Fiche Synthèse Statique - cours complet_2014
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Fiche Synthèse Statique - cours complet_2014
Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Fiche 01 - Modélisation des Actions Mécaniques (1) Lorsque l’on étudie un ensemble de solides indéformables, il est suffisant d’utiliser un modèle global pour les actions mécaniques. Ce modèle global est obtenu à partir de l’intégration de l’ensemble des actions élémentaires sur le domaine du modèle local. L’intérêt du modèle global est qu’il permet de représenter les actions mécaniques sous forme de forces. Cette modélisation simplifiée est très efficace pour la résolution de problème de statique des solides ou de dynamique des solides. On appelle Action Mécanique toute cause susceptible de provoquer l’équilibre, le mouvement ou la déformation d’un système matériel. Les actions mécaniques identifiées à ce jour sont les actions mécaniques à distance et les actions mécaniques de contact. En mécanique du solide indéformable toute action mécanique d’un ensemble matériel E sur un système mécanique S est modélisé à l’aide d’un modèle global(1) caractérisée par un torseur d’action mécanique : n r Fi RE→S i =1 {FE→S } = = n = r MA (E→S) A AP ∧ F i=1 i i A ∑ ∑ n ∑ i =1 r Fi r M (F) A A i Action mécanique à distance Exemple : champ magnétique Action mécanique de contact Exemple : Air sur un parachute Modélisation des actions mécaniques de contact Modèle local r z r z Intégration r d F1→2 2 r x R1→2 Modèle global S A S : Surface de contact r y MA (1→2) r x r y 2 r R1→2 = d F1→2 (S) {F1→2 } = r MA (1→2) = AM ∧ d F1→2 (S ) A ∫ ∫ R On modélise par {F1→2 } = 1→2 l’action mécanique du solide 1 sur la surface S du solide 2. M A A (1→2) Modélisation des actions mécaniques à distance – Cas de la pesanteur S M1 r z Modèle local Modèle global M2 Intégration S G (centre de gravité) r − Ms .g.z {Fg→S } = 0r G r r Axe z vertical Rg →S = −Ms .g.z vers le haut r r r Force résultante : Rg →S = dP → Rg →S = dm.g → Rg →S = −MS .g.z appliqué en G r r dP = dm.g Mi ∫ ∫ V V r Moment résultant au point A : MA (g →S) = AM ∧ dP soit : {Fg→S } = ∫ V Florestan MATHURIN r R g→S = −MS .g.z r M = AM ∧ d P A(g→S) V A ∫ Page 1 sur 4 Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Fiche 02 - Lois de Coulomb(1) (1) aussi appelées lois du frottement de glissement Si la liaison peut être considérée comme parfaite, on définit alors le modèle global suivant. r (2)/(1) : Liaison ponctuelle en O de normale (O, z ) entre les solide S2 et S1. r r r r n12 = z Modèle global n12 = z Réel r x d F1→2 0 0 Zone de contact R 1→2 S2 {F1→2 } = 0 0 S2 Z 0 O 12 b (π) (S) S1 (π) S1 O Plan tangent Plan tangent Si le frottement n’est pas négligeable, il existe une composante tangentielle à l’action mécanique. r r r r n12 = z Modèle global n12 = z Réel r d F1→2 Tx12 0 R1→2x r Zone de contact N1→2 = Z12 .z {F1→2 } = Ty12 0 S2 S2 Z 0 b I 12 (π) (S) S1 S1 I (π) r r T1→2 = Tx12 .x + Ty12 .y Plan tangent Plan tangent Les lois (expérimentales) de Coulomb permettent de relier les composantes de T1→2 à la composante normale Z12 . Il existe deux cas de figure : 1ère loi de Coulomb : r Glissement en I → VI , S2 / S1 ≠ 0 r r n12 = z On définit un coefficient de frottement f tel que f = tanφ où φ est le demi angle au sommet du cône de frottement. • La composante tangentielle T1→2 est opposée à R1→2 S2 VI, S2 / S1 I (π) Non glissement en I → VI , S2 / S1 S1 T1→2 • On connait exactement T1→2 : T1→2 = f. N1→2 2ème loi de Coulomb : N1→2 Cône de frottement φ la vitesse de glissement VI , S 2 / S1 . • R1→2 est toujours sur le cône de frottement. x r r n12 = z r =0 R1→2 On définit un coefficient d’adhérence f0 tel que f0 = tanφ0 où φ0 est le demi angle au sommet du cône d’adhérence. S2 x N1→2 Cône d’adhérence φ0 • R1→2 est toujours dans le cône d’adhérence. • On ne connait pas exactement T1→2 : I (π) S1 T1→2 T1→2 ≤ f0 . N1→2 Florestan MATHURIN Page 2 sur 4 Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Fiche 03 - Résolution