Chapitre 6- Schéma fonctionnel et graphe de fluence

Chapitre 6 : Schéma fonctionnel et graphe de fluence
Chapitre 6- Schéma fonctionnel et graphe de fluence
6.1. Schéma fonctionnel
6.1.1. Définition
Un schéma fonctionnel est une représentation simplifiée d’un processus mis en œuvre. En
d’autres termes, c’est un graphisme qui peut intervenir des symboles élémentaires de type
sommateur, comparateur, capteur, etc.
6.1.2. Définition
Il existe quatre schémas élémentaires utilisés dans la représentation fonctionnelle des systèmes
asservis qui sont :
E1(p)
 Bloc
 Sommateur
S(p)
H(p)
S(p)
E1(p)
S(p)=E1(p)+E2(p)
+
+
E2(p)
Comparateur
S(p)
E1(p)
S(p)=E1(p)-E2(p)
+
E2(p)
S(p)
Capteur
S(p)
Figure 6.1 : Représentation des schémas élémentaires
6.1.3. Exemple
On considère le système asservi représenté par la figure 6.2.
Soit S ( p )  H ( p ) E ( p )
Maîtrise d’Electronique
51
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X3(p)
H4(p)
E2(p)
E(p)
X4(p)
S(p)
H2(p)
+
H1(p)
+
+
X2(p)
X1(p)
-
H3(p)
Figure 6.2 : Exemple de schéma fonctionnel
X 1 ( p )  E ( p )  H 3 ( p ).S ( p )
X 2 ( p )  H 1 ( p). X 1 ( p)
X 3 ( p )  H 4 ( p ).E ( p )
X 4 ( p)  X 2 ( p)  X 3 ( p)
X 5 ( p )  H 2 ( p ). X 4 ( p )
6.2. Réduction du schéma fonctionnel
Simplifier un schéma ou le réduire revient à lui faire des transformations pour mettre en
évidence la fonction de transfert. Pour ce faire, nous utilisons un certain nombre de règles
élémentaires qui sont :
6.2.1. Règle 1 : Bloc en cascade (en série)
E(p)
X(p)
H1
H2
S(p)
E(p)
H
S(p)
Figure 6.3 : Réduction de deux blocs en série
S  H 2 .X
S  H 1 H 2 .E
H  H 1 .H 2
X  H 1 .E
6.2.2. Règle 2 : Bloc en parallèle
H1
E(p)
+
S(p)
E(p)
H1+H2
S(p)
+
H2
Figure 6.4 : Réduction de deux blocs en parallèle
S  H 1 E  H 2 .E  ( H 1  H 2 ).E
Maîtrise d’Electronique
52
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6.2.3. Règle 3 : Formule de Black (réduction de boucle)
H1
S(p)
E(p)
E(p)
+
-
1
1  H 1 .H 2
S(p)
H2
Figure 6.5 : Réduction d’un schéma en boucle
X  E  H 2 .S
S  H 1 ( E  H 2 .S )  S (1  H 1 .H 2 )  H 1 .E , soit H 
S  H 1 .X
H1
1  H 1 .H 12
H représente la fonction de transfert de la boucle H1H2.
6.2.4. Règle 4 : Transformation d’un comparateur en sommateur
E1(p)
S(p)
E1(p)
+
S(p)
+
-
+
E2(p)
-1
E2(p)
Figure 6.6 : Transformation d’un comparateur en sommateur
6.2.5. Règle 5 : Déplacement d’un sommateur
6.2.5.1. Déplacement d’un bloc d’aval en amont
Ce type de déplacement se traduit par l’ajout d’un bloc fonctionnel de fonction de transfert égale
à -1 à l’entrée du sommateur qui prend la place du comparateur comme le montre la figure 6.7.
S(p)
E1(p)
H(p)
E1(p) +
+
-
H(p)
S(p)
+
E2(p)
1/H
E2(p)
Figure 6.7 : Déplacement d’un bloc d’aval en amont du comparateur
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6.2.5.2. Déplacement d’un bloc d’amont en aval
Par un raisonnement analogue au cas précédent on obtient :
E1(p)
+
H(p)
E1(p)
S(p)
H(p)
+
S(p)
+
+
E2(p)
H
E2(p)
Figure 6.8 : Déplacement d’un bloc d’aval en amont du comparateur
6.2.6. Règle 6 : Déplacement d’un capteur
6.2.6.1. Déplacement d’un bloc d’aval en amont
E(p)
H(p)
S(p)
E(p)
S(p)
H(p)
S(p)
H(p)
Figure 6.9 : Déplacement d’un bloc d’aval en amont du capteur
6.2.6.2. Déplacement d’un bloc d’amont en aval
E(p)
H(p)
S(p)
E(p)
S(p)
H(p)
X=E
1/H(p)
X=E
Figure 6.10 : Déplacement d’un bloc d’amont en aval du capteur
6.2.7. Règle 7 : Permutation des capteurs

