Polynômes et fractions rationnelles

Commentaires

Transcription

Polynômes et fractions rationnelles
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 1.
Factoriser dans ℝ[] et dans ℂ[] le polynôme  = − 8 + 2 4 − 1
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2.
Soit  = 1 −  8
Factoriser  dans ℂ[], puis dans ℝ[] et enfin dans ℚ[]
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
2
Soit  = ( + 1)7 −  7 − 1. On note  =  3
1. Montrer que 1 +  = − 2
2. Montrer que  est une racine multiple de .
3. Trouver deux racines réelles évidentes de .
4. Factoriser  en facteurs irréductibles dans ℂ[] et puis dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
 ( ) =  5 +  4 +  3 +  2 +  + 1
En déduire sa factorisation dans ℂ[] et dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5.
Soit  =  7 +  6 +  5 +  4 +  3 +  2 +  + 1
1. Factoriser  dans ℂ[].
2. Factoriser  dans ℝ[].
3. Factoriser  dans ℚ[].
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme :
1 5
1
1
1
1
 ( ) =
 + 4 + 3 + 2 +  + 1
32
16
8
4
2
En déduire sa factorisation dans ℂ[] et dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7.
Soit  ∈ ℝ[] défini par
 = 4 − 3 + 2 −  + 1
1. Déterminer les racines de .
2. Factoriser  dans ℂ[], puis dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8.
Factoriser dans ℂ[], puis dans ℝ[] le polynôme
1
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
 = − 5 +  4 −  3 +  2 −  + 1
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9.
1. Soit  = − 3 +  2 −  + 1 un polynôme.
Factoriser ce polynôme dans ℝ[] et dans ℂ[].
2. Soit

 = 1 −  +  2 − ⋯ + (−1)   = ∑(−1)  
=0
Déterminer les racines réelles et complexes de .
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme
 ( ) =  6 +  4 +  2 + 1
Indication : () = 1 +  2 +  4 +  6
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11.
1
3
1
Soit  =  4 + 4  2 − 4  + 4
1
1. Montrer que 2 est une racine multiple de .
2. En déduire la factorisation de  dans ℝ[], puis dans ℂ[].
Allez à : Correction exercice 11
Exercice 12.
Soit  =  6 + 2 5 + 4 4 + 4 3 + 4 2 + 2 + 1
2
On pose  =  3
1. Montrer que  est une racine multiple de .
2. Factoriser  dans ℂ[].
3. Factoriser  dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 12
Exercice 13.
Soit  ∈ ℝ[] défini par
 =  8 + 2 6 + 3 4 + 2 2 + 1
2
1. Montrer que  =  3 est une racine multiple de .
2. En remarquant que  est un polynôme pair, donner toutes les racines de  ainsi que leur multiplicité.
3. Factoriser  dans ℂ[], puis dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 13
Exercice 14.
Soit  = 2 3 + 3 2 + 6 + 1 − 3
1. Montrer que  est une racine double de 
2. Factoriser  dans ℂ[]
Allez à : Correction exercice 14
2
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Exercice 15.
1. Déterminer les racines réelles et complexes de ( + 1)6 −  6
2. Soit  ∈ ℝ et soit  ∈ ℝ[] défini par
 = ( + 1)7 −  7 − 
Déterminer  pour que  admette une racine réelle multiple.
Allez à : Correction exercice 15
Exercice 16.
1. Le polynôme  =  4 + 3 + 1, est-il irréductible dans ℝ[] ?
2. Le polynôme  =  3 + 3 + 1, est-il irréductible dans ℝ[] ?
Allez à : Correction exercice 16
Exercice 17.
Déterminer les réels ,  et  tels que  =  5 − 2 4 − 6 3 +  2 +  +  soit factorisable par
 = ( 2 − 1)( − 3)
Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18.
Pour  ∈ ℕ, montrer que le polynôme  = ( − 1)+2 +  2+1 est divisible par  =  2 −  + 1
Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Soit
 = ( + 1) −   − 1
On pose  ≡  [6] avec  ∈ {0,1,2,3,4,5}
2
Pour quelles valeurs de ,  =  3 est-il racine de  ?
On pourra discuter selon les valeurs de .
Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20.
Déterminer le reste de la division euclidienne de ( + 1) par  2 + 1.
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21.
Quel est le reste de la division euclidienne de  =   +  + 1 par  = ( − 1)2 ?
Allez à : Correction exercice 21
Exercice 22.
Quelle est le reste de la division euclidienne de   par ( − 1)2
Allez à : Correction exercice 22
Exercice 23.
Soit  ∈ ℝ[] le reste de la division euclidienne de ( + 1) par ( − 1)2 .
Déterminer .
Allez à : Correction exercice 23
Exercice 24.
Quel est le reste de la division euclidienne de  =   +  +  par  = ( − )2 , pour  ∈ ℕ,  ≥ 2.
3
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Allez à : Correction exercice 24
Exercice 25.
Déterminer le reste dans la division euclidienne de  =  2 + 2  + 1 par  =  2 + 1
Allez à : Correction exercice 25
Exercice 26.
1. Montrer que pour tout  ∈ ℕ,  4 − 1 est divisible par  4 − 1.
2. En déduire que le polynôme  =  4+3 +  4+2 +  4+1 +  4 avec , ,  et  entiers naturels est
divisible par  =  3 +  2 +  + 1.
Allez à : Correction exercice 26
Exercice 27.
On pose () =  3 − 63 + 162
Sachant que l’une des racines de ce polynôme est le double d’une autre racine, trouver les trois racines de .
Indication : On pourra utiliser les relations entre les racines et les coefficients du polynôme.
Allez à : Correction exercice 27
Exercice 28.
Soit  =  3 +  +  un polynôme de ℂ[], on note ,  et  ses racines.
1. Calculer  =  2 + 2 +  2.
2. Calculer  =  3 + 3 +  3.
3. Calculer  =  2  + 2 +  2  +  2 + 2  +  2.
4. On pose  =  3  + 3 +  3  +  3 + 3  +  3
Calculer  en fonction de .
Allez à : Correction exercice 28
Exercice 29.
Soit  ∈ ℂ[]  =  4 − 5 3 + 9 2 − 15 + 18
On rappelle les relations entre les racines (, ,  et ) et les coefficients d’un polynôme unitaire de degré
4 :  =  4 +  3 +  2 +  + 
 +  +  +  = −
 +  +  +  +  +  = 
( ∗) {
 +  +  +  = −
 = 
1. Résoudre
+ = 5
{
 = 6
4
3
2
2. Soit  =  − 5 + 9 − 15 + 18
Ecrire le système (∗) pour ce polynôme et on appellera , ,  et  ses racines
3. Sachant que  = 6 trouver toutes les racines de 
4. En déduire la factorisation de  dans ℝ[] et ℂ[].
Allez à : Correction exercice 29
Exercice 30.
Soit  ∈ ℂ[] un polynôme tel que ( − 1) = ( − 2)()
1. Montrer que 0 et 1 sont racines de .
2. Soit  une racine de . Si  ≠ 0, montrer que  − 1 est racine. Si  ≠ 1, montrer que  + 1 est racine.
3. On suppose que  n’est pas le polynôme nul. Montrer que 0 et 1 sont les seules racines de .
4
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Indication :
S’il existe une racine  telle que ℛ() < 1 différente de 0 ( ≠ 0), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
S’il existe une racine  telle que ℛ() > 0 différente de 1 ( ≠ 1), montrer qu’il y a une infinité de
racines.
4. En déduire que  est de la forme   ( − 1) avec  ∈ ℂ[],  ∈ ℕ∗ et  ∈ ℕ∗ .
5. Quel est l’ensemble des polynômes de  ∈ ℂ[] tels que ( − 1) = ( − 2)().
Allez à : Correction exercice 30
Exercice 31.
Effectuer la division suivante les puissances croissantes de  4 +  3 − 2 + 1 par  2 +  + 1 à l’ordre 2.
Allez à : Correction exercice 31
Exercice 32. (Hors programme)
On considère le couple de polynôme à coefficients réels
 =  3 −  2 −  − 2 et  =  3 − 1
1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour calculer le (,  ).
2. Décomposer  et  en facteurs irréductibles dans ℝ[].
3. Retrouvez le résultat de la question 1.
4. Décomposer  en facteur irréductible dans ℂ[].
Allez à : Correction exercice 32
Exercice 33. (Hors programme)
Soient  =  5 +  4 − 6 3 −  2 −  + 6 et  =  4 + 2 3 −  − 2
Déterminer le  de  et  et en déduire les racines communes de  et .
Allez à : Correction exercice 33
Exercice 34. (Hors programme)
Déterminer les P.G.C.D. des polynômes
 =  5 + 2 4 +  3 −  2 − 2 − 2 et  =  4 + 3 3 + 3 2 − 2
En utilisant l’algorithme d’Euclide. En déduire les factorisations de  et  dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 34
Exercice 35. (Hors programme)
Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes  = ( − 1)2 et  =  2 + 1.
Allez à : Correction exercice 35
Exercice 36. (Hors programme)
1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômes
 = 2 4 +  3 − 2 − 1 et  = 2 4 −  3 − 3 2 +  + 1
2. En déduire les racines communes de  et .
Allez à : Correction exercice 36
Exercice 37. (Hors programme)
Soit  =  5 +  4 + 2 3 + 2 2 +  + 1
1. Calculer le PGCD de  et ′.
2. Quelles sont les racines communes à  et ′ ?
Quelles sont les racines multiples de  dans ℂ ?
3. Montrer que ( 2 + 1)2 divise .
5
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4. Factoriser  dans ℝ[].
Allez à : Correction exercice 37
Exercice 38.
Pour tout polynôme  ∈ ℝ[] on désigne par ( + 1) le polynôme obtenu en remplaçant  par  + 1
dans .
1. Existe-t-il des polynômes  ∈ ℝ[] de degré 3 tels que (0) = 1 ?
2. Si  ∈ ℝ[] est un polynôme de degré 3, quel est le degré du polynôme  ( + 1) −  () ?
3. Existe-t-il des polynômes  ∈ ℝ[] de degré trois qui vérifient :
 ( + 1) −  () =  2 − 1 et (0) = 1
(Indication : On pourra dériver le polynôme  dans l’équation ci-dessus.)
Allez à : Correction exercice 38
Exercice 39. (Hors programme)
Soit  un entier strictement positif.
1. Déterminer le pgcd des polynômes   − 1 et ( − 1) .
2. Pour  = 3 démontrer qu'il existe un couple de polynômes (, ) tel que :
( 3 − 1) + ( − 1)3  =  − 1
Donnez-en un.
Allez à : Correction exercice 39
Exercice 40. (Hors programme)
1. Déterminer le  et une identité de Bézout des polynômes  et .
 = ( 2 − 3 + 2)( 2 + 1) =  4 − 3 3 + 3 2 − 3 + 2
 = ( 2 + 3 + 2)( 2 + 1) =  4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2
2. Factoriser  et .
Allez à : Correction exercice 40
Exercice 41.
Soit
(Hors programme)
( + 1)2  + ( − 1)2  = 1 ()
1. Trouver une solution particulière 0 , 0 ∈ ℝ[] de ().
2. En déduire toutes les solutions de ().
3. Déterminer tous les polynômes  tels que  − 1 soit un multiple de ( + 1)2 et que  + 1 soit un
multiple de ( − 1)2 .
Allez à : Correction exercice 41
Exercice 42. (Hors programme)
Soient  et  deux polynômes définis par :
() =  6 −  4 −  2 + 1 et () =  4 + 2 3 − 2 − 1
Déterminer le PGCD de  et  et en déduire les racines communes de  et  ainsi que leur multiplicité.
Allez à : Correction exercice 42
Exercice 43.
Quels sont les polynômes de ℂ[] tels que ′ divise .
Allez à : Correction exercice 43
Exercice 44.
Soit () = 2 4 + 3 3 − 3 2 + 3 + 2
6
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1
On pose  =  + 
1. Montrer qu’il existe un polynôme , de degré 2 tel que () =
()
2
.
2. Calculer les racines de .
3. En déduire les racines de , puis la factorisatistion de  dans ℝ[] et dans ℂ[].
Allez à : Correction exercice 44
Exercice 45.
Soit  ∈ ℝ, on suppose que sin( ) ≠ 0.
1. Déterminer toutes les racines du polynôme