de Problèmes de Statique Notion de Référentiel Galiléen (1) sa trajectoire est donc une droite (2) sa vitesse est constante Un référentiel Galiléen est l’association d’un repère géométrique et d’un repère temporel pour lequel le Principe Fondamental de la Statique est vrai. En SII, on considère Galiléen : • Tout repère fixe (i.e. sans mouvement) par rapport à la Terre. • Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne(1) uniforme(2) par rapport à la terre. Equilibre Un système E est en équilibre dans un référentiel Galiléen si, au cours du temps, chaque point de E conserve la même position part rapport au repère géométrique du référentiel. Enoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS) La condition nécessaire pour qu’un système matériel E soit en équilibre par rapport à un référentiel Galiléen est que la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à E soit nulle. r R 0 E→E FE→E = { 0} → = r où A est un point quelconque MA(E→E) A 0 A ∑{ } ∑ Lorsque l’on somme des torseurs ces derniers doivent tous être écrits au même point ! La condition ∑ {F } = { 0} est une condition nécessaire mais E→E pas suffisante ! Equilibre de E ∑ {F } = { 0} E→E Théorèmes généraux de la statique - Traduction vectorielle du PFS (3) 2 équations du thm de la résultante statique projetée sur les 2 axes de la base appartenant au plan + 1 équation du thm du moment statique ème projetée sur le 3 axe la base normal au plan L’énoncé du PFS conduit à l’écriture de deux équations vectorielles soit : r • Le théorème de la résultante statique : RE→E = 0 r • Le théorème du moment statique : MA (E→E) = 0 Le théorème de la résultante statique et le théorème du moment statique sont ensuite projetés sur les 3 axes d’une même base, ce qui conduit à 6 équations scalaires dans le cas d’un problème spatial. Dans le cas d’un problème plan, l’application du PFS ne peut fournir au maximum que 3 équations scalaires(3). Théorème des actions réciproques : {F2→1 } = −{F1→2 } Cas particulier d’un système matériel E soumis à 2 forces Si un système matériel en équilibre subit l’action unique de 2 forces alors ces forces ont même norme et sont directement opposées. Florestan MATHURIN Page 3 sur 4 Cours 04 - Fiches Synthèses - Statique du Solide Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Démarche de résolution : (4) En mécanique du solide, c’est souvent exclusivement limité à l’action de la pesanteur. (5) Concernant les actions de contact, il faut lister les différentes liaisons avec l’extérieur et bien sur connaître les modèles d’actions mécaniques de liaison. Lorsque l’on applique le PFS, les différentes étapes ci-dessous sont toujours les mêmes : Etape 1 : On isole le solide ou l’ensemble de solides considérés (E). Etape 2 : On identifie le type de problème (problème plan ou problème spatial, problème symétrique). Etape 3 : On effectue un Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) appliquées sur (E) comprenant : • Les actions mécaniques à distance (4). • Les actions mécaniques de contact (5). Le bilan des actions mécaniques extérieures est parfois grandement facilité par le graphe d’analyse. Pour le bilan des actions mécaniques, trois outils peuvent être utilisés suivant le type de problèmes : l’outil torseur (plutôt pour les problèmes dans l’espace), l’outil vecteur (plutôt pour les problèmes plans), l’outil graphique (utile principalement pour les problèmes plans et permettant de visualiser le problème). (6) Pour l’équation des moments, on choisit judicieusement le point d’expression. (7) Dans certains problèmes, il n’est parfois pas utile d’écrire toutes équations scalaires. Seule une ou une partie des équations peut être utile pour déterminer une inconnue. Etape 4 : On écrit le PFS(6). Etape 5 : On projette les équations vectorielles et on résout le système d’équations scalaires pour déterminer les inconnues du problème (7). On réitère ces 5 étapes si plusieurs isolements sont nécessaires pour résoudre le problème. Florestan MATHURIN Page 4 sur 4