TP 5 : La musique -

TP 5 : La musique -
- Correction
Objectifs : Réaliser l'analyse spectrale d'un son musical et l'exploiter pour en caractériser la hauteur et le timbre.
Le son pur : cas du diapason La3 440
Il existe deux manière de travailler avec le son. Soit on étudie sa structure
temporelle, soit on étudie sa structure fréquentielle.
On passe de l'évolution temporelle à l'évolution fréquentielle en réalisant une
opération mathématique appelée transformée de Fourier du nom du mathématicien
français qui a étudié les fonctions périodiques.
Cette opération est très importante dans de nombreux domaines des sciences (musique,
optique, mécanique ...)
Joseph Fourier (1768 - 1830)
a°) Analyse temporelle (si vous avez des écouteurs vous pouvez les brancher au PC)
1°) Utiliser le logiciel WinOscillo pour voir son évolution temporelle. Reproduire rapidement (où imprimer)
votre observation.
Voici ce que l'on observe :
T = 2,27 ms
2°) De quel type de signal s'agit-il ? Avec les curseurs, mesurer sa période T et calculer sa fréquence f.
Quelle formule mathématique permettrait de décrire cette évolution ?
Il s'agit d'un signal sinusoïdal.
Le logiciel donne facilement la période, on mesure que T = 2,25 ms.
1
1
= 440 Hz
La fréquence vaut alors f = =
T 2,27×10−3
La formule qui permet de décrire cette évolution temporelle est :
y (t)=Y max sin(2 π. f .t+φ)
b°) Analyse fréquentielle (analyse spectrale)
1°) Toujours sous Winoscillo passer en mode fréquentiel, le logiciel réalise des transformées de Fourier du
signal. Reproduire également (où imprimer) la courbe obtenue.
Voici ce que l'on observe :
2°) A l'aide des curseurs, mesurer la fréquence du pic. Que constatez-vous ? Que fait alors une transformée de
Fourier ?
Le curseur indique que le pic se situe à une fréquence f proche de 440 Hz (ici le logiciel affiche 439 Hz).
C'est donc la m^me fréquence que précédemment.
Une transformée de Fourier est une opération mathématique qui indique les fréquences qui composent
un signal.
Ici le son du diapason n'est composé que d'une seule fréquence, on dit que le son est pur.
II°) Son complexe : cas des instruments de musique : sonomètre à corde où guitare
a°) Analyse temporelle
1°) Réaliser l'analyse temporelle de la plus grosse corde. Reproduire (où imprimer) votre observation.
Voici ce que l'on observe pour la corde de guitare :
T = 2,27 ms
2°) Quelle(s) différence(s) voyez-vous avec le diapason ? Mesurer sa période et calculer sa fréquence.
Le son est plus complexe que celui du diapason mais néanmoins on décèle un motif périodique.
1
1
= 440 Hz
La période vaut T = 2,27 ms et la fréquence f 1 = =
T 2,27×10−3
b°) Analyse fréquentielle
1°) Passer en mode fréquentiel. Reproduire sur votre compte rendu (où imprimer) la courbe obtenue.
f1 ≈ 440 Hz
f3 ≈ 1320 Hz
f2 ≈ 880 Hz
f4 ≈ 1760 Hz
f5 ≈ 2200 Hz
Fondamental
Harmoniques
f6 ≈ 2640 Hz
f7 ≈ 3080 Hz
2°) A l'aide des curseurs, mesurer la fréquence des pics. Que constatez-vous ?
On observe donc des pics régulièrement espacés.
On mesure f1 = 440 Hz. Le deuxième pic est situé à f2 = 880 Hz, le troisième pic à f3 = 1320 Hz ...
On constate que les pics suivants ont des fréquences multiples entiers de la fréquence du premier pic.
On appelle fréquence fondamentale f1, la fréquence la plus basse composant le spectre (c'est le 1er pic).
On appelle harmonique toutes les autres fréquences fn composant le spectre.
3°) En analysant le rapport des fréquences du fondamental et des harmoniques, trouver la relation générale liant
fn et f1.
