Exercice 1 : comment orienter la voile pour faire avancer le voilier le

M ATHÉMATIQUES , PHYSIQUE ET VOILE
Exercice 1 : comment orienter la voile pour faire avancer le voilier le plus vite possible dans la direction désirée.
Conventions, notations et propriétés admises :
→
−
• Le vecteur V r (vent relatif) est le vent indiqué par la girouette sur le bateau.
−
→
Vr
−
→
Vr
−
→
Vr
Le bateau ne
bouge toujours
pas.
Le bateau ne
bouge pas.
Le bateau avance !
Pour ces trois dessin, le bateau est vu du dessus.
• Le projeté P d’un point M sur une droite d est le point d’intersection de cette droite avec la perpendiculaire à cette même droite passant par M .
→
−
→
→
→
u se projette en −
v sur d si les origine et extrémité de −
u se projettent en les origine et extrémité de −
v.
P
−
→
v
d
−
→
v
d
d
−
→
u
−
→
u
M
−
→
→
−
• F0 est la force exercée par le vent à la base du mât sur une voile perpendiculaire à V r .
−
→
F0
−
→
Vr
→
−
−
→
−
→
• La poussée F du vent sur la voile s’exerce à la base du mât et est telle que F 0 se projette en F sur la
perpendiculaire à la bôme (passant par « le mât »).
1
−
→
F
−
→
F0
−
→
Vr
π
π
= sin x et cos
• Pour x ∈ IR, cos(−x) = cos(x), cos x −
− x = sin x.
2
2
M 000
π
M
M
x
2
x
−x
M
x
−x
x−
M 00
π
2
M0
→
→
• La norme d’un vecteur −
u sera tout simplement notée u en remplacement de ||−
u ||.
Soient α l’angle de la direction du vent avec l’axe du bateau orienté suivant l’axe des y, β celui de la voile par
rapport à l’axe du voilier (plus précisément par rapport à −y).
y
−
→
Fy
−
→
F
x
−
→
F0
−
→
F
→
−
− F0
→
Fx
−
→
Vr
α
→
−
Vr
α
β
β
γ
γ
Figure 1
δ
Figure 2
1) Montrer que F = F0 cos γ puis F = F0 sin(α + β) (Cf. Figure 1).
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
2) F peut être décomposée en 2 composantes F y et F x (on projette F sur (Oy) et (Ox)). F y fait avancer
→
−
le voilier tandis que F x le fait dériver perpendiculairement à son axe. On considère que la coque offre
une résistance faible à l’avancement et une résistante importante contre la dérive latérale (cette résistance
est augmentée par la présence d’une quille ou d’une dérive). Nous négligerons donc la dérive latérale du
bateau.
→
−
Calculer Fy en fonction de F et δ, l’angle entre F et y (Cf. figure 2).
3) En déduire que Fy = F0 sin(α + β) sin β
2
→
−
4) On cherche donc l’angle β pour que la propulsion F y soit la plus grande possible (α étant supposé constant
ainsi que F0 ). Ainsi le voilier avancera « vite ».
Nous sommes donc amenés à étudier la fonction f (x) = sin(α + x) sin x.
π
π
Commençons avec l’exemple α = 30˚ = rad. D’où f (x) = sin
+ x sin x et l’on cherche le maximum
6
6
de f (pourquoi ?).
a) Tracer la courbe de f pour x ∈ [0 ; π − α].
b) Lire la valeur de x rendant f (x) maximal.
c) « Tracer la voile » sur le dessin.
5) A l’aide de votre calculatrice, reprendre les questions a-b-c du 4) et compléter le tableau suivant :
α
β
30˚
50˚
90˚
120˚
Conjecturer alors une relation donnant β en fonction de α.
Remarque : vous verrez en 1re une méthode donnant directement la réponse !
Exercice 2 : pourquoi un bateau flotte-t-il ?
Le théorème d’Archimède : Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci, subit
une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est
appelée « poussée d’Archimède ».
→
−
→
−
→
Cela signifie que la poussée d’Archimède P A est donnée par la formule P A = −Mf −
g où Mf est la masse du
fluide contenu dans le volume V déplacé.
En guise d’exemple, nous allons calculer la poussée d’Archimède qu’exerce de l’eau sur un cube d’air de a
mètres de côté dont la face supérieure est horizontale et située à 100 m de profondeur (données à 20˚C : masse
volumique de l’eau : 1000 kg/m3 ; masse volumique de l’air : 1,204 kg/m3 ).
On admet les résultats suivants :
3) Que deviennent les forces de pression sur les faces
verticales du cube ?
• La pression p sur une paroi de surface S est
→
−
→
−
F
4) Montrer que la somme F de toutes les forces de
égale à
où F est une force pressante exer→
pression vaut −Mf −
g.
S
cée sur cette paroi, perpendiculairement à cette
Remarque : ce raisonnement se généralise aux
dernière.
solides de forme quelconque.
• À une profondeur z, la pression hydrostatique
ph correspond au poids P d’une colonne de liquide (ayant donc la forme d’un pavé droit) de
hauteur z et de base S, divisé par la base.
• La pression atmosphérique p0 est la pression de
l’air. Elle vaut environ 1013 hPa (1Pa = 1N par
m2 )
100 m
• La pression p subie par une face du cube est
égale à ph + p0 .
• Les forces de pression s’exercent sur chaque face
du cube (plus précisément, au milieu de chaque
face et vers l’intérieur du cube).
a
1) a) Calculer ph pour la face supérieure du cube.
→
−
b) Calculer la force de pression F 1 exercée sur la
face supérieure du cube.
→
−
2) Calculer la force de pression F 2 exercée sur la face
inférieure du cube.
Remarque : il manque 2 forces pressantes sur le dessin.
3
Application : Un solide de volume V et de masse volumique ρ flotte à la surface de l’eau (masse volumique
→ −
−
→
→
−
de l’eau de mer : 1,025 kg/dm3 ). Le poids et la poussée d’Archimède s’équilibrent : P + P A = 0 . On a donc
P = PA (pourquoi ?)
→
−
→
On pourra utiliser le fait que P A = −Mf −
g où Mf est la masse du fluide contenu dans le volume Vi déplacé.
ρ
5) Montrer que Vi =
V où Vi est le volume immergé.
1, 025
6) En déduire que ρ < 1, 025.
7) Cas de l’iceberg : ρ = 0, 917 kg/dm3 (densité de la glace à 0˚C). Déterminer le pourcentage du volume
immergé d’un iceberg.
−
→
PA
−
→
P
→ −
−
→
En réalité, P et P A sont situés sur
une même verticale pour que le
solide soit en équilibre.
Exercice 3 : Stabilité d’un bateau ...
Dans chacun des trois cas, prévoir l’évolution du bateau.
G
G
G
B
B
B
→
−
Le bateau est vu en coupe transversale. Le point G est le point d’application du poids P et B le point d’appli→
−
cation de la poussée d’Archimède P A .
Tous ces exercices sont simplifiés. La réalité est plus complexe.
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