p111 - Les angles v2

Les angles
I Vocabulaire
1) Définition et notation
Un angle est délimité par deux demidroites de même origine.
Les deux demi-droites [Ox) et [Oy) sont
les côtés de l’angle
O est le sommet de l’angle.
Notation simplifiée : On peut noter un angle avec une seule lettre (ex : Ô) lorsqu’il n’y a
pas de risque de confusion.
2) Définition des différents types d’angles
Un angle se mesure en degré, noté °. Il existe plusieurs types d’angles. On peut les classer
comme suit :
Angle nul
Angle aigu
(entre 0° et 90°)
Angle droit
90°
Angle plat (180°)
Angle obtus
(entre 90° et 180°)
Angle plein (360°)
111
II Comment mesurer un angle ?
Pour mesure un angle, on utilise un
rapporteur.
● On met le sommet de l’angle au centre
du rapporteur
● puis un des côtés de l’angle sur un des
côtés du rapporteur.
● On démarre du Zéro se trouvant du
même côté que le premier côté de l’angle
et on va jusqu’au deuxième côté de
l’angle.
Remarque : La mesure de l’angle ne dépend pas des longueurs des côtés, on peut donc les
prolonger si nécessaire.
III Comment tracer un angle ?
On veut tracer
Placer le centre du
Faire pivoter le
Repérer la graduation
un angle tOz
rapporteur sur le
rapporteur de façon à
voulue et tracer le
de 54° et un
sommet de l’angle
aligner un ses côtés
deuxième côté de
(O ou I).
avec un des côtés de
l’angle. ([Oz ) ou [ Iu ) )
angle uIv de
l’angle.
138°. On trace
[Ot ) et [ Iv ) .
112
IV Comment reproduire un angle au compas ?
Pour reproduire
Tracer [ Au ) et
Prendre
Placer J et
, tracer un reproduire l’arc de
arc de cercle de
cercle de centre A
l’écartement IJ au
tracer [ AJ ) qui est
compas et le
aussi [ Av ) .
centre A (peu importe (avec le même
le rayon) coupant
rayon). Puis placer
reporter en pointant
l’angle
[ Au ) en I et [ Av ) en J.
en I.
le point I.
V Définitions
● On dit que deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90°
Exemple :
 = 23° et
= 67° sont complémentaires car  +
= 23° + 67° = 90°
● On dit que deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180°
Exemple :
= 115° et
= 65° sont supplémentaires car
+
= 115° + 65° = 180°
● Deux angles sont adjacents lorsque :
▲ ils ont le même sommet ;
Les angles
▲ ils ont un côté commun ;
et
sont adjacents.
▲ et ils sont situés de part et d’autre
de ce côté commun.
ATTENTION :
Pas adjacents car pas de
Pas adjacents car pas de côté Pas adjacents car du même
sommet commun.
commun.
côté du côté commun.
113
● (d) et (t) sont deux droites sécantes.
On dit que les angles (1) et (2) sont opposés par le sommet. De
même pour les angles (3) et (4).
Propriété : Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils
sont égaux.
● Les angles 3 et 6 sont alternes internes ainsi que les angles
5 et 2.
Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une
troisième droite alors elles forment des angles alternes internes
égaux.
Propriété réciproque : Si deux droites sont coupées par une
troisième en formant des angles alternes internes égaux, alors
ces deux droites sont parallèles.
● Les angles 1 et 5 sont correspondants ainsi que les angles 2
et 7 ; 3 et 8 ; 4 et 6.
Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une
troisième droite alors elles forment des angles correspondants
égaux.
Propriété réciproque : Si deux droites sont coupées par une
troisième en formant des angles correspondants égaux, alors
ces deux droites sont parallèles.
114
VI Angles inscrits dans un cercle
1) Angle rentrant et angle saillant
2) Définitions
ANB et AMB sont deux angles inscrits qui interceptent
l’arc AB (les points A, M, N et B sont sur le cercle).
est l’angle au centre associé aux angles inscrits ANB
et AMB .
Ils interceptent le même arc AB .
Propriété 1 :
L’angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre associé.
Propriété 2 :
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
VII Polygones réguliers
1) Définition
On dit qu'un polygone est régulier lorsque :
ses côtés ont la même longueur,
ses angles ont la même mesure.
2) Propriétés
Si un polygone est régulier alors il est inscriptible dans un cercle dont le centre
est appelé centre du polygone.
115
Si un polygone est inscriptible dans un cercle et a ses côtés de la même
longueur alors c'est un polygone régulier.
Si un polygone régulier a n côtés alors la mesure de chaque angle au centre
(interceptant un côté du polygone) est égale à
360
.
n
Exemples de polygones réguliers de centre O, avec leur cercle circonscrit :
n=3
Triangle
équilatéral
n=4
n=5
n=6
Carré
Pentagone
régulier
116
Hexagone
régulier
n=8
Octogone
régulier