TSTGM DM du lundi 8 novembre 2010. MATHEMATIQUES Exercice

TSTGM DM du lundi 8 novembre 2010.
MATHEMATIQUES
Exercice 75 p. 62
Location d'un appartement
Partie A.
Étude du tarif de location de l'appartement X
On note un le tarif mensuel de location, en euros, de l' appartement X en 1990 + n. Ainsi, u0 est le tarif
mensuel de location de l'appartement X en 1990. On définit la suite u des tarifs mensuels de
location, en €, de l'appartement X.
Les premiers termes de cette suite sont donnés dans le tableau suivant :
Rang de l’année n
0
1
2
3
4
5
6
Tarif mensuel
un
413
425
437
449
461
473
485
1) Représenter graphiquement les sept premiers termes de la suite u.
2) Conjecturer la nature de la suite u en explicitant la démarche suivie.
3) On admet que la suite u satisfait la conjecture précédente.
a) Exprimer un en fonction de n.
b) Calculer le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement X en 2006.
Dans les parties B et C les résultats seront arrondis au dixième.
Partie B. Étude du tarif de location de l'appartement Y
On note vn le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement Y en 1990 + n. En 1990, le tarif
mensuel de location est de 400 €, et chaque année il est augmenté de 2,7 %.
1) Calculer le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement Y en 1991, puis en 1992.
2) Exprimer vn +1 en fonction de vn . En déduire la nature de la suite v et préciser sa raison.
Exprimer vn en fonction de n.
3) Calculer le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement Y en 2006.
Partie C. Conclusion
Déterminer à l'aide d'une calculatrice en quelle année le tarif mensuel de location de l'appartement
X sera plus avantageux que celui de l'appartement Y.
CORRIGE
Exercice 75 p. 62
Location d'un appartement
Partie A.
Étude du tarif de location de l'appartement X
On note un le tarif mensuel de location, en €, de l' appartement X en 1990 + n. Ainsi, u0 est le tarif
mensuel de location de l'appartement X en 1990. On définit la suite u des tarifs mensuels de
location, en €, de l'appartement X.
Les premiers termes de cette suite sont donnés dans le tableau suivant :
Rang de l’année n
0
1
2
3
4
5
6
Tarif mensuel
un
413
425
437
449
461
473
485
1) Ci-dessus, représentation graphique des sept premiers termes de la suite u.
2) On observe que pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 12 : il s’agit certainement d’une suite
arithmétique de raison 12.
3) On admet que la suite u satisfait la conjecture précédente.
a) Exprimons un en fonction de n.
un = u0 + 12n soit ici : un = 413 + 12n
b) Calculons le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement X en 2006 :
u16 = 413 + 12 ×16 = 605 €
Dans les parties B et C les résultats seront arrondis au dixième.
Partie B. Étude du tarif de location de l'appartement Y
On note vn le tarif mensuel de location, en €, de l'appartement Y en 1990 + n. En 1990, le tarif
mensuel de location est de 400 €, et chaque année il est augmenté de 2,7 %.
1) Calculons le tarif mensuel de location, en €, de l'appartement Y en :
1991 : v1 = 400 × 1, 027 = 410,8 € ; puis en 1992 : v2 = 410,8 × 1, 027 ≈ 421,8 €
2) Exprimons vn +1 en fonction de vn : vn +1 = 1, 027vn . On en déduit que la suite v est géométrique de
raison 1,027.
Exprimons yn en fonction de n : vn = 400 ×1, 027 n
3) Calculons le tarif mensuel de location, en euros, de l'appartement Y en 2006 :
v16 = 400 × 1, 02716 ≈ 612, 6 €
Partie C. Conclusion
Déterminons à l'aide d'une calculatrice en quelle année le tarif mensuel de location de
l'appartement X sera plus avantageux que celui de l'appartement Y : le tableau ci-dessous permet de
conclure que c’est à partir de 2005 que X sera plus avantageux que Y.
année
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
un
413,0 €
425,0 €
437,0 €
449,0 €
461,0 €
473,0 €
485,0 €
497,0 €
509,0 €
521,0 €
533,0 €
545,0 €
557,0 €
569,0 €
581,0 €
593,0 €
605,0 €
617,0 €
vn
400,0 €
410,8 €
421,9 €
433,3 €
445,0 €
457,0 €
469,3 €
482,0 €
495,0 €
508,4 €
522,1 €
536,2 €
550,7 €
565,6 €
580,8 €
596,5 €
612,6 €
629,2 €