : fonction (3,5 points)
Soit la fonction ݂ définie sur IR par ݂(‫ = )ݔ‬2‫ݔ‬² − 12‫ ݔ‬+ 23.
1) Pour tout réel ‫ݔ‬,
2(‫ ݔ‬− 3)ଶ + 5 = 2(‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬+ 9) + 5
= 2‫ݔ‬² − 12‫ ݔ‬+ 18 + 5
= 2‫ݔ‬² − 12‫ ݔ‬+ 23
= ݂(‫)ݔ‬
Donc pour tout réel ࢞, ࢌ(࢞) = ૛(࢞ − ૜)² + ૞. (1 point)
2) Le point de coordonnées (2 ; 8) appartient-il à la courbe de ݂ ?
Méthode : il faut vérifier si ݂(2) = 8.
݂(2) = 2 × 2² − 12 × 2 + 23 = 8 − 24 + 23 = 7
Comme ࢌ(૛) ≠ ૡ alors le point de coordonnées (2 ; 8) n’appartient pas à la courbe de ࢌ.. (1 point)
3) Résolution dans IR de l’équation ݂(‫ = )ݔ‬5.
Remarque : ݂(‫ )ݔ‬s’écrit de deux façons différentes donc c’est à vous de choisir la forme la mieux
adaptées.
݂(‫ = )ݔ‬5 ⟺ 2(‫ ݔ‬− 3)ଶ + 5 = 5
݂(‫ = )ݔ‬5 ⟺ 2(‫ ݔ‬− 3)ଶ = 0
݂(‫ = )ݔ‬5 ⟺ (‫ ݔ‬− 3)ଶ = 0
݂(‫ = )ݔ‬5 ⟺ ‫ ݔ‬− 3 = 0
݂(‫ = )ݔ‬5 ⟺ ‫ = ݔ‬3
Donc la solution est 3. (1,5 point)
EXERCICE 2 : équation (2,5 point)
L’écran d’une calculatrice affiche l’expression suivante :
Y1=(X−49)/X+13
1) L’expression algébrique de la fonction ݃ est ࢍ(࢞) =
࢞ି૝ૢ
+
࢞
૚૜. (0,5 point)
Attention ! certains ont considéré que des parenthèses figuraient autour de l’expression X+13, ce qui
௫ିସଽ
donnerait alors Y1=(X−49)/(X+13) donc ݃(‫ = )ݔ‬௫ାଵଷ.
2) On considère la fonction linéaire définie par ℎ(‫ݔ = )ݔ‬.
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
௫ିସଽ
+
௫
13 = ‫ݔ‬
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
௫ିସଽ
+
௫
13 − ‫ = ݔ‬0
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
௫ିସଽ
(ଵଷି௫)×௫
+
௫
௫
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
௫ିସଽାଵଷ௫ି௫²
௫
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
ି௫²ାଵସ௫ିସଽ
௫
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
௫²ିଵସ௫ାସଽ
௫
= 0 on met sur le même dénominateur et on le garde !
=0
=0
=0
on multiplie le numérateur par (−1) (1 point)
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫⟺ )ݔ‬
(௫ି଻)²
௫
=0
identité remarquable ‫ݔ‬² − 14‫ ݔ‬+ 49 = ‫ݔ‬² − 2 × 7 × ‫ ݔ‬+ 7²
Méthode : résolution d’équation quotient.
Valeurs interdites : 0 est valeur interdite.
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫ ݔ( ⟺ )ݔ‬− 7)ଶ = 0 et ‫ ≠ ݔ‬0
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫ ݔ ⟺ )ݔ‬− 7 = 0 et ‫ ≠ ݔ‬0
݃(‫ = )ݔ‬ℎ(‫ = ݔ ⟺ )ݔ‬7 et ‫ ≠ ݔ‬0
Donc la solution est 7.
7. (1 point)
EXERCICE 3 : algorithmique (8 points)
Proposition des parents de Tao :
« On discutera encore de ce qu’on te donnera en janvier, mais chaque mois suivant nous te donnerons
la moitié de ce que nous te donnions le mois précédent plus 10€. »
Algorithme de Tao où ‫ ݔ‬est l’argent de poche reçu en janvier :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
le réel positif ‫ݔ‬
répéter 5 fois ,
ଵ
‫ ݔ‬prend la valeur ଶ ‫ ݔ‬+ 10.
afficher ‫ݔ‬.