 = ∑ ( ) sin( )  

=1
2. Montrer que toutes les racines sont réelles.
Allez à : Correction exercice 45
Exercice 46.
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle dans ℝ() :
6 3 + 3 2 − 5
 ( ) =
4 − 1
Allez à : Correction exercice 46
Exercice 47.
Décomposer la fractionnelle suivante en éléments simples dans ℝ().
−1
= 2 2
 ( + 1)
Allez à : Correction exercice 47
Exercice 48.
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
4 −  + 2
 ( ) =
( − 1)( 2 − 1)
Allez à : Correction exercice 48
Exercice 49.
Décomposer en éléments simples sur ℝ les fractions rationnelles suivantes :
1.
− 2 + 2 + 1
(
)
  =
( − 1)2 ( 2 + 1)
2.
3
 ( ) =
( − 1)( + 1)
Allez à : Correction exercice 49
Exercice 50.
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :
6 3 + 3 2 − 5
(
)
  =
4 − 1
1. Dans ℝ()
2. Dans ℂ()
7
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Allez à : Correction exercice 50
Exercice 51.
Soit
3
+  + 1)( − 1)2
Décomposer  en éléments simples dans ℝ(), dans ℂ().
Allez à : Correction exercice 51
=
( 2
Exercice 52.
Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ℝ().
2
= 2
( + 1)2010
Allez à : Correction exercice 52
Exercice 53.
Décomposer la fraction rationnelle suivante en éléments simples.
8 +  + 1
= 4
 ( − 1)3
Allez à : Correction exercice 53
Exercice 54.
Décomposer la fraction suivante en éléments simples dans ℝ().
4 + 1
= 2 2
 ( +  + 1)2
Allez à : Correction exercice 54
Exercice 55.
Décomposer la fraction rationnelle suivante dans ℝ() et dans ℂ()
5
= 4
( − 1)2
Allez à : Correction exercice 55
Exercice 56.

1
1. Soit  = . Si  ∈ ℂ est une racine simple de , montrer que le coefficient de l’élément simple − est
()
.
′ ()
2. Décomposer dans ℂ() la fraction
=

 − 1
Allez à : Correction exercice 56
Exercice 57.
On considère le polynôme  =  5 −  3 +  2 − 1
1. Factoriser  dans ℝ[] et dans ℂ[]
2. Décomposer la fraction
+1

en éléments simples dans ℝ()
Allez à : Correction exercice 57
8
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
CORRECTIONS
Correction exercice 1.
Dans ℝ[]
 = −( 8 − 2 4 + 1) = −( 4 − 1)2 = −( 2 − 1)2 ( 2 + 1)2 = −( − 1)2 ( + 1)2 ( 2 + 1)2
Dans ℂ[]
 = −( − 1)2 ( + 1)2 ( −  )2 ( +  )2
Allez à : Exercice 1
Correction exercice 2.
Première méthode
() = 1 −  8 = (1 −  4 )(1 +  4 ), (1 −  4 ) se décompose facilement en
(1 − )(1 + )( − )( + ) = −( − 1)(1 + )( −  )( +  ), mais pour décomposer 1 +  4 ,
c’est beaucoup plus délicat, il faut utiliser une bonne ruse, allons-y
2
1 +  4 = 1 + 2 2 +  4 − 2 2 = (1 +  2 )2 − (√2) = (1 +  2 − √2)(1 +  2 + √2)
1 +  2 − √2 =  2 − √2 + 1 et 1 +  2 + √2 =  2 + √2 + 1 sont deux polynômes irréductibles
dans ℝ[] car leur discriminant sont négatifs. Donc la décomposition de () dans ℝ[] est :
 () = −( − 1)(1 + )( 2 + 1)( 2 − √2 + 1)( 2 + √2 + 1)
Pour la décomposition dans ℂ[] il suffit de trouver les racines complexes de  2 − √2 + 1 et  2 +
√2 + 1
2
2
Le discriminant de  2 − √2 + 1 est Δ1 = (−√2) − 4 = −2 = ( √2) , ses racines sont 1 =
√2−√2
2

