Radioactivité tellurique (6,5 points) I. Le compteur Geiger

Radioactivité tellurique (6,5 points)
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Les parties I., II., et III. de cet exercice sont indépendantes.
I. Le compteur Geiger-Müller
Le tube compteur Geiger-Müller, mis au point en 1928, est aujourd'hui encore un appareil
indispensable pour la mise en évidence d'un rayonnement radioactif.
Il est constitué d'un tube cylindrique rempli d'argon sous faible pression, dans lequel un fil
conducteur est tendu le long de son axe (le schéma est représenté sur la figure 1).
Une tension U de quelques centaines de volts est appliquée en permanence entre la paroi
cylindrique du tube, qui sert de cathode, et le fil, qui joue le rôle de l'anode via un conducteur
ohmique de résistance R.
Figure 1
1. Circuit RC
Le tube constitué de la paroi extérieure et du fil central, rempli d'argon, soumis à la tension
U = 500 V, forme un condensateur de forme cylindrique, de faible capacité C = 1,0×10−11 F.
L'association du tube et du conducteur ohmique constitue donc un circuit RC série schématisé
sur la figure 2. Par souci de simplification, le tube est modélisé par un condensateur plan.
a) Sur le schéma électrique du circuit (figure 2), représenter la flèche tension uC aux bornes du
condensateur en respectant la convention récepteur, q désignant la charge du condensateur.
Figure 2
b) Rappeler l'expression de l'intensité i du courant électrique en fonction de la charge q. En
déduire la valeur de l'intensité I du courant, une fois que le condensateur a atteint sa charge
maximale Q. Justifier.
c) Calculer la valeur de la charge Q du condensateur dans ces conditions.
d) En raisonnant sur le schéma simplifié de la figure 2, indiquer par des signes (+) et (-) la
répartition des charges sur les armatures du condensateur lorsqu'il est chargé.
2. Impulsion de décharge
Dans le tube, une particule émise par désintégration radioactive ionise des atomes d'argon sur
sa trajectoire. Chaque atome ionisé donne naissance à deux particules : un ion argon et un
électron. Les ions positifs dérivent vers la paroi du tube. Les électrons sont accélérés vers le
fil et provoquent par collisions successives d'autres ionisations. Il en résulte alors une brève
diminution de tension entre les électrodes du tube, appelée « impulsion de décharge ». Un
compteur enregistre le nombre d'impulsions relevées pendant une durée de comptage donnée.
a) La durée moyenne d'une impulsion de décharge consécutive à la détection d'une particule
est Δt = 0,10 ms. Pour un bon fonctionnement du compteur Geiger-Müller, la valeur de la
constante de temps τ du circuit RC vérifie la condition : τ = 2Δt.
Calculer la valeur de la résistance R.
b) Montrer que la charge de l'anode diminue pendant la traversée de la particule.
c) Expliquer l'affirmation du texte : « Il en résulte alors une brève diminution de tension entre
les électrodes du tube. »
d) Pour modéliser le phénomène, on considère que le passage de la particule dans le tube
engendre N électrons et N ions argon.
Montrer que la diminution de tension entre les bornes du condensateur est :
ΔuC=
avec e : charge élémentaire.
II. Le radon « pollueur » des sous-sols
Les roches de l'écorce terrestre renferment de l'uranium 238 radioactif. Après plusieurs
désintégrations successives, il se forme du radon 222, principal responsable de la radioactivité
dite tellurique. Ce radon s'échappe, à l'état gazeux, des roches, s'infiltre dans les fissures des
fondations des bâtiments et s'accumule dans les locaux non ventilés.
1. Famille de l'uranium 238
Les descendants du radon 222 appartiennent à la famille décrite dans la figure 3 : chaque
flèche pleine désigne une désintégration, les flèches en pointillés représentent une succession
de désintégrations.
Figure 3
a) Indiquer la composition du noyau de radon 222.
b) Que peut-on dire des noyaux représentés sur une même verticale de la figure 3 ? Justifier.
c) Écrire l'équation de désintégration du radon 222 et celle du plomb 214.
d) Quel est le nom et la signification de la grandeur reportée sur la flèche de désintégration
de chaque noyau de la figure 3 ? Donner sa valeur pour le polonium 218.
2. Détection par le compteur
Un aspirateur muni d'un filtre permet de récupérer des poussières de l'air ambiant. On étudie
alors l'évolution temporelle de la radioactivité de ces poussières à l'aide d'un compteur
Geiger-Müller. L'activité mesurée est celle des noyaux descendants du radon 222, fixés sur
des microparticules piégées dans le filtre.
L'objectif de cette partie est de montrer que deux noyaux descendants de la famille de
l'uranium 238 sont principalement détectés par le compteur Geiger-Müller.
a) On transporte le filtre et on le dépose dans le détecteur une dizaine de minutes après
l'aspiration.
