Déploiement d`une antenne satellite

DYNAMIQUE DES SYSTEMES DE SOLIDES
Déploiement d'une antenne satellite
Extrait d’un sujet Centrale PSI
Antenne du satellite
Télécom 2 déployée
Les antennes à réflecteur de diamètre 2,2m permettent
de concentrer la puissance d’émission ou de réception
des signaux radio-électriques du satellite sur une zone
déterminée (l’Europe par exemple).
Ces deux réflecteurs sont stockés et immobilisés contre
la paroi du satellite pendant la phase de lancement,
pour que l’ensemble puisse prendre place à l’intérieur
de la coiffe de la fusée. Une fois le satellite mis à poste
sur l’orbite géostationnaire, les réflecteurs sont
déployés et restent dans cette position jusqu’à la fin de
la vie du satellite.
L’immobilisation de chaque réflecteur est assurée en trois points par trois tripodes de conception identique.
La libération du réflecteur est effectuée par la mise à feu des écrous pyrotechniques qui équipent chaque «
point » de fixation.
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Le déploiement est réalisé par une rotation du
réflecteur autour de deux articulations reliées par un
axe. La motorisation est obtenue à l’aide des ressorts
de torsion précontraints fixés à chaque articulation et
la vitesse angulaire de déploiement est régulée grâce
à un régulateur centrifuge installé sur une des
articulations, afin de limiter le choc final lors de la
mise en position opérationnelle déployée. À ce
moment, l’immobilisation de l’antenne est assurée
par un système de verrouillage sans jeu.
Chacune des deux articulations assurant le déploiement du réflecteur est constituée :
• d’une ferrure principale liée à la structure du satellite,
• d’une ferrure liée au réflecteur (la liaison mécanique entre les deux ferrures est globalement une pivot),
• d’une butée ajustable avec détecteur,
• d’un système de verrouillage,
• d’un ressort hélicoïdal fonctionnant en torsion pour motoriser le déploiement.
r
On appelle θ la position angulaire du réflecteur autour de l’axe Y et θ0 la position du ressort au repos. Les
ressorts exercent un couple moteur sur la ferrure réflecteur :
r
r
Cm= −K(θ−θ0 )y
où K représente la raideur en torsion de l’ensemble des 2 ressorts.
La régulation de la vitesse de déploiement est assurée par un régulateur centrifuge, fixé à la ferrure principale
et actionné par un câble inextensible relié à une poulie solidaire de la ferrure réflecteur. Ce régulateur est
constitué d’un multiplicateur de vitesse à engrenages avec 2 étages identiques. Le dernier étage entraîne en
rotation un frein centrifuge, constitué de deux patins de forme cylindrique qui sous l’effet des forces
centrifuges sont plaqués contre le corps du régulateur, exerçant ainsi un couple de freinage, qui peut être
modélisé de façon simplifiée dans la plage de vitesse concernée, par :
r
r
Cf = −fθ&f y
r
avec θ&f la vitesse de rotation du frein autour de l’axe (D,y) .
et f=10-4N.m/(°/s)
Le rôle du régulateur est de limiter les chocs en fin de course qui pourraient provoquer des déformations
permanentes incompatibles avec la précision de pointage requise pour l’antenne.
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(R)
(0)
(2)
(F)
(1)
.L’objectif de ce sujet porte sur le choix du ressort qui permettra de respecter les contraintes
du système.
Données :
Angle de déploiement :
∆θ =65°
Rapport de multiplication de chaque étage du multiplicateur de vitesse :
k1 = k2 = 6
Rayon de poulie réflecteur :
Rf=30cm
Rayon de poulie régulateur :
Rg=10cm
r
Moment d’inertie de l’ensemble réflecteur (R) autour de l’axe (A,y) de déploiement : Jref = 12 kg. m²
r
Moment d’inertie de l’axe d’entrée du régulateur (1) autour de l’axe (B,y) :
J1 = 92 kg. cm²
r
Moment d’inertie de l’axe intermédiaire (2) du régulateur autour de l’axe (C,y) :
J2 = 70 kg. cm²
r
Moment d’inertie de la partie mobile (F) du frein centrifuge autour de l’axe (D,y) : Jfrein = 55 kg. cm²
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Hypothèses :
§ Étant donné le fonctionnement en orbite géostationnaire, le poids des pièces sera évidemment négligé.
§ Les liaisons serons considérées parfaites.
§ Le corps (0) du satellite est un référentiel galiléen
Questions
Le réflecteur muni de ses 2 ferrures est noté (R). Il présente
(O,x,z) comme plan de symétrie.
On pose
O
 A −F −E 
IO(R) = −F B−D r r r la matrice d’inertie de (R)
−E−D C (x,y,z)
Q.1
z
Donner les coefficients nuls de la matrice
x
d
y
∆
Pour simplifier, on assimile (R) à un disque de masse M = 6kg de rayon r =1,1m et d’épaisseur négligeable.
Q.2
Donner alors la forme de la matrice d’inertie de (R) en O. On montrera en particulier
que A=2B.
Q.3
Exprimer les coefficients non nuls en fonction de M et r. Faire l’application
numérique.
r
L’axe de rotation ∆= (A,y) du réflecteur est situé à une distance d=1,3m de son centre O .
Q.4
Exprimer puis calculer le moment d’inertie de (R) autour de son axe de rotation ∆ .
Le temps de déploiement de l’antenne est de l’ordre de la minute.
Q.5
Justifier la nécessité du multiplicateur de vitesse.
Q.6
Construire le graphe des actions mécaniques de ce mécanisme.
Q.7
Exprimer l’énergie cinétique galiléenne de l’ensemble des pièces mobiles. En
déduire le moment d’inertie équivalent Jeq ramené à l’arbre du réflecteur. Faire
l’application numérique.
Q.8
Lister les puissances extérieures et intérieures. Justifier quelles sont celles qui sont
nulles et exprimer les autres.
Q.9
Déterminer l’expression littérale de l’équation différentielle du mouvement en θ.
Q.10 Pour la solution avec régulateur centrifuge, représenter l’équation différentielle de la
position angulaire du réflecteur sous forme d’un schéma bloc comme ci-dessous :
Indiquer la fonction de transfert dans
le domaine de Laplace et la
signification physique de chaque bloc
, ainsi que le nom des variables
intermédiaires.
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Une simulation numérique a permis d’établir les courbes ci-dessous qui représentent la solution de l’équation
différentielle de la position angulaire du réflecteur pour θ0=100° et pour quatre valeurs différentes de la
raideur K du ressort moteur. L’angle en fin de déploiement est 65°. On souhaite que la vitesse θ& de rotation
du réflecteur en fin de déploiement soit limitée à 0,5°/s
Q.11 Justifier l’allure de la courbe de la position angulaire du réflecteur en fonction du
temps à partir de l’ordre de l’équation différentielle. Déterminer l’asymptote
théorique. Exprimer le coefficient d’amortissement du système et justifier par un
calcul numérique que la courbe de réponse ne dépasse pas l’asymptote pour les
quatre raideurs de ressort proposées.
Q.12 Choisir la raideur du ressort qui convient le mieux et déterminer le temps de
déploiement.
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