=  − 4 et
2 =
√2+√2
2

= 4 .
2
2
Le discriminant de  2 + √2 + 1 est Δ1 = (√2) − 4 = −2 = ( √2) , ses racines sont 3 =
−√2−√2
2

=  −3 4 et
4 =
−√2+√2
2

=  3 4 .
() = −( − 1)(1 + )( −  )( +  ) ( −
√2−√2
) (
2
−
√2+√2
) (
2
−
−√2−√2
) (
2
−
−√2+√2
)
2
Deuxième méthode
On cherche les racines réelles et complexes de 1 −  8 = 0
 8 = 1 ⇔  = 
2
8
=

4
avec  ∈ {0,1; 2,3,4,5,6,7}


Ce qui donne 0 = 1, 1 =  4 , 2 =  2 = , 3 = 
3
2
7
4
3
4
, 4 =   = −1, 5 = 
5
4
= −
3
4
, 6 =

−
4
 = −, 7 =  = 
La décomposition dans ℂ[] est :

() = −( − 1) ( −  4 ) ( −  ) ( − 
3
4 ) (
+ 1) ( −  −
Pour la décomposition dans ℝ[], on regroupe les conjugués


3
4 ) (

+  ) ( −  − 4 )


() = −( − 1)(1 + )( −  )( +  ) ( −  − 4 ) ( −   4 ) ( −  −3 4 ) ( −  3 4 )
9
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé






() = −( − 1)(1 + )( 2 + 1) ( 2 − ( − 4 +   4 )  +  − 4   4 ) ( 2 − ( −3 4 +  3 4 ) 


+  −3 4  3 4 )

3
= −( − 1)( + 1)( 2 + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1)
4
4
√2
√2
= −( − 1)( + 1)(1 +  2 ) ( 2 − 2
 + 1) ( 2 + 2
 + 1)
2
2
= −( − 1)( + 1)(1 +  2 )( 2 − √2 + 1)( 2 + √2 + 1)
Dans ℚ[] on regroupe les deux derniers polynômes
 () = −( − 1)( + 1)(1 +  2 )( 2 + 1 − √2)( 2 + 1 + √2)
2
= −( − 1)( + 1)(1 +  2 ) (( 2 + 1)2 − (√2) )
= −( − 1)( + 1)(1 +  2 )( 4 + 1)
Allez à : Exercice 2
Correction exercice 3.
1.
4
2 2
1 √3
1  √3
1  √3
1 +  = 1 + (− +
)= +
= −( +
) = − 3 = − ( 3 ) = − 2
2
2
2
2
2
2
Ou mieux
1 +  + 2 =
3
Car  = (
1 − 3
=0
1−
3
2
3
) =  2 = 1.
2.
() = ( + 1)7 −  7 − 1 = (− 2 )7 −  6  − 1 = − 14 −  − 1 −  12  2 −  − 1 = −( 2 +  + 1) = 0
′ = 7( + 1)6 − 7 6
′ () = 7(( + 1)6 −  6 ) = 7((− 2)6 − 1) = 7( 12 − 1) = 7(1 − 1) = 0
Donc  est au moins racine double.
3. (0) = (0 + 1)7 − 07 − 1 = 17 − 1 = 0 et  (−1) = (−1 + 1)7 − (−1)7 − 1 = 0 − (−1) − 1 = 0
Donc 0 et −1 sont deux racines évidentes.
4. Le début de la formule du binôme de ( + 1)7 est  7 + 7 6 (il y a plein d’autre terme mais il est
inutile de les calculer) donc  est un polynôme de degré 6 et son coefficient dominant est 7.
D’autre part,  est racine double (au moins) donc  =  2 est aussi racine double (au moins) car  est un
polynôme à coefficients réels. 0 et −1 sont aussi racine, cela donne 6 racine (au moins), comme
° = 6 on a toutes les racines. La factorisation dans ℂ[] est :
2
 = 7( + 1)( − )2 ( − )
Dans ℝ[] :
( − )( − ) = ( − )( −  2 ) =  2 − ( +  2 ) +  3 =  2 +  + 1
Donc
2
 = 7 ( + 1) (( − )( − )) = 7( + 1)( 2 +  + 1)2
Allez à : Exercice 3
Correction exercice 4.
1 − 6
6
6
() = 1 +  +  +  +  +  = 0 ⇔ { 1 −  = 0 ⇔ {1 −  = 0 ⇔ { = 1
≠1
≠1
≠1
2
Or  6 = 1 ⇔  = 
2
6
=
Ce qui donne 0 = 1, 1 = 
3

3

3
4
5
avec  ∈ {0,1; 2,3,4,5}
= − = − 2, 2 = 
2
3
= , 3 =   = −1, 4 = 
10
4
3
=  2, 5 = 
5
3
= −
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Les 5 racines de  sont 1 = − 2, 2 = , 3 = −1, 4 =  2 et 5 = −.
La décomposition dans ℂ[] est :
() = 1 × ( +  2 )( − )( + 1)( −  2 )( + ) = ( +  2 )( − )( + 1)( −  2)( + )
La décomposition dans ℝ[] est :
() = ( + 1)( − )( −  2 )( +  2 )( + ) = ( + 1)( 2 − ( +  2 ) +  3 )( 2 + ( +  2 ) +  3 )
= ( + 1)( 2 +  + 1)( 2 −  + 1)
Allez à : Exercice 4
Correction exercice 5.
1.
 = 1 +  + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =
Pour  ≠ 1
8
Les racines de  vérifient { = 1 ⇔ { = 
≠1
{1,2,3,4,5,6,7}


1 =  4 , 2 =  2 = , 3 = 
3
4
2
8
1 − 8
1−
,  ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} ⇔  = 
≠1
, 4 =   = −1, 5 = 
5
4
3
4
= −
, 6 = 
3
2

4
, ∈
= − et 7 = 
7
4
=

−
4

Donc

 = ( −  4 ) ( −  ) ( − 
3
4 ) (
3
4 ) (
+ 1) ( −  −

+ ) ( −  − 4 )
2. On rappelle que
( −   )( −  − ) =  2 − 2 cos( ) + 1


 = ( + 1)( −  )( +  ) ( −  4 ) ( −  − 4 ) ( − 
3
4 ) (
3
4 )
− −

3
= ( + 1)( 2 + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1)
4
4
2
2
2
= ( + 1)( + 1)( − √2 + 1)( + √2 + 1)
3.
2
 = ( + 1)( 2 + 1)( 2 + 1 − √2)( 2 + 1 + √2) = ( + 1)( 2 + 1) (( 2 + 1)2 − (√2) )
= ( + 1)( 2 + 1)( 4 + 2 2 + 1 − 2 2 ) = ( + 1)( 2 + 1)( 4 + 1)
Allez à : Exercice 5
Correction exercice 6.
 6
1−( )
2 =0
 6

 2
 3
 4
 5

 ( ) = 1 + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0 ⇔
⇔ {1 − ( 2 ) = 0
1−2
2
2
2
2
2
≠2

≠
1
{
2
6

⇔ {( 2 ) = 1
≠2
 6
Or ( 2 ) = 1 ⇔  = 2
2
6
= 2

3
avec  ∈ {0,1,2,3,4,5} donc  = 2

Ce qui donne 0 = 2, 1 = 2 3 = −2 = −2 2, 2 = 2
5
3
2
3

3
= 2, 3 = 2  = −2, 4 = 2
2 2 , 5 = 2 = −2
Les 5 racines de  sont 1 = −2 2, 2 = 2, 3 = −2, 4 = 2 2 et 5 = −2. On a enlevé  = 2.
11
4
3
=
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
La décomposition dans ℂ[] est :
1
 ( ) =
× ( + 2 2 )( − 2)( + 2)( − 2 2 )( + 2)
32
= ( + 2 2 )( − 2)( + 2)( − 2 2 )( + 2)
La décomposition dans ℝ[] est :
1
( + 2)( − 2)( − 2 2 )( + 2 2 )( + 2)
 ( ) =
32
1
( + 2)( 2 − 2( +  2 ) + 4 3 )( 2 + 2( +  2) + 4 3 )
=
32
1
( + 1)( 2 + 2 + 4)( 2 − 2 + 4)
=
32
Allez à : Exercice 6
Correction exercice 7.
1.
1 − (−)5 1 +  5
=
1 − (−)
1+
 = 1 + (−) + (−)2 + (−)3 + (−)4 =
Pour  ≠ −1
Les racines vérifient
| 5 | = |−1|
| | = 1
5

