Approximation de la loi binômiale par la loi normale

Approximation de la loi binômiale par la loi normale
1/
Un calcul impossible sans approximation
¡ ¢
1. 1. C’est la formule dans le cas d’une loi binômiale  ( )où  ( = ) =   (1 − )−
µ
µ ¶ µ ¶−
µ ¶
¶
¡¢
¡¢
1
1
1
1
Donc ici,  suivant  
×
⇒  ( = ) =  ×
  ( = ) =  ×
2
2
2
2
¡¢
Qui donne bien  =  × 2− 
p
1. 2. On sait de plus que dans le cas général  () =  et  () =  (1 − )
√
Pour  = 10000 et  = 05 on a donc  ( ) = 5000 et  =  ( ) = 10000 × 025 = 50
On a donc bien  ( ) − 2  = 4900 et  ( ) + 2  = 5100
1. 3. On a  (4900 ≤  ≤ 5100) =  ( = 4900) +  ( = 4901) + · · · +  ( = 5100) =
On a donc, d’après le 1.1.  (4900 ≤  ≤ 5100) =
¡10000¢
5100
X
=4900
¡10000¢

5100
X
 ( = )
=4900
× 2−10000
¡
¢
3007
1. 4. Le calcul de 4900 est impossible à la calculette. Un logiciel un peu plus efficace donne 10000

4900 ≈ 2 154 4 × 10
Un nombre assez grand non ? En fait ce nombre n’a pas de réalité physique (le nombre de protons de l’univers
est de lordre de 1080 "seulement". Mais ne perdons pas de vue que ce nombre gigantesque est contebalancé par le
terme 2−10000 ≈ 5 012 4 × 10−3011 
2/
Vers une approximation
 −  ( )

donc  ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2 
2. 1. On a  =
⇔ −2  ≤  −  ( ) ≤ 2 en retranchant  ( )
⇔ −2 ≤
 −  ( )
≤ 2 en divisant par  ≥ 0

On a donc bien  ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2 ⇔ −2 ≤  ≤ 2
r
√
p

1
1 1

2. 2. Rappelons à nouvau que  ( ) =  = × et   =  (1 − ) =  × × donc  ( ) = et  =
2
2 2
2
2
 − 2
2 − 
2 − 
2
On a alors  =  ⇒  = √ d’où  =
× √ = c’est à dire  = √
2


2
2. 3. Lorsque  =  on a  =  on a donc  ( =  ) =  ( = ) =  
On a donc bien  ( ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2  ) =  (−2 ≤  ≤ 2)
1
2. 4. Graphiques :
Pour n = 4
Pour n = 30
y =f(x )/ s
y =f(x )/ s
pi (binomiale)
pi (binomiale)
0,16
0,45
0,4
0,14
0,35
0,12
0,3
0,1
0,25
0,08
0,2
0,06
0,15
0,04
0,1
0,05
0,02
0
 ()


Le mot approximativement est bien entendu peu recommendable en maths ; nous pouvons d’ores et déjà remarquer
que cette approximation semble meilleure lorsque  est grand. Tout ceci sera formalisé plus tard.
On constate donc que les points de coordonnées ( ;  ) sont approximativement sur la courbe d’équation  =
3/ Utiliser la loi de Gauss pour approcher la loi de 
 −  ( )
 −  ( )
( + 1) −  ( )
donc  =
et +1 =



( + 1) −  ( )  −  ( )
1
+1 −  =
−
⇒ +1 −  =



3. 1. On sait que  =
3. 2. Chaque rectangle a pour hauteur  et pour largeur
1
 L’aire de l’union des rectangles de  ̀  − 1 vaut donc

=−1
1 X
1
  C’est donc tout simplement
 ( ≤    ) 
  =

1
3. 3. Comme vu dans le cours sur les intégrales, l’aire vaut

Z
 () 

3. 4. Ayant constaté que les deux graphiques se superposent (ou presque), on peut en déduire en première approxiZ
1
1
 ( ≤    ) ≈
 ()  c’est à dire que
mation que ces deux aires ont la même valeur, donc que



Z
 ( ≤    ) ≈  () 

On sait de plus que  ( =  ) est faible (puisque  est grand).
Z
Donc  ( ≤    ) ≈  ( ≤  ≤  ) ⇒  ( ≤  ≤  ) ≈  ()  

2
6
5,4
4,8
4,2
3
3,6
2,4
1,8
1,2
-0
0,6
-0,6
-1,2
-1,8
-3
-2,4
-3,6
-4,2
-4,8
-6
-5,4
3
2,
4
1,
8
1,
2
0,
6
0
-0
,6
-1
,8
-1
,2
-3
-2
,4
0
En d’autres termes, lorsque  est grand, la loi normale est une bonne approximation de la loi binômiale. Remarquons qu’on a avancé, mais guère. En effet, pour  grand, on ne sait pas calculer  ( ≤  ≤  ) qui fait appel
2
1
à des termes binômiaux trop grands. Cependant on ne sait pas trouver de primitive de  () = √ − 2 ; on ne
2
Z
peut donc pas calculer non plus, en valeur exacte du moins l’intégrale  () 

Par contre ce calcul en valeur approchée n’est pas compliqué .
3. 5. On sait que  ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2  ⇔ −2 ≤  ≤ 2
donc  ( ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2  ) =  (−2 ≤  ≤ 2)
On a donc :  ( ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2  ) ≈
Z2
 () 
−2
Un calcul en valeur approchée de cette intégrale donne alors  ( ( ) − 2  ≤  ≤  ( ) + 2 ) ≈ 0954 50
Ainsi,  étant une variable aléatoire suivant la loi binômiale, la probabilité qu’elle prenne une valeur sa moyenne
moins 2 fois l’écart-type et sa moyenne plus 2fois l’écart-type est toujours de 0.95 (ce qui est très élevé) ; ou
encore la probabilité qu’elle soit plus éloignée de sa moyenne que 2 écart-types est seulement de
0.05
¡ ¢
3. 6. Revenons sur l’exemple du début :  =  × 2− pour  = 10000 on a vu que :
5100
X ¡
¢
10000
× 2−10000
 (4900 ≤  ≤ 5100) =

=4900
Un calcul direct avec un logiciel plus efficace que votre misérable calculatrice donne une valeur de 0955 57 qui
n’est évidement qu’une valeur approchée dont je suis incapable de donner la précision (inconnue après tant de
calculs approchés). On n’est pas très loin du 0954 50 donné par le calcul intégral et la loi normale.
3