1) Algorithme pour ‫ = ݔ‬4 ∶
Algorithme pour ‫ = ݔ‬16 ∶
Algorithme pour ‫ = ݔ‬40 ∶
‫=ݔ‬4
‫ = ݔ‬16
‫ = ݔ‬40
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
× 40 + 10 = 30
ଶ
ଵ
× 30 + 10 = 25
ଶ
ଵ
× 25 + 10 = 22,5
ଶ
ଵ
× 22,5 + 10 = 21,25
ଶ
ଵ
× 21,25 + 10 = 20,625
ଶ
× 4 + 10 = 12
× 12 + 10 = 16
× 16 + 10 = 18
× 18 + 10 = 19
× 19 + 10 = 19,5
࢞ = ૚ૢ, ૞
(1,5 point)
× 16 + 10 = 18
× 18 + 10 = 19
× 19 + 10 = 19,5
× 19,5 + 10 = 19,75
× 19,75 + 10 = 19,875
࢞ = ૚ૢ, ૡૠ૞
(1 point)
࢞ = ૛૙, ૟૛૞
(1 point)
2) Montrer que le montant d’argent de poche de Tao pour le mois de juin peut s’exprimer par
ଵ
‫ = )ݔ(ܯ‬ଷଶ ‫ ݔ‬+ 19,375.
On rappelle que ‫ ݔ‬est l’argent de poche qu’il pourrait avoir au mois de janvier.
Le mois de juin arrive 5 mois après donc trouver l’argent de poche qu’il possèdera en juin consiste à
appliquer l’algorithme à ‫ݔ‬.
ଵ
En février : ଶ ‫ ݔ‬+ 10
ଵ ଵ
ଵ
ଵ ଵ
ଵ
ଵ
En mars : ଶ ቀଶ ‫ ݔ‬+ 10ቁ + 10 = ସ ‫ ݔ‬+ 5 + 10 = ସ ‫ ݔ‬+ 15
(0,5 point)
En avril : ଶ ቀସ ‫ ݔ‬+ 15ቁ + 10 = ଼ ‫ ݔ‬+ 7,5 + 10 = ଼ ‫ ݔ‬+ 17,5
(0,5 point)
En mai : ଶ ቀ଼ ‫ ݔ‬+ 17,5ቁ + 10 = ଵ଺ ‫ ݔ‬+ 8,75 + 10 = ଵ଺ ‫ ݔ‬+ 18,75
(0,5 point)
ଵ ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
En juin : ଶ ቀଵ଺ ‫ ݔ‬+ 18,75ቁ + 10 = ଷଶ ‫ ݔ‬+ 9,375 + 10 = ଷଶ ‫ ݔ‬+ 19,375 (0,5 point)
૚
Donc l’argent de poche reçu en juin est de ࡹ(࢞) = ૜૛ ࢞ + ૚ૢ, ૜ૠ૞.
3) Pour quelles valeurs de ‫ ݔ‬l’argent de poche du mois de juin sera supérieur à celui du mois de
janvier ?
On cherche ‫ ݔ‬tel que ‫ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬.
‫⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬
ଵ
‫ݔ‬
ଷଶ
+ 19,375 ≥ ‫ݔ‬
(0,5 point)
ଵ
‫ ⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬19,375 ≥ ‫ ݔ‬− ଷଶ ‫ݔ‬
ଷଶ
ଵ
ଷଵ
‫ݔ‬
ଷଶ
ଷଶ
ଷଶ
≥
ଷଵ
ଷଵ
×
‫ ⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬19,375 ≥ ଷଶ ‫ ݔ‬− ଷଶ ‫ݔ‬
‫ ⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬19,375 ≥
‫ ⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬19,375 ×
‫ ⟺ ݔ ≥ )ݔ(ܯ‬20 ≥ ‫ݔ‬
ଷଵ
‫ݔ‬
ଷଶ
(1,5 point)
Si les parents de Tao lui donnent moins de 20€
20€ en janvier alors en juin il recevra plus.
(0,5 point)