=
−1
{
= 0 ⇔ {arg( 5 ) =  + 2,  ∈ ℤ ⇔ {5 arg() = (2 + 1),  ∈ ℤ
≠1
≠1
 ≠ −1
| | = 1
2+1

2 + 1
5

=

,
 ∈ {0,1,2,3,4}
{
⇔ {arg() =
⇔
{
}
,  ∈ 0,1,2,3,4
5
 ≠ −1
≠1

0 =  5 ; 1 = 
On élimine 3 = −1
2. Dans ℂ[]
3
5 ; 2
=
5
5
= −1; 3 = 


 = ( −  5 ) ( −  − 5 ) ( − 
7
5
=
3
5 ) (
−3
5 ; 4
− −
=
−
5
3
5 )
Dans ℝ[]

3
 = ( 2 − 2 cos ( ) + 1) ( 2 − 2 cos ( ) + 1)
5
5
Allez à : Exercice 7
Correction exercice 8.
2
3
4
5
 = 1 −  +  −  +  −  = 1 + (−) + (−
=
Pour  ≠ −1
)2
+ (−
)3
+ (−
)4
+ (−
)5
1 − (−)6
=
1 − (−)
1 − 6
1+
6
 = 0 ⇔ {  = 1 ⇔ { = 
 ≠ −1
∈ {0,1,2,4,5}
Car pour  = 3, 3 =   = −1
Ce polynôme admet cinq racines
2
6
 ∈ {0,1,2,3,4,5} ⇔ { = 
 ≠ −1

0 =  0 = 1; 1 =  3 ; 2 = 
Donc la factorisation dans ℂ[]
2
3 ; 4
12
=
4
3

3
 ∈ {0,1,2,3,4,5} ⇔  = 
 ≠ −1
= 2 et 5 = 
5
3
= 1

3

Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé


 = −( − 1) ( −  3 ) ( −  − 3 ) ( − 
2
3 ) (
− −
2
3 )
Le signe − vient du coefficient devant le terme de plus haut degré dans .
Et dans ℝ[]

2
 = −( − 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1)
3
3
2
2
(
)(
= −  − 1  − √3 + 1)( + √3 + 1)
Allez à : Exercice 8
Correction exercice 9.
1.  =  2 (− + 1) + (− + 1) = −( − 1)( 2 + 1) dans ℝ[]
 = −( − 1)( −  )( +  ) dans ℂ[]
2. Si  ≠ −1.
2−1
 = ∑ (−) =
=0
Les racines de  vérifie 
(+1)
1 − (−)(+1) 1 − (−)+1
=
1 − (−)
1+
= 1 et  ≠ −1.
2
2
( )+1 = 1
() = 0 ⇔ { −
⇔ {− =  +1 ,  ∈ {0,1, … , } ⇔ { = − +1 ,  ∈ {0,1, … , }
 ≠ −1
 ≠ −1
 ≠ −1
2
⇔  = − +1 ,  ∈ {1, … , }
Allez à : Exercice 9
Correction exercice 10.
Pour  2 ≠ 1
2
 ( ) = 1 +  + (
8
 () = 0 ⇔ { 2 = 1 ⇔ { = 
 ≠1
=

4 ,
2
8 ,
+ (
2 )3
1 − ( 2 )4 1 −  8
=
=
1 − 2
1 − 2
 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} ⇔ { = 
 ≠ ±1

4 ,
 ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7} ⇔ 
 ≠ ±1
∈ {1,2,3,5,6,7}

4
Car pour  = 0,  = 1 et pour  = 4, 
Les racines de  sont :

2 )2
2
1 =  4 ; 2 =  4 = ; 3 = 
La factorisation dans ℂ[] est :


4
3
4 ; 5
=   = −1
=
5
4

= −
3
4 ; 6
=
6
4
() = ( −  4 ) ( −  − 4 ) ( −  )( +  ) ( − 
= −  7 = 
3
4 ) (
− −
7
4
3
4 )
Et dans ℝ[] :

3
() = ( 2 − 2 cos ( )  + 1) ( 2 + 1) ( 2 − 2 cos ( )  + 1)
4
4
2
2
2
= ( − √2 + 1)( + 1)( + √2 + 1)
Allez à : Exercice 10
Correction exercice 11.
1.
1
1 1 1 3 1 1
1
1 3 1 1+1−6+4
( ) = 4 + × 2− × + =
+
− + =
=0
2
2
4 2
4 2 4 16 16 8 4
16
1
3
′ = 4 3 +  −
2
4
13

= − 4
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1
1 1 1 3 2 1 3
′ ( ) = 4 × 3 + × − = + − = 0
2
2
2 2 4 4 4 4
1
Donc 2 est au moins racine double (par conséquent racine multiple).
1 2
1
2. D’après la question précédente  est divisible par ( − 2) =  2 −  + 4
1
4
3
1
1
+ 4 2 − 4  + 4
2 −  + 4
1
4 − 3 + 4 2
3
3
2 +  + 1
1
−4 +4
1
3 − 2 + 4 
1
2 −  + 4
1
2 −  + 4
0
Par conséquent
1
1 2 2
2
=
−  + ) ( +  + 1) = ( − ) ( +  + 1)
4
2
Comme le discriminant de  2 +  + 1 est strictement négatif, il s’agit de la décomposition dans ℝ[]
Les deux racines de  2 +  + 1 sont bien connues, il s’agit de  et  2 (où alors on les recalcule), ce qui
entraine que la décomposition dans ℂ[] est
1 2
 = ( − ) ( − )( −  2 )
2
Allez à : Exercice 11
( 2
Correction exercice 12.
1.
() =  6 + 2 5 + 4 4 + 4 3 + 4 2 + 2 + 1 = 1 + 2 2 + 4 + 4 + 4 2 + 2 + 1 = 6 2 + 6 + 6
= 6( 2 +  + 1) = 0
′ = 6 5 + 10 4 + 16 3 + 12 2 + 8 + 2
′ () = 6 5 + 10 4 + 16 3 + 12 2 + 8 + 2 = 6 2 + 10 + 16 + 12 2 + 8 + 2 = 18 2 + 18 + 18
= 18( 2 +  + 1) = 0
Donc  est racine double, comme  est un polynôme à coefficients réels,  est aussi racine double.
On peut essayer de voir si  ne serait pas racine triple (mais cela ne marche pas).
2. Soit on a l’intuition de voir que  est racine (et que donc –  est aussi racine), soit on ne le voit pas et il
faut diviser  par
2
2
( − )2 ( − ) = (( − )( − )) = ( 2 +  + 1)2 =  4 +  2 + 1 + 2 3 + 2 2 + 2
=  4 + 2 3 + 3 2 + 2 + 1
 6 + 2 5 + 4 4 + 4 3 + 4 2 + 2 + 1
 6 + 2 5 + 3 4 + 2 3 +  2
 4 + 2 3 + 3 2 + 2 + 1
 4 + 2 3 + 3 2 + 2 + 1
0
 4 + 2 3 + 3 2 + 2 + 1
2 + 1
2
 = ( − )2 ( − ) ( −  )( + )
3.
 = ( 2 +  + 1)2 ( 2 + 1)
Allez à : Exercice 12
14
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Correction exercice 13.
1.
() =  8 + 2 6 + 3 4 + 2 2 + 1 =  2 + 2 + 3 + 2 2 + 1 = 3 2 + 3 + 3 = 3( 2 +  + 1) = 0
 est une racine de 
′ = 8 7 + 12 5 + 12 3 + 4
′ () = 8 7 + 12 5 + 12 3 + 4 = 8 + 12 2 + 12 + 4 = 12 2 + 12 + 12 = 12( 2 +  + 1) = 0
 est racine au moins double,  est donc une racine multiple.
2. Comme  est pair, − est aussi une racine double, ce polynôme est à coefficients réels donc  =  2 est
racine double et − = − 2 est aussi racine double, cela fait 8 racines en tout (en comptant la multiplicité
de racines), comme ce polynôme est degré 8, on les a toutes. Le coefficient dominant est 1, on en déduit
la factorisation dans ℂ[]
 = ( −  )2 ( −  2 )2 ( +  )2 ( +  2 )2
Dans ℝ[]
 = [( − )( −  2 )]2 [( + )( +  2 )]2 = [ 2 +  + 1]2 [ 2 −  + 1]2
Allez à : Exercice 13
Correction exercice 14.
1.
() = 2 3 + 3 2 + 6 + 1 + 3 = 2 + 3 2 + 6 + 1 − 3 = 3 2 + 3 + 3 = 3( 2 +  + 1) = 0
′ = 6 2 + 6 + 6
′ () = 6 2 + 6 + 6 = 6( 2 +  + 1) = 0
Donc  est une racine double de .
3
2. La somme des racines de  est − 2, si on appelle  la troisième racine on a
3
3
3
1  √3
1
 + 2 = − ⇔  = − − 2 = − − 2 (− −
) = − + √3
2
2
2
2
2
2
Donc
 = 2( − )2 ( +
1
− √3)
2
Allez à : Exercice 14
Correction exercice 15.
1.
+1 6
) =1