Par combien est approximativement divisé le nombre de noyaux de polonium 218 entre la fin
de l'aspiration et le début des mesures dans le détecteur : par 2, 4, 6 ou 8 ? Justifier.
b) On admet que l'activité du polonium 218 dans le local aspiré, proportionnelle au nombre de
noyaux 218Po, est comparable à celle des autres noyaux.
En déduire que la contribution du polonium 218 à la radioactivité de l'échantillon introduit
plus tard dans le détecteur peut être négligée.
c) Ayant pris soin de ne pas soulever les poussières déposées depuis très longtemps dans le
local où l'air ambiant est aspiré, on admettra que le plomb 210 ne participe pas à la
radioactivité de l'échantillon recueilli, ni ses descendants.
En conclusion, quels sont les seuls noyaux radioactifs émetteurs β − qui contribuent à l'activité
mesurée par le détecteur ?
III. Évolution temporelle
On se propose d'étudier l'évolution temporelle d'une population de noyaux radioactifs de
plomb 214.
1. Loi de décroissance
a) Rappeler l'expression mathématique de l'évolution temporelle du nombre de noyaux N
d'une population de noyaux de constante radioactive λ.
b) On rappelle que le nombre de désintégrations par seconde d'une population de noyaux
radioactifs est défini par l'activité A (en becquerels Bq) :
A(t) =
.
En déduire que la relation entre activité et nombre de noyaux est :
A(t) = +λN(t).
c) En utilisant la figure 4, comparer graphiquement et sans calcul l'activité de la population de
plomb 214 aux instants de dates t1 = 25 min et t2 = 50 min. Justifier la réponse.
d) En utilisant la figure 4, comparer graphiquement et sans calcul l'activité de
noyaux de
plomb 214 à celle du même nombre de noyaux de bismuth 214. En déduire lequel des deux
radioéléments a la constante radioactive la plus grande.
Figure 4
2.
Le descendant (noyau fils) du noyau de plomb 214 est le noyau de bismuth 214, lui-même
émetteur β− :
On a tracé sur la figure 5 les courbes représentant l'évolution temporelle des nombres de
noyaux d'un même échantillon renfermant à la fois des noyaux de plomb 214 et les noyaux fils
de bismuth 214 descendants des noyaux de plomb qui se désintègrent.
Figure 5 – Évolution temporelle des nombres de noyaux de plomb 214 et de son descendant le bismuth 214
a) Identifier les deux noyaux (plomb 214 et bismuth 214) correspondant à chacune des deux
courbes (a) et (b) figure 5. Justifier ce choix en décrivant qualitativement l'évolution
temporelle de la courbe (b).
b) Indiquer, en justifiant la réponse, quelle est l'équation différentielle qui régit dans ces
conditions l'évolution temporelle du nombre de noyaux de bismuth 214 :
(1)
= −λBiNBi
(2)
= + λPbNPb −λBiNBi
(3)
= + λPbNPb.
Corrigé
I. Le compteur Geiger-Müller
1. Circuit RC
a)
En convention récepteur, les flèches uC et i sont de sens opposés.
Figure 2
b)
Une fois que le condensateur a atteint sa charge maximale Q, la charge ne varie plus,
donc
: l'intensité dans le circuit est nulle, I = 0.
c) Dans ce circuit, U = UR + UC.
Or, UR = R.I = 0, puisque I = 0,
donc
et Q = C.U = 1,0 × 10−11 × 500 = 5,0 × 10−9 C.
d) Les électrons se déplacent en sens inverse du sens conventionnel du courant ; ils vont donc
s'accumuler sur l'armature B, qui se charge négativement, tandis que l'armature A se charge
positivement (voir figure 2).
2. Impulsion de décharge
a) τ = R.C = 2Δt,
donc
.
b) Après la collision, l'arrivée d'électrons (chargés négativement) sur le fil central (l'armature
A, chargée positivement, c'est-à-dire l'anode) entraîne une diminution de la charge portée par
cette armature.
De même, l'ion argon Ar+ se dirige vers le tube (c'est-à-dire l'armature B, chargée
négativement) ; l'ion étant chargé positivement, la charge négative de l'armature diminue (en
valeur absolue).
c) La tension aux bornes du condensateur étant proportionnelle à la charge portée par ses
armatures, si cette charge diminue, alors la tension diminue également.
d) Avant le passage de la particule,
.
Après le passage de la particule, l'anode a reçu N électrons portant chacun une charge −e ; la
− N.e.
charge de l'anode vaut donc
On en déduit
, donc
.