 S(p)
X

Y
Y
Figure 6.11 : Permutation des capteurs
6.2.8. Règle 8 : Permutation des sommateurs


E(p)
+
S(p)
+
+
X1(p)
E(p)
+

X

+
S(p)
+
+
X2(p)
 S(p)
X2(p)
+
X1(p)
Figure 6.12 : Permutation des sommateurs
Maîtrise d’Electronique
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6.3. Exemples
6.3.1. Exemple 1
On considère le système asservi représenté par le schéma fonctionnel suivant :
H4
E
+
H1
+
-
+
H2
S
H3
Figure 6.13 : Exemple de réduction du schéma fonctionnel
On se propose de retrouver l’expression de la fonction de transfert du système en utilisant les
règles de réduction fonctionnelle. On effectue les trois transformations suivantes :
 Déplacer le sommateur d’aval en amont de H1.
1/H1
H4
E
+
+
-
+
H1
H2
S
H3
Figure 6.14 : 1ère transformation
 Associer en cascade le comparateur/sommateur
 Permuter les sommateurs
H4/H
E
1
+
+
H1 H
+
S
+
-H3
Figure 6.15 : 2ère transformation
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On obtient ainsi la fonction de transfert du système par simple calcul.
E
H 2 ( H1  H 4 ) S
1  H1 H 2 H 3
E
S
H1H2/ 1+H1
HH
1+H4/H1
Figure 6.16 : Calcule de la fonction de transfert
6.3.2. Exemple 2
On considère le montage de la figure 6.17 dont on cherche son schéma fonctionnel.
R
i1
e(t)
i1
R
i2
v1
i2
v2
C
R
i3
C
s(t)
C
Figure 6.17 : 2ème exemple d’un système asservi
En passant par la transformée le Laplace, on obtient les expressions suivantes :
I  I3
E  V1
I1 
V2  1
R
CP
I  I2
V S
V1  1
I3  2
CP
R
I3
V1  V2
I2 
S
R
CP
Ces expressions nous conduisent à la représentation du schéma fonctionnel représentée par la
figure 6.18
I2
E
+
1/R
I1
+
-
-
I3
1/CP
V1
I2
+
1/R
-
+
-
1/CP
I3
V2
+
1/R
S
V2
V1
Figure 6.18 : Représentation du système en utilisant les blocs élémentaires
On rappelle que :
E
+
H2
H1
S
E
-
+
H2
H1
S
1/H2
Figure 6.19 : Exemple de déplacement d’un capteur
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1/CP
S
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On reprend le schéma de la figure 6.18 auquel, on va effectuer des transformations élémentaires
en vu de le réduire comme le montre la figure 6.20.
I2
E
+
I1
1/R
+
-
I3
-
1/CP
V1
I2
+
1/R
+
-
-
1/CP
I3
V2
+
1/CP
1/R
1/CP
S
S
V2
V1
1/R
CP
E
+
-
1/R
1/CP
+
-
+
1/R
+
-
-
1/CP
+
S
CP
E
+
I1
1/R
-
1/CP
+
-
+
1/R
+
-
-
1/1+RCP
1/CP
1+RCP
E
+
1/R
I1
+
-
-
1/CP
+
1/CP(2+RCP)
1/R
S
1+RCP
CP(2+RCP)
E
+
1/R
I1
-
+
-
1/CP
+
1/CP(2+RCP)
1/R
S
1+RCP
CP(2+RCP)
E
+
1/R
-
+
1/CP
1/1+CP(2+RCP)
S
1+CP(2+RCP)
Figure 6.20 : Réduction du schéma fonctionnel
On poursuit ce raisonnement jusqu’à l’obtention de la fonction de transfert
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S
S
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6.2. Graphe de transfert (graphe de fluence)
Les graphes de fluence traduisent l’ensemble des relations fonctionnelles entre les variables
mises en évidence dans le système étudié. Ils ont pour but de simplifier l’écriture et la mise en
équation des processus lorsque le nombre de variables mises en œuvre augmente.
6.2.1. Définitions