Il est clair que 0 n’est pas racine. Mais attention ( + 1)6 −  6 est un polynôme de degré 5
+1 6
( + 1)6 =  6 ⇔ (
) =1

2
+1
=  6 ,  ∈ {0,1,2,3,4,5}

+1
La racine « en trop » est celle qui aurait vérifié  = 1 qui n’a pas de solution, on enlève donc  = 0.
( + 1)6 =  6 ⇔ (
1+
2

1
1
=  6 ,  ∈ {1,2,3,4,5} ⇔ =  3 − 1,  ∈ {1,2,3,4,5} ⇔  =


⇔=


( 3
−

3
−1
− 1) (
−

3
,  ∈ {1,2,3,4,5}
− 1)
Les cinq racines sont
15
1

 3
−1
,  ∈ {1,2,3,4,5}
Polynômes et fractions rationnelles
 =
Pascal Lainé
−
(

3

3
−1
− 1) ( −

3
=


cos ( 3 ) − 1 +  sin ( 3 )
− 1)

2 − 2 cos ( 3 )
2. Pour que  admette une racine multiple réelle (donc au moins double),  et ′ ont une racine réelle
commune.
′ = 7( + 1)6 − 7 6
Les racines réelles et complexes de ′ vérifient ( + 1)6 −  6 = 0

On cherche les racines réelles donc sin ( 3 ) = 0 ce qui équivaut à  = 0 (mais on a éliminé ce cas) et
=3
3 =
cos() − 1
2
1
=− =−
2 − 2 cos()
4
2
1
 ademt une racine double si et seulement si  (− 2) = 0.
7
1
1
1 7
1
1
1
1
 (− ) = 0 ⇔ (− + 1) − (− ) +  = 0 ⇔ 7 + 7 +  = 0 ⇔  = −2 × 7 = − 6
2
2
2
2
2
2
2
Et alors
1
 = ( + 1)7 −  7 − 6
2
Allez à : Exercice 15
Correction exercice 16.
1. La réponse est non car les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes
de degré 2 qui n’ont pas de racines réelles. La question ne demande pas de factoriser ce polynôme.
2. Les limites de la fonction polynômiale définie par ( ) =  3 + 3 + 1 en −∞ vaut −∞ et en +∞ vaut
+∞, cette fonction est continue, donc le théorème des valeurs intermédiaires entraine qu’il existe 0 tel
que (0 ) = 0.  admet une racine réelle. Ceci dit le même raisonnement qu’au 1°) est valable aussi.
Allez à : Exercice 16
Correction exercice 17.
 =  5 − 2 4 − 6 3 +  2 +  +  est factorisable par  = ( 2 − 1)( − 3) si et seulement si −1,
1 et 3 sont racines de .
 (−1) = (−1)5 − 2 × (−1)4 − 6 × (−1)3 +  × (−1)2 +  × (−1) +  = 0
{ (1) = 15 − 2 × 14 − 6 × 13 +  × 12 +  +  = 0
(3) = 35 − 2 × 34 − 6 × 33 +  × 32 +  × 3 +  = 0
1  −  +  = −3
−1 − 2 + 6 +  −  +  = 0
⇔ {1 − 2 − 6 +  +  +  = 0
⇔ 2 {  +  +  = 7
34 (3 − 2 − 2) + 9 + 3 +  = 0
3 9 + 3 +  = 81
2 − 1 entraine que 2 = 10 donc  = 5
Et 2 + 1 entraine que 2 + 2 = 4 donc  +  = 2 : ′1
On remplace  = 5 dans 3 : 9 + 15 +  = 81 donc 9 +  = 66 : ′2
′2 − ′1 entraine que 8 = 64 donc  = 8 et donc  = 2 − 8 = −6
Finalement  =  5 − 2 4 − 6 3 + 8 2 + 5 − 6
Allez à : Exercice 17
Correction exercice 18.
 est divisible par  si et seulement si les racines de  sont aussi des racines de  .
Le discriminant de  2 −  + 1 est Δ = 1 − 4 = −3 donc les deux racines de  sont :
1 +  √3
1 =
= − 2
2
16
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 −  √3
= −
2
Remarque :  2 −  + 1 = 0 ⇔ (−)2 + (−) + 1 = 0
Donc les racines du polynôme  vérifient
− =  ou −  =  2
 (−) = (− − 1)+2 + (−)2+1 = ( 2 ) ( 2 )2 + (−)2 (−) =  2  4 −  2  = 0
2 =
Comme  est un polynôme à coefficients réels, − = − 2 est aussi racine.
On conclut que  2 −  + 1 divisise ( − 1)+2 +  2+1 .
Allez à : Exercice 18
Correction exercice 19.
 () = ( + 1) −   − 1 = (− 2 ) −   − 1 = (−1)  2 −   − 1
Si  = 6
6 () =  12 −  6 − 1 = 1 − 1 − 2 = −2 ≠ 0
Si  = 6 + 1
6+1 () = − 12+2 −  6+1 − 1 = − 2 −  − 1 = 0
Si  = 6 + 2
6+2 () =  12+4 −  6+2 − 1 =  −  2 − 1 = 2 ≠ 0
Si  = 6 + 3
6+3 () = − 12+6 −  6+3 − 1 = −1 − 1 − 1 = −3 ≠ 0
Si  = 6 + 4
6+4 () =  12+8 −  6+4 − 1 =  2 −  − 1 = 2 2 ≠ 0
Si  = 6 + 5
6+5 () = − 12+10 −  6+5 − 1 = − −  2 − 1 = 0
Allez à : Exercice 19
Correction exercice 20.
Il existe ,  ∈ ℝ[] tels que
  +  + 1 = ( − 1)2 +  (∗)
Avec ° < 2 donc il existe ,  ∈ ℝ tels que  =  + , ce qui entraine que ′ = 
Prenons  = 1
3 = (1) =  + 
On dérive (∗)
 −1 + 1 = ′( − 1)2 + ( − 1) + ′
On prend  = 1
+1= 
On en déduit que
 = 3 −  = 3 − ( + 1) = 2 − 
Et finalement
 = ( + 1) + 2 − 
Allez à : Exercice 20
Correction exercice 21.
Il existe un unique couple de polynôme (, ) ∈ ℝ[] tels que   = ( − 1)2  +  avec ° ≤ 2. Il
existe donc deux réels  et  tels que  =  + 
  = ( − 1)2  +  +  (∗)
Pour  = 1
1=+
17
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Puis on dérive (∗)
 −1 = 2( − 1) + ( − 1)2  ′ + 
Pour  = 1
=
Donc  = 1 −  et
 =  + 1 − 
Allez à : Exercice 21
Correction exercice 22.
( + 1) = ( 2 + 1) + 
Or ° < 2 et donc  =  + .
On pose  = .