II. Le radon « pollueur » des sous-sols
1. Famille de l'uranium 238
a) Le noyau du radon 222 s'écrit
,
donc Z = 86 et N = A − Z = 222 − 86 = 136.
Il contient donc 86 protons et 136 neutrons.
b) Les noyaux représentés sur une même verticale ont le même numéro atomique mais des
nombres de masses différents : ce sont des isotopes.
(radioactivité α).
c)
(radioactivité β−).
d) Le temps de demi-vie est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux présents
initialement se soient désintégrés. Pour le polonium 218,
= 3,1 min.
2. Détection par le compteur
a) Le nombre de noyaux de polonium est divisé par 2 toutes les 3,1 min. En considérant que
10 min = 3 , le nombre de noyaux de polonium est donc divisé par 2 × 2 × 2 = 23 = 8.
b) Le temps de demi-vie du polonium 218 (3,1 min) est beaucoup plus court que celui des
autres radionucléides (20 min pour le bismuth 214, 27 min pour le plomb 214), donc le
nombre de noyaux décroît beaucoup plus vite : à titre de comparaison, au bout de 20 min, le
nombre de noyaux de bismuth 214 sera divisé par 2, alors que le nombre de noyaux de
polonium 218 sera divisé par 8 × 8 = 64 !
Si on admet que l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux présents, alors, au bout de
quelques dizaines de minutes, on peut négliger la contribution du polonium 218.
Remarque : on peut noter également que le polonium 214 a une demi-vie de 160 μs : sa
contribution sera totalement négligeable pour les mêmes raisons.
c) Si on néglige la contribution du plomb 210 et de ses descendants, l'activité mesurée par le
détecteur sera donc essentiellement due au plomb 214 et au bismuth 214.
III. Évolution temporelle
1. Loi de décroissance
a) Si N0 est le nombre de noyaux présents à la date t = 0, le nombre de noyaux présents à la
date t est
.
b)
donc
.
c) Sur la figure 4, on constate que le nombre de noyaux de plomb 214 diminue fortement
(quasiment de moitié) entre les dates t1 = 25 min et t2 = 50 min ; l'activité étant
proportionnelle au nombre de noyaux, elle est aussi quasiment divisée par deux entre ces deux
dates.
On constate que l'intervalle de temps t2 − t1 = 25 min est proche du temps de demi-vie du
plomb 214 (27 min), ce qui est cohérent avec une activité qui diminue de moitié…
d)
, donc, sur la courbe, l'activité à une date t correspond à l'opposé du
coefficient de la tangente à la courbe N = f(t) à cette date. Si on trace sur chaque courbe de la
figure 4 la tangente correspondant à
, on constate que la tangente à la courbe du
bismuth 214 est plus inclinée que celle du plomb 214, donc ABi > APb.
Figure 4
Or, pour chaque élément,
est donc directement proportionnelle à
l'activité déterminée précédemment, donc λBi > λPb.
C'est le bismuth qui a la plus grande constante radioactive des deux (ce qui est cohérent avec
le fait que son temps de demi-vie est plus court, ces deux grandeurs étant inversement
proportionnelles).
2.
a) Dans l'échantillon considéré, les noyaux de bismuth 214 sont formés uniquement par
désintégration des noyaux de plomb 214 ; à la date t = 0, il n'y a dans l'échantillon que des
noyaux de plomb 214, aucun noyau de bismuth 214 n'ayant encore été formé. À t = 0, N = 0
correspond à la courbe (b) de la figure 5.
La courbe (b) est donc d'abord croissante, les noyaux de bismuth 214 se formant par
désintégration des noyaux de plomb 214 ; mais les noyaux de bismuth 214 se désintègrent eux
aussi, tandis que le nombre de noyaux formés va en diminuant, puisque la population de
plomb 214 va aussi en diminuant… La courbe passe donc par un maximum, puis décroît
lorsque le nombre de noyaux de bismuth 214 se désintégrant devient supérieur au nombre de
noyaux formés par désintégration du plomb 214.
La courbe (a) correspond à l'évolution du nombre de noyaux de plomb 214 : ceux-ci se
désintègrent uniquement, la courbe est une exponentielle décroissante.
b) Si les noyaux de bismuth ne faisaient que se désintégrer, on aurait
.
Mais on a vu à la question précédente que la variation du nombre de noyaux de bismuth 214
était aussi due à la désintégration du plomb 214 : il se forme autant de noyaux de bismuth
qu'il se désintègre de noyaux de plomb :
.
La variation réelle du nombre de noyaux de bismuth 214 au cours du temps est la somme de
ces deux facteurs :
= + λPb.NPb − λBi.NBi.
On retrouve dans cette équation le fait que la courbe puisse être
croissante (lorsque λPb.NPb > λBi.NBi )
puis décroissante (lorsque λPb.NPb < λBi.NBi).