Corrigé de l`examen de statistiques (1ère session) Avril 2006 1. Une

Corrigé de l'examen de statistiques (1ère session) Avril 2006
1. Une parfumerie distribue deux marques A et B.
Les stocks de la marque A sont constitués comme suit :
10% d'eau de toilette
30% de parfum
60% de déodorant.
Les stocks de la marque B sont constitués comme suit :
50% d'eau de toilette
20% de parfum
30% de déodorant.
D'autre part, les 2/3 des produits présentés dans la parfumerie proviennent de
la marque A.
(Dresser un arbre de probabilités résumant les différentes données de l'énoncé)
marque B (1/3)
marque A (2/3)
déodorant
(60%)
parfum
(30%)
eau de toilette
(10%)
déodorant
(30%)
parfum
(20%)
eau de toilette
(50%)
Un client souhaite offrir l'un de ces produits, il demande à la vendeuse de le choisir au
hasard. Calculer la probabilité que ce produit soit
a) un parfum de la marque A
2 30 1
= = 0,2
P= .
3 100 5
b) un déodorant de la marque B
1 30
1
= = 0,1
P= .
3 100 10
c) un parfum
2 30 1 20
6
2
8
4
+ .
=
+
=
= = 0,267
P= .
3 100 3 100 30 30 30 15
d) une eau de toilette
2 10 1 50
2
5
7
+ .
=
+
=
= 0,233
P= .
3 100 3 100 30 30 30
e) de la marque B sans être un parfum
1 (30 + 50) 8
4
=
= = 0,267
P= .
3
100
30 15
Corrigé de l'examen de statistiques (1ère session) Avril 2006
2. Lorsqu'un tireur vise une cible, il a une chance sur cinq de l'atteindre. Il fait une
série de 4 tirs indépendants. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de tirs
ratés. Établir et représenter la distribution de probabilité de X.(loi binomiale).
P(échec) = 1/5
P(succès) = 4/5
n=4
X P(X)
0 (1/5)4 = 0,0016
1 4.(1/5)3.(4/5) = 0,0256
2 6.(1/5)²(4/5)²=0,1536
3 4.(1/5).(4/5)3 = 0,4096
4 (4/5)4 = 0,4096
Distribution de probabilité
0,5
P(X)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
X (nbr de tirs ratés sur 4)
3. La durée de vie des piles produites par une compagnie est distribuée normalement
avec une moyenne de 110 h et un écart type de 10 h. Quelle est la probabilité qu'une
pile choisie au hasard dure :
a) plus de 115 h ?
X = 115
Z = 0,5
S = 0,1915
P(X ≥ 115) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085
b) moins de 102 h?
X = 102
Z = -0,8
S = 0,2881
P(X ≤ 102) = 0,5 – 0,2881 = 0,2119
c) entre 102 et 115 h?
P(102 ≤ X ≤ 115) = 0,1915 + 0,2881 = 0,4796
d) Vérifier par un calcul simple si vos trois réponses précédentes sont correctes
P(X ≥115) + P(X ≤ 102) + P(102 ≤ X ≤ 115) = 1
0,3085 + 0,2119 + 0,4796
Corrigé de l'examen de statistiques (1ère session) Avril 2006
4. Des pièces détachées sont produites en usine et peuvent présenter des défauts. On a
pu constater, sur un échantillon représentatif de 600 pièces qu'elles pouvaient être
affectées par cinq défauts au maximum.
Nombre de défauts 0
1
2
3
4
5
Fréquences
75% 12% 3% 5% 3% 2%
a) Déterminer les effectifs
b) Combien y a-t-il en moyenne de défauts par pièce ?
c) Calculer l'écart type et comparer le à l'étendue de la distribution
a)N = 600
Nombre de défauts Fréquences Effectifs Calcul de m Calcul de V
d
x
x*d
x*d²
0
75%
450
0
0
1
12%
72
72
72
2
3%
18
36
72
3
5%
30
90
270
4
3%
18
72
288
5
2%
12
60
300
600
330
1002
Moyenne = 330/600 = 0,55 défauts
Variance = 1002/600 – 0,55² = 1,3675 défauts²
Écart type = 1,169 défauts
Étendue = 5 défauts
L'écart type représente 23,4% de l'étendue
5. Lors d'un test d'embauche pour plusieurs postes de secrétaire, une des épreuves
consiste en la frappe d'un texte. On analyse ensuite la répartition du temps mis par
les 70 candidates.
a) Calculer les fréquences, les effectifs cumulés croissants et décroissants
Effectifs
Temps en Nombre de Fréquences Effectifs
cum crois
cum décrois
minutes candidates
2,86%
2
70
[8,10[
2
5,71%
6
68
[10,12[
4
21,43%
21
64
[12,14[
15
42,86%
51
49
[14,16[
30
17,14%
63
19
[16,18[
12
7,14%
68
7
[18,20[
5
2,86%
70
2
[20,22[
2
70
b) Déterminer la proportion des candidates dont le temps d'exécution de
l'épreuve est
1) inférieure à 14 minutes : 21/70 = 30%
2) supérieure à 18 minutes : 7/70 = 10 %
3) comprise entre 14 et 18 minutes : 100 – 30 – 10 = 60%
4) inférieure à 15 minutes : 21/70 + (30/2)/70 = 36/70 = 51,43%
5) supérieure à 21 minutes : (2/2)/70 = 1/70 = 1,43%
Corrigé de l'examen de statistiques (1ère session) Avril 2006
c) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants
Polygone des effectifs cumulés croissants
Nbr cumulé de candidates
80
70
60
50
40
30
20
10
0
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Temps en minutes
Effectifs cumulés
premier quartile
médiane
troisième quartile
d) Calculer la médiane et les quartiles (vérifier les valeurs à l'aide du graphique)
Médiane = 14 + 2.(35-21)/30 = 14,93 minutes
Q1 = 12 + 2.(17,5-6)/15 = 13,53 minutes
Q3 = 16 + 2.(52,5-51)/12 = 16,25 minutes
e) Compléter les phrases suivantes :
1) La moitié des candidates ont mis moins de 14,93.minutes pour réaliser cette
épreuve
2) Le quart des candidates ont mis moins de 13,53 minutes pour réaliser cette
épreuve
3) Le quart des candidates ont mis plus de 16,25.minutes pour réaliser cette
épreuve
4) La moitié des candidates ont mis entre 13,53.minutes et 16,25.minutes pour
réaliser cette épreuve
5) Les trois quarts des candidates ont mis plus de 13,53 minutes pour réaliser
cette épreuve