 

 
√2 √2
( + 1) =  +  ⇔ (√2 ( +
)) =  +  ⇔ (√2) ( 4 ) =  +  ⇔ (√2)  4
2
2


 = (√2) sin ( )


4
=  +  ⇔ (√2) (cos ( ) +  sin ( )) =  +  ⇔ {


4
4
 = (√2) cos ( )
4

Donc




 = (√2) sin ( )  + (√2) cos ( )
4
4
Allez à : Exercice 21
Correction exercice 23.
Il existe un unique couple (,  ) de polynômes, avec ° < 2 tels que :
( + 1) = ( − 1)2  + 
Il existe  et  réels tels que  =  + 
( + 1) = ( − 1)2  +  +  (∗)
On pose  = 1
2 =  + 
On dérive (∗)
( + 1)−1 = 2( − 1) + ( − 1)2  ′ + 
On pose  = 1
2−1 = 
Donc  = 2 − 2−1
Finalement
 = 2−1  + 2 − 2−1
Allez à : Exercice 23
Correction exercice 24.
Il existe  et  tels que :
 =  +  ⇔   +  +  = ( − )2  + 
Avec ° < 2. Donc il existe  et  tels que :
  +  +  = ( − )2  +   +  (1)
En dérivant on trouve
 −1 + 1 = ( − )[2 + ( − )2 ′ ] +  (2)
On fait  =  dans (1) et dans (2).
18
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
 +  +  =   + 
 =  + 1
{
{
⇔
−1 + 1 = 
 =  +  +  − (−1 + 1) = −( − 1) + 
Donc
 = ( + 1) − ( − 1) + 
Allez à : Exercice 24
Correction exercice 25.
Il existe  et  tels que  =  +  et ° < ° = 2 donc degré de  est inférieur ou égal à 1 on a
alors  =  +  où  et  sont des réels.
( ) = ( ) ( ) + ( ) ⇔  2 + 2  + 1 =  +  car ( ) =  2 + 1 = 0
Si  = 2  2 + 2  + 1 =  +  ⇔  4 + 2 2 + 1 =  +  ⇔ 1 + 2(−1) + 1 =  +  ⇔
=0
{
 = 2 + 2(−1)
Donc  = 2 + 2(−1)
Si  = 2 + 1
 2 + 2  + 1 =  +  ⇔  4+2 + 2 2+1 + 1 =  +  ⇔ −1 + 2(−1)  + 1 =  + 
 = 2(−1)
⇔{
=0
Donc  = 2(−1) 
Allez à : Exercice 25
Correction exercice 26.
1. Les quatre racines de  4 − 1 = 0, c’est-à-dire {1, , −1, −} vérifie  4 = 1 donc
( 4 ) − 1 = 1 − 1 = 0 donc ces racines sont des racines de  4 − 1, on peut mettre  4 − 1 en
facteur dans ce polynôme.
2.
Première méthode :
D’après la première question il existe  ,  ,  et  tels que :
 4 − 1 =  ( 4 − 1) ⇔  4 =  ( 4 − 1) + 1
 4 − 1 =  ( 4 − 1) ⇔  4 =  ( 4 − 1) + 1
 4 − 1 =  ( 4 − 1) ⇔  4 =  ( 4 − 1) + 1
 4 − 1 =  ( 4 − 1) ⇔  4 =  ( 4 − 1) + 1
Donc
 =  4+3 +  4+2 +  4+1 +  4 =  4  3 +  4  2 +  4  +  4
= ( ( 4 − 1) + 1) 3 + ( ( 4 − 1) + 1) 2 + ( ( 4 − 1) + 1) +  ( 4 − 1)
+ 1 = ( 4 − 1)[  3 +   2 +   +  ] +  3 +  2 +  + 1
= ( − 1)( 3 +  2 +  + 1)[  3 +   2 +   +  ] +  3 +  2 +  + 1
= ( 3 +  2 +  + 1)(( − 1)(  3 +   2 +   +  ) + 1)
Deuxième méthode :  4 − 1 ≡ 0 [ 4 − 1] ⇔  4 ≡ 1 [ 4 − 1]
Donc
 4+3 +  4+2 +  4+1 +  4 =  4  3 +  4  2 +  4  +  4
≡ 1 ×  3 + 1 ×  2 + 1 ×  + 1 [ 4 − 1] ≡  3 +  2 +  + 1 [ 4 − 1]
Donc il existe  tel que
 4+3 +  4+2 +  4+1 +  4 = ( 4 − 1) +  3 +  2 +  + 1
= ( 3 +  2 +  + 1)(( − 1) + 1)
Allez à : Exercice 26
Correction exercice 27.
Les trois racines de  sont , 2 et , les relations entre les racines et les coefficients de  donnent
19
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
3 +  = 0
 = −3
 + 2 +  = 0
 = −3
2
2
{ × 2 +  + 2 = −63 ⇔ {2 + 3 = −63 ⇔ {2 + 3 (−3 ) = −63 ⇔ { −7 2 = −63
 × 2 ×  = −162
2 2  = −162
2 2 (−3 ) = −162
−6 3 = −162
 = −3
 = −3
 = −9
⇔ { 2 = 9 ⇔ {
⇔{
=3
=3
 3 = 27
Les trois racines de  sont 3, 6 et −9
Allez à : Exercice 27
Correction exercice 28.
1. On rappelle que  +  +  = 0,  +  +  =  et  = −
( +  +  )2 =  2 + 2 +  2 + 2( +  + )
Donc
 = 02 − 2 = −2
2.  3 +  +  = 0 entraine que  3 = − − , idem pour  et .
 = − −  −  −  −  −  = −( +  +  ) − 3 = −3
3.
 =  ( + ) + ( +  ) +  ( +  ) = (− ) + (−) +  (− ) = −3 = 3
4.
 =  3  + 3 +  3  +  3 + 3  +  3 = ( 2 + 2 ) + ( 2 +  2 ) + (2 +  2)
= (−2 −  2 ) + (−2 − 2 ) +  (−2 −  2 )
= −2( +  +  ) −  2 − 2  −  2  = −22 −  ( +  +  )
= −22 − () × 0 = −22
Allez à : Exercice 28
Correction exercice 29.
1. Première méthode
 et  sont les deux racines du polynôme  2 − 5 + 6
Le discriminant vaut Δ = 1 et les racines sont 2 et 3
Seconde méthode
 = 5−
2
(
)
Donc  = 6 ⇔  5 −  = 6 ⇔ 5 −  = 6 ⇔ 0 =  2 − 5 + 6 = 0
Donc  = 2 ou  = 3
Si  = 2 alors  = 5 − 2 = 3 et si  = 3 alors  = 5 − 3 = 2, donc les solutions sont 2 et 3.
2. Le système (∗) devient
+++ =5
 +  +  +  +  +  = 9
{
 +  +  +  = 15
 = 18
3.
20
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
+++ = 5
+++ =5
6 +  +  +  +  +  = 9
 +  +  +  +  = 3
{
⇔{
6 + 6 +  +  = 15
6 + 6 +  +  = 15
6 = 18
 = 3
+++ = 5
+++ =5
1
 +  +  +  + 3 = 3
2  +  +  +  = 0
⇔{
⇔ {
3 2 + 2 +  +  = 5
6 + 6 + 3 + 3 = 15
4
 = 3
 = 3
+++ =5
+++ =5
1
1
2
2  +  +  +  = 0
 +  +  +  = 0
{
⇔
⇔ {
3 − 1
3
+ =0
 = −
4