On trouve facilement que f n = n× f 1 ou n ∈ ℕ ∗
II°) Hauteur et timbre des instruments de musique
a°) Hauteur d'un son
En acoustique musicale, la hauteur d'un son désigne la fréquence fondamentale
- Avec le Synthétiseur et Winoscillo faire l'analyse fréquentielle de la touche suivante :
→ A quelle note cela correspond-il ? Pour répondre, voici la fréquence des notes de l'octave n°3 :
Notes
Fréquences (Hz)
Do
Ré
Mi
Fa
Sol
La
Si
261,63
293,66
329,63
349,23
392,00
440,00
493,88
Voici ce que l'on observe :
f1 = 349 Hz
La mesure de la fréquence du fondamental donne 349 Hz, c'est donc la fréquence de la note Fa de
l'octave n°3. La hauteur vaut donc 349 Hz.
b°) Timbre sonore
- Réaliser l’analyse spectrale de deux sons complexes correspondant à la même note émis par deux instruments
différents : trompette et violon.
→ Reproduire rapidement (imprimer) côte à côte les spectres obtenus.
Voici ce que l'on observe pour la trompette et le violon pour la note Fa de l'octave n°3:
Spectre
Spectre
d'une
du trompette
Violon
1°) Quelles similitudes et quelles différences faites-vous entre ces 2 spectres ?
On voit que le fondamental et les harmoniques sont à la même place (ce qui semble logique vu que c'est
la même note qui est jouée).
Par contre on voit que les amplitudes des pics ne sont pas pareils.
Les instruments de musiques se différencient par l'amplitude des harmoniques et du fondamental qui
sont différents. C'est ce que l'on nomme le timbre.
C'est ainsi que l'on peut distinguer 2 instruments jouant la même note.
2°) Comment définir le timbre d'un instrument ?
Le timbre caractérise le son joué par un instrument de musique. C'est la combinaison de l'amplitude de
chaque composante harmonique (potentiellement une infinité) qui permet de distinguer 2 instruments.
III°) Élément d'acoustique musicale
Cette partie a pour but de comprendre la structure de la musique occidentale. Vous allez chercher à établir le
lien entre les fréquences des notes. Pour cela nous allons utiliser un clavier de piano virtuel assez complet.
Les notes de musique
Dans la musique occidentale, on sépare le son en octaves. Chaque octave est composée de 12 notes dont 7 sont
fondamentales : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La et Si (plus Do♯, Ré♯, Fa♯, Sol♯ et La♯ soit au total 12 notes).
Dans une octave, chaque note est séparée de la suivante par ½ ton.
On appelle ½ ton diatonique, le demi-ton placé entre deux notes de noms différents, exemple : Do♯ et Ré.
On appelle ½ ton chromatique, le demi-ton placé entre deux notes de même nom, exemple : Do et Do♯.
Et donc nous avons la relation suivante :
1 ton = ½ ton chromatique + ½ ton diatonique
Pour 2 notes identiques appartenant à 2 octaves consécutives, la fréquence de l'une vaut le double de l'autre. (Ce qui est
une autre définition de l'octave)
Pour distinguer deux notes de même nom dans deux octaves différentes, on numérote les octaves et donne ce numéro
aux notes correspondantes : exemple, le La3 a une fréquence de 440 Hz et appartient à l'octave n°3.
Dans la gamme tempérée, la formule permettant de mesurer la fréquence d'une note par rapport à une note de départ est :
f n= f 0 × 2
n
12
. Avec n le nombre de demi-tons au-dessus de la note de départ f0.
On s'aperçoit que la fréquence croît de manière géométrique par rapport à la note.
Wikipédia modifié
Étude de la guitare
Ci-dessous est représenté la composition d'une guitare classique.
La position des notes sur le manche ainsi que les octaves correspondantes sont données ci-dessous :
Petite corde
1ère corde
Grosse corde
6 ième corde
Cordes à vide
Cases
- Vérifier que la guitare est bien accordée. Pour cela repérer la note La3 appartenant à la 3ième octave ainsi que
la corde correspondante et la case sur la guitare.
On peut prendre la 1ère corde et mettre son doigts sur la 5ième case (note La3).
1°) Cette note sert de référence pour accorder les instruments. Donner la fréquence de cette note.
(Voir tableau placé à la fin)
Cette note est à f = 440 Hz.
2°) Expliquez comment vous feriez pour accorder cette corde avec un diapason (méthode à l'oreille).
Même question mais avec un logiciel comme Winoscillo.
On recherche l’unisson entre le diapason et la corde de guitare. (Pas forcement facile quand on est pas
musicien.
Avec winoscillo, il suffit de de ''gratter'' la corde en mettant son doigts sur la 5ième case de mettre le
micro devant et de mesurer avec les curseurs la fréquence du fondamental.
Si la corde n'est pas accordées, il suffit de tourner la clef correspondante pour faire varier la fréquence
afin d'arriver à 440 Hz.
3°) Expliquer une méthode pour accorder les autres cordes
Après l'étape précédente, la première corde est accordée. Donc si on la joue à vide, la note sera un Mi3.
