1 Fonctions polynômes – Définition et factorisation Exercices corrigés
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1 Fonctions polynômes – Définition et factorisation Exercices corrigés
Fonctions polynômes – Définition et factorisation Exercices corrigés Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Les fonctions numériques suivantes sont-elles des fonctions polynômes ? Correction de l’exercice 1 Rappel : On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute application réels tels que : de dans pour laquelle il existe des ( désignent les coefficients du polynôme et (Remarque : Le degré d’une fonction polynôme est fonction polynôme nulle.) Soit la fonction ) désigne son degré. si tous ses coefficients sont nuls. On parle alors de définie par : est de la forme avec est donc bien une fonction polynôme (de degré 4). Soit la fonction Cette fonction est définie si et seulement si définie par : Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 est définie sur donc cette fonction n’est pas une fonction polynôme. est en fait une fonction rationnelle car elle est le quotient de la fonction polynôme (de degré 4) par une autre fonction polynôme (de degré 1). est définie ssi Soit la fonction définie par : n’est pas définie sur (en effet, par exemple, n’existe pas) donc cette fonction n’est pas une fonction polynôme. est en fait la fonction composée de la fonction polynôme par la fonction racine carrée. Remarque : On peut montrer que est définie sur : Pour cela, il convient de poser , puis d’étudier les racines et (telles que trinôme et enfin d’étudier le signe du produit désignent les solutions de et où et désignent les solutions de . et ) du où et Autres remarques : L’élève n’ayant pas abordé les résolutions d’équations du second degré à une inconnue avec calcul du discriminant peut utiliser la forme canonique du trinôme (après avoir posé ) et faire appel à l’identité remarquable afin de factoriser et d’en étudier subséquemment le signe. Par ailleurs, une autre méthode consistait à tracer la courbe représentative de la fonction et à remarquer que le signe de dépendait de . En l’occurrence si et seulement si avec et (approximations suffisantes pour mener à bien cet exercice). Soit la fonction définie par : est définie sur . Cette fonction est une fonction polynôme définie par intervalles car (d’après la première remarque ci-dessus) : o Pour o Pour Autrement dit, l’intervalle. , n’est pas une fonction polynôme car les coefficients de cette fonction changent suivant Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Déterminer le coefficient réel polynôme défini par tel que le polynôme . défini par soit factorisable par le Correction de l’exercice 2 Rappel : On appelle racine d’une fonction polynôme tout réel Le réel est une racine de la fonction polynôme polynôme de degré telle que Soit le polynôme défini par polynôme défini par tel que . (de degré ) si, et seulement si, il existe une fonction . On dit aussi que est factorisable par . dont la racine est . Ce polynôme de degré 2 est factorisable par le si et seulement si . Or, est factorisable par si et seulement si Exercice 3 (1 question) . Niveau : facile Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel , le degré de la fonction polynôme définie par : Correction de l’exercice 3 Soit la fonction polynôme Pour tout définie par : Pour que soit de degré 4, il faut en effet que soit non nul. réel, Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Par conséquent, Pour tout Pour Pour , , , est de degré 4. donc est de degré 3. donc est de degré 2. Exercice 4 (2 questions) Niveau : difficile 1- Déterminer une fonction polynôme 2- En déduire une expression de de degré 3 telle que . . Correction de l’exercice 4 Rappel : Deux fonctions polynômes non nulles sont égales si et seulement si : elles ont le même degré ; les termes de même degré ont des coefficients égaux. 1- Déterminons une fonction polynôme de degré 3 telle que Soit une fonction polynôme de degré 3. Alors, pour tout réel, Pour tout Il en résulte que, pour tout avec , , et . réels tels que . réel, on a : réel : Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 On souhaite trouver une fonction polynôme de degré 3 telle que l’on souhaite trouver une fonction définie par , c’est-à-dire que telle que : s’écrit aussi Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient : Il existe donc une infinité de fonctions polynômes toute fonction définie par : (avec de degré 3 qui satisfont ) 2- Déduisons de ce qui précède une expression de Pour tout entier naturel . Convient . non nul, Or, la première question a permis d’établir qu’il existe une fonction polynôme de degré 3 telle que donc que : C’est-à-dire : En additionnant ces égalités membre à membre, on obtient : C’est-à-dire : Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Or, Et D’où : Remarque : Il est possible de simplifier cette expression… Comme est une racine évidente du trinôme Effectuons une division du polynôme par On obtient : , est factorisable par . . . D’où : Fonctions polynômes : définition et factorisation – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6