 = 3
 = 3
4

+

=
5
1
+ =5
1
+ =5
0=0
2 − +  −  +  = 0
2
⇔ {
⇔ {  = − ⇔ {  = ∓√3
3
3
 = −
 = ±√3
2
4
4  = ±√3
− = 3
Comme  +  = 5 et  = 6 alors  et  valent 2 et 3
Les 4 racines sont 2, 3,  √3 et − √3
4. Dans ℂ[]
 = ( − 2)( − 3)( − √3)( + √3)
Dans ℝ[]
 = ( − 2)( − 3)( 2 + 3)
Allez à : Exercice 29
Correction exercice 30.
1. 0 × (−1) = (0 − 2)(0) ⇔ 0 = −2(0) ⇔  (0) = 0
1 × (0) = (1 − 2)(1) ⇔  (0) = − (1) ⇔ 0 = (1)
Donc 0 et 1 sont des racines de .
2. Soit  ≠ 0 tel que () = 0.  ( − 1) = ( − 2)() ⇔  ( − 1) = 0 ⇔ ( − 1) = 0
 − 1 est une racine de .
Soit  ≠ 1 tel que () = 0.
( + 1)( + 1 − 1) = ( + 1 − 2) ( + 1) ⇔ ( + 1) () = ( − 1)( + 1) ⇔ 0
= ( − 1)( + 1)
Donc ( + 1) = 0,  + 1 est une racine de .
3. Supposons que  admette une racine  telle que ℛ () < 1 différente de 0 alors  − 1 est racine,  − 1
est différent de 0, donc  − 2 est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout  ∈ ℕ,  −  est
racine de , ce qui voudrait dire que  admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet
un nombre fini de solutions.
Supposons que  admette une racine  telle que ℛ () > 1 différente de 1 alors  + 1 est racine,  + 1
est différent de 1, donc  + 2 est aussi racine, on en déduit aisément que pour tout  ∈ ℕ,  +  est
racine de , ce qui voudrait dire que  admettrait une infinité de solution or un polynôme non nul admet
un nombre fini de solutions.
0 et 1 sont les deux seules racines de  si  n’est pas le polynôme nul.
4. Si  n’est pas le polynôme nul, comme 0 et 1 sont les seules racines de  il existe  ≠ 0 tels que
 =   ( − 1) , et si  = 0 alors  = 0 ×   ( − 1) (c’est-à-dire que  = 0).
5. Si  vérifie  ( − 1) = ( − 2)() alors  est de la forme  =   ( − 1) , il faut étudier la
réciproque, c’est-à-dire chercher parmi ces polynômes lesquels sont effectivement solution.
On remplace  =   ( − 1) dans  ( − 1) = ( − 2)(), on trouve que :
( − 1) ( − 2) = ( − 2)  ( − 1)
21
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Les puissances en  − 2 sont les mêmes donc  = 1.
Les puissances en  − 1 sont les mêmes donc  =  = 1
On vérifie qu’alors les puissances en  sont les mêmes, finalement
 = ( − 1)
Allez à : Exercice 30
Correction exercice 31.
1 − 2
+ 3 + 4
1 +  + 2
−3 −  2 +  3 +  4
−3 − 3 2 − 3 3
2 2 + 4 3 +  4
2 2 + 2 3 + 2 4
2 3 −  4
1 +  + 2
1 − 3 + 2 2
1 − 2 +  3 +  4 = (1 +  +  2 )(1 − 3 +  2 ) +  3 (2 − )
Allez à : Exercice 31
Correction exercice 32.
1.
3 − 2 −  − 2
3
−1
− 2 −  − 1
3 − 1
1
 3 −  2 −  − 2 = ( 3 − 1) × 1 + (− 2 −  − 1)
3
−1
3 + 2 + 
− 2 −  − 1
− 2 −  − 1
0
2 +  + 1
−1
 3 − 1 = ( 2 +  + 1)( − 1)
− 2 −  − 1
(,  ) =
= 2 +  + 1
−1
2.  2 +  + 1 est un diviseur de  (et de  bien sur) donc on peut mettre  2 +  + 1 en facteur dans .
3 − 2 −  − 2
3 + 2 + 
−2 2 − 2 − 2
−2 2 − 2 − 2
0
2 +  + 1
−2
Comme  2 +  + 1 est irréductible dans ℝ[], la factorisation de  est :
 = ( − 2)( 2 +  + 1)
Et il est évident d’après la deuxième division de l’algorithme d’Euclidienne
 = ( − 1)( 2 +  + 1)
3. Il est alors clair que
22
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
(,  ) =  2 +  + 1
2
4. Les deux racines complexes de  2 +  + 1 sont  =  3 et  =  2 = 
Donc
 = ( − 2)( − )( −  2 )
Allez à : Exercice 32
4
3
Correction exercice 33.
 5 +  4 − 6 3 −  2 −  + 6
 5 + 2 4
−  2 − 2
4
3
− − 6
+ +6
4
3
− − 2
++2
3
−4
+4
 4 + 2 3 −  − 2
−1
On peut « éliminer » le −4 dans −4 3 + 4
 4 + 2 3
4
2 3
2 3
−−2
−
−2
−2
0
3 − 1
+2
Donc le  de  et  est
−4 3 + 4
= 3 − 1
−4
Les racines communes de  et  sont celles de  3 − 1, c’est-à-dire 1,  et  2.
Allez à : Exercice 33
=
Correction exercice 34.
 5 + 2 4 + 2 3 −  2 − 2 − 2
 5 + 3 4 + 3 3
− 2
− 4 −  3 −  2
−2
4
3
2
− − 3 − 3
+2
2 3 + 2 2
−4
 4 + 3 3 + 3 2
−2
4
3
 +
− 2
2 3 + 3 2 + 2 − 2
2 3 + 2 2
−4
2
 + 2 + 2
 4 + 3 3 + 3 2 − 2
−1
2 3 + 2 2 − 4
1
+1
2
2 3 + 2 2
− 4  2 + 2 + 2
2 3 + 4 2 + 4
2
2
−2 − 4 − 4
−2 2 − 4 − 4
0
Le P.G.C.D. est le dernier reste non nul unitaire donc  2 + 2 + 2
 et  sont divisible par  2 + 2 + 2 (qui n’a pas de racine réelle)
 2 + 2 + 2
 5 + 2 4 + 2 3 −  2 − 2 − 2
5
4
3
3 − 1
 + 2 + 2
− 2 − 2 − 2
23
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
− 2 − 2 − 2
0
Donc
 = ( 2 + 2 + 2)( 3 − 1)
Comme  3 − 1 = ( − 1)( 2 +  + 1) et que  2 +  + 1 n’a pas de racine réelle, la factorisation de 
dans ℝ[] est
 = ( − 1)( 2 + 2 + 2)( 2 +  + 1)
 4 + 3 3 + 3 2
−2
 2 + 2 + 2
4
3
2
 + 2 + 2
2 +  − 1
3 + 2
−2
3
2
 + 2 + 2
− 2 − 2 − 2
− 2 − 2 − 2
0
Donc
 = ( 2 + 2 + 2)( 2 +  − 1)
 2 +  − 1 admet deux racines réelles
−1 − √5
−1 + √5
et
2
2
1 + √5
1 − √5
 = ( 2 + 2 + 2) ( +
) ( +
)
2
2
Allez à : Exercice 34
Correction exercice 35.
 =  2 − 2 + 1
 2 − 2 + 1
2 + 1
2
+1
1
−2
 2 − 2 + 1 = 1 × ( 2 + 1) + (−2)
2 + 1
−2
1
2

−2
1
1
 2 + 1 = −2 × (− ) + 1
2
1
1
1 = ( 2 + 1) + (−2) (− ) = ( 2 + 1) + (( 2 − 2 + 1) − 1 × ( 2 + 1)) (− )
2
2
1
1
⇔ 1 = (1 + ) ( 2 + 1) + (− ) ( − 1)2
2
2
Allez à : Exercice 35
Correction exercice 36.
1.
2 4 +  3
− 2 − 1
2 4 −  3 − 3 2 +  + 1
4
3
2
2 −  − 3 +  + 1
1
3
2
2 + 3 − 3 − 2
 = 1 ×  + 2 3 + 3 2 − 3 − 2
2 4 −  3 − 3 2 +  + 1
24
2 3 + 3 2 − 3 − 2
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2 4 + 3 3 − 3 2 − 2
−4 3
+ 3 + 1
3
2
−4 − 6 + 6 + 4
6 2 − 3 − 3
−2
 = ( − 2)(2 3 + 3 2 − 3 − 2) + 6 2 − 3 − 3
2 3 + 3 2 − 3 − 2 6 2 − 3 − 3
1
2
2 3 −  2 − 
+
3
3
4 2 − 2 − 2
4 2 − 2 − 0
0
2
3
2
6 − 3 − 3 =  − ( − 2)(2 + 3 − 3 − 2) =  − ( − 2)( −  )
= −( − 2) + ( − 1)
1
1
1
1
 2 −  − = − ( − 2) + ( − 1)
2
2
6
6
1
1
2. Les racines communes de  et  sont celles de leur , c’est-à-dire celles de  2 − 2  − 2 soit
1
1 = 1 et 2 = − 2.
Allez à : Exercice 36
Correction exercice 37.
1. ′ = 5 4 + 4 3 + 6 2 + 4 + 1
5 4 + 4 3 + 6 2 + 4 + 1
1
1
 + 25
5
 5 +  4 + 2 3 + 2 2 +  + 1
4
6
4