Or la corde juste en dessous possède également un Mi3 en 5ième case.
Pour accorder alors cette seconde corde, il suffit de jouer la première corde à vide et de jouer quasi en
même temps la seconde avec un doigt sur la 5ième case. Ou tourne la clef de la seconde corde pour que
les sons soit identiques. Quand c'est le cas, la 2ième corde est accordée.
Après l'étape précédente, la 2ième corde est accordée. Donc si on la joue à vide, la note sera un Si2.
Or la corde juste en dessous possède également un Si2 en 4ième case. Il suffit de refaire le même procédé.
(Pour voir l'accordage d'une guitare et encore)
4°) Vérifier que la hauteur (fréquence du fondamentale) double pour des notes identiques appartenant à des
octaves consécutives. Compléter le tableau suivant :
On joue successivement les notes des cases ci-dessous :
Notes
Do1
Do2
Do3
Do4
Hauteur (Hz)
(fréquence du fondamental)
65
132
261
524
On voit aisément que d'une octave à une autre il y a un rapport 2.
n
12
5°) Vérifier que la formule donnant les fréquences des notes f n = f 0 × 2 est valable pour cette guitare.
Pour cela, vous mesurerez la hauteur (fréquence) de notes consécutives pour une même corde et vous
compléterez le tableau ci-dessous :
On joue successivement les notes des cases ci-dessous :
Notes
Do3
Ré3
Mi3
Fa3
Sol3
fn (Hz)
261
293
331
346
393
log(fn)
2,42
2,47
2,52
2,54
2,59
6°) Tracer log(fn) en fonction de n sous Régressi ou Excel.
Entre les note du tableau précédent il y a 2 demi-tons sauf entre Mi et Fa, il y a un seul demi-ton.
Nous obtenons :
On voit directement qu'il y a une relation affine entre log(fn) et n. On peut donc écrire que
log(fn) = a.n + b
Avec a est le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine.
7°) Pourquoi avoir choisi de représenter log(fn) en fonction de n ?
La relation à vérifier expérimentalement est f n = f 0 × 2
n
expression nous avons : log ( f n ) = log( f 0 × 2 12 )
n
12
et si nous prenons le logarithme de cette
ce qui s'écrit en utilisant les relations du logarithme.
n
12
log ( f n ) = log ( f 0 ) + log ( 2 ) soit encore log ( f n ) = log( f 0 ) +n ×
log ( 2)
=a.n+b
12
log( 2)
≈ 0,025 et b = log( f 0 ) .
12
Donc tracer log ( f n ) en fonction de n doit permettre d'avoir une droite. Or c'est exactement ce que l'on a
Ce qui est une relation affine ou le coefficient directeur vaut a =
n
donc la relation f n = f 0 × 2 12 est vérifiée.
8°) Faire calculer au logiciel le coefficient directeur (ou le calculer vous même) est-il en accord avec la
théorie ?
Le logiciel donne a = 0,0252 ce qui est tout à fait en accord avec la théorie.
IV°) Accorder un instrument de musique : notion de battement battements
Lors de l'utilisation répété d'un instrument, les cordes peuvent se détendre ce qui à pour conséquence le
glissement en fréquence du fondamentale pour chaque corde. Il faut donc de temps en temps accorder son
instrument en tournant des clés.
Au bureau se trouve 2 hauts parleur qui simulent 2 instruments de musique. Un des instrument joue la note La3,
l'autre instrument est désaccordé, c'est à dire qu'il joue la même note mais avec une fréquence légèrement
décalée..
1°) Écouter le son de ces 2 instruments. Qu'entendez-vous ?
On entend des 'va et vient' dans l'écoute. Ce sont des battements.
2°) Réaliser une étude temporelle du signal sonore, que constatez-vous ?
Voici ce que l'on obtient :
Battements
On observe donc des battements.
3°) Si l'instrument était bien accordé, quel signal devrions nous avoir ?
Vérifier votre réponse avec le haut parleur.
Quand on ramène la fréquence de l'instrument désaccordé vers la fréquence de celui accordé, on
n'entend plus les battements et on obtient ceci :
(Ici les hauts parleur utilisés diffusés une ondes sinusoïdale). On voit que les battements ont disparus.
4°) Que font les orchestres alors pour accorder leurs instruments ?
En conclusion, pour accorder un instrument de musique, il faut régler les cordes de manière à n'avoir
plus de battement avec l'instrument qui est bien accordé.
Ce qui suit n'est là que pour la culture générale.