Un graphe de fluence est un graphe orienté ou une application d’un ensemble € des
nœuds sur l’ensemble des parties de €.
Un arc est un lien fonctionnel qui lie les variables attachées à x et à y. On associe à
chaque arc une transmittance.
Une branche est un arc orienté et pondéré reliant deux nœuds.
Un nœud source est nœud qui n’est extrémité d’aucun arc.
Un nœud puit est un nœud qui n’est origine d’aucun arc.




6.2.2. Exemples
 Reprenons l’exemple 2 traitée précédemment et représentons le graphe de fluence d’un tel
système.
1/CP
E
1/R
1/CP
1/CP
1/R
1/R
S
I1
V1
I3
V2
-1/R
-1/CP
-1/R
 Exemple 2
I2
-1/R
-1/CP
Figure 6.21 : Exemple de graphe de fluence
I  I3
E  V1
I1 
V2  1
R
CP
I1  I 2
V2  S
V1 
I3 
CP
R
I
V  V2
I2  1
S 3
R
CP
-K
b(p)
(p)
E
+
G1
+
-
+
V(p) G
2
S
G1(p
)
V(p) G2(p
)
(p)
V(p)
1
K
b(p)
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58
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Figure 6.22 : **
H3
x  h1 .e  h3 . y

h2
y  h2 . x
x'  h5 .e  h10 . y  h7 . y '
h1
h9
h4
h10
s
e
y '  h6 .x' h9 .x
s  h4 . y  h8 . y '
h6
h5
h8
h7
Figure 6.23 :
6.2.3. Réduction du graphe de fluence
Il existe deux approches de réduction :
 Soit une réduction du graphe par des règles élémentaires
 Soit par l’utilisation de la formule de Masson.
6.2.3.1. Les règles élémentaires
a
a
a+b
a.b
b
b
b
ac
a
a
c
a
ad
d
b
ab
a
ac/1-b
c
b
Figure 6.24 :
6.2.3.2. Exemple
a
b
c
a
bc
d
d
be
e
ad
bcd
be
Maîtrise d’Electronique
bcd + ad + be
59
cb
c
bc
b
ab
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cd
1

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Figure 6.24 :
6.2.3.3. Formule de Masson
La méthode globale ou la règle de Masson utilise directement la structure du graphe pour en
déduire la transmisttance entre deux nœuds.
La fonction de transfert d’un graphe de transfert est donnée par :
N
H
Où  s’exprime par :
B
B
i
i 1
i
i

  1  (1)1  Bi  (1) 2  Bi B j  (1) 3  Bi B j Bk
i

T
i, j
i , j ,k
: Somme des transmittances de toutes les boucles.
i

i
B j : Somme des produits de transmittance de boucles disjointes prises deux à
i, j

deux.
 Bi B j Bk : Somme des produits de transmittance pour les boucles disjointes prises
i , j ,k



trois à trois.
Ti : C’est la transmittance de toutes les cascades du graphe (où un cascade représente
tout chemin qui conduit d’un nœud source à un nœud puit). C’est le parcours direct de e
vers s.
 i : C’est la valeur prise par  pour la portion du graphe disjointe de la ième cascade.
N : Nombre de parcours e-s.
6.2.3.4. Exemple de réduction de graphe de transfert
Reprenons l’exemple  et calculons le fonction de transfert en utilisant la formule de Masson.
 

6
1
  5  
  1 
   2 2 2    3 3 3 
 RCP   R C P   R C P 
S T 
1
N  1, T1  3 3 3 ,  1  1 et H   1 1
E

R C P
Maîtrise d’Electronique
60
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