5 + 5 4 + 5 3 + 5 2 + 5
1
5
1
5
4
6
4
4
6
4
1
24
16
24
4 + 5 3 + 5 2 + 5  + 1
 4 + 25  3 + 25  2 + 25  + 25
16
25
 3 + 25  2 + 25  + 25
16
24
16
24
8
Pour éviter les fractions on remarque que 25  3 + 25  2 + 25  + 25 = 25 (2 3 + 3 2 + 2 + 3)
5 4 + 4 3 + 6 2 + 4 + 1
15
15
5 4 + 2  3 + 5 2 + 2 
7
7
− 3 + 2
2
7
− 2 3 −
21
4
25
4
Pour éviter les fractions on remarque que
Le PGCD de  et ′ est  2 + 1.
25
4
2 +
2
7
2 − 2  −

25
4
− +1
2
=
+
25
4
4
25
4
( 2 + 1)
2 3 + 3 2 + 2 + 3
2 3
+ 2
2
3
+3
3 2
+3
0
25
21
2 + 1
2 + 3
2 3 + 3 2 + 2 + 3
5
7

−
2
4
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
2. Les racines communes à  et ′ sont  et – , les racines multiples de  sont  et – . Ce sont au moins
des racines doubles. Ce ne sont pas des racines triples car sinon  auraient 6 racines en comptant leurs
multiplicités.
3.  est divisible par ( −  )2 ( +  )2 = [( −  )( +  )]2 = [ 2 + 1]2 .
4. il reste à diviser  par ( 2 + 1)2 =  4 + 2 2 + 1 et on trouve, après calculs,  + 1, donc
 = ( 2 + 1)2 ( + 1)
Allez à : Exercice 37
Correction exercice 38.
1. Oui ! Par exemple  =  3 + 1
2. Si  =  3 +  2 +  + , avec  ≠ 0, pour qu’il soit de degré exactement 3.
 ( + 1) − () = ( + 1)3 + ( + 1)2 + ( + 1) +  −  3 −  2 −  − 
= ( 3 + 3 2 + 3 + 1) + ( 2 + 2 + 1) +  ( + 1) +  −  3 −  2 −  − 
= 3 2 + (3 + 2) +  +  + 
Le degré de ce polynôme est 2 puisque  ≠ 0
3.
(3 + ) 2 + (3 + 2 +  ) +  +  +  =  2 − 1
( + 1) −  () =  2 − 1
{
⇔{
(0) = 1
(0) = 1
1

=
1
3
1
3 = 1
=
1
3
2
3 + 2 = 0

=
−
⇔ {
⇔ 2 = −3 = −1 ⇔
2
3  +  +  = −1

=
−1
−

−

1
1
5
4
=1

=
−1
−
+
=
−
{
=1
3 2
6
{
=1
1
1
5
 = 3 − 2 −  + 1
3
2
6
Allez à : Exercice 38
Correction exercice 39.
1. ( − 1) n’a qu’une racine  = 1, or 1 est racine simple de   − 1 donc
((  − 1), ( − 1) ) =  − 1
2. D’après le théorème de Bézout il existe (, ) tels que :
( 3 − 1) + ( − 1)3  =  − 1
Cette équation équivaut à :
( 2 +  + 1) + ( 2 − 2 + 1) = 1
Car  3 − 1 = ( − 1)( 2 +  + 1) et ( − 1)3 = ( − 1)( 2 − 2 + 1)
 2 − 2 + 1
2 +  + 1
−3
2 +  + 1
1
Donc
 2 − 2 + 1 = 1 × ( 2 +  + 1) + (−3)
2 +  + 1
2
+1

1
26
−3
1
1
− −
3
3
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Donc
1
1
 2 +  + 1 = (−3) (−  − ) + 1
3
3
On en tire que :
1
1
1 = ( 2 +  + 1) − (−3) (−  − )
3
3
1
1
=  2 +  + 1 − (( 2 − 2 + 1) − 1 × ( 2 +  + 1)) (−  − )
3
3
1
1
1
1
= − (−  − ) ( 2 − 2 + 1) + (1 + (−  − )) ( 2 +  + 1)
3
3
3
3
1
1
1
2
= (  + ) ( 2 − 2 + 1) + (−  + ) ( 2 +  + 1)
3
3
3
3
Donc
1
2
=− +
3
3
Et
=
1
1
+
3
3
Allez à : Exercice 39
Correction exercice 40.
1.
 4 − 3 3 + 3 2 − 3 + 2
 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2
−6 3
− 6
 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2
1
 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 2 = ( 4 + 3 3 + 2 2 + 3 + 2 ) × 1 + (−6 3 − 6)
 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2
4
+ 2
3 3 + 2 2 + 3 + 2
3 3
+ 3
2
2
+2
−6 3 − 6
1
1
−6 − 2
1
1
 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2 = (−6 3 − 6) (−  − ) + 2 2 + 2
6
2
−6 3 − 6
−6 3 − 6
0
2 2 + 2
1
−3
1
−6 3 − 6 = (2 2 + 2) (− )
3
Donc
 ( 4 − 3 3 + 3 2 − 3 + 2,  4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2) =
On trouve une identité de Bézout de la façon suivante :
27
2 2 + 2
= 2 + 1
2
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1
1
2 2 + 2 =  4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2 + (−6 3 − 6) (−  − )
6
2
4
3
2
=  + 3 + 3 + 3 + 2
1
1
− ( 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 2 − ( 4 + 3 3 + 2 2 + 3 + 2 ) × 1) (−  − )
6
2
1
1
= ( 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2) (1 − (−  − ))
6
2
1
1
+ ( 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 2) (  + )
6
2
1
3
= ( 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2) (  + )
6
2
1
1
+ ( 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 2) (  + )
6
2
Puis il reste à diviser par 2
1
3
1
1
 2 + 1 = ( 4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2) (  + ) + ( 4 − 3 3 + 2 2 − 3 + 2) (  + )
12
4
12
4
2. En divisant  par  2 + 1, on trouve :
 =  4 − 3 3 + 3 2 − 3 + 2 = ( 2 − 3 + 2)( 2 + 1)
Il reste à factoriser  2 − 3 + 2, ce polynôme a deux racines réelles 1 et 2 donc
 = ( − 1)( − 2)( 2 + 1)
En divisant  par  2 + 1, on trouve :
 =  4 + 3 3 + 3 2 + 3 + 2 = ( 2 + 3 + 2)( 2 + 1)
Il reste à factoriser  2 + 3 + 2, ce polynôme a deux racines réelles −1 et −2 donc
 = ( + 1)( + 2)( 2 + 1)
Allez à : Exercice 40
Correction exercice 41.
1. Je vais juste écrire les résultats des divisions successives de l’algorithme d’Euclide
 2 + 2 + 1 = 1 × ( 2 − 2 + 1) + 4
1
1
 2 − 2 + 1 = (  − ) × 4 + 1
4
2
On en déduit une identité de Bézout
1
1
1
1
1 = ( − 1)2 − (  − ) × 4 = ( − 1)2 − (  − ) (( + 1)2 − 1 × ( − 1)2 )
4
2
4
2
1
1
1
1
= (−  + ) ( + 1)2 + (  + ) ( − 1)2
4
2
4
2
On note
1
1
1
1
0 = −  +
et
0 =  +
4
2
4
2
2. On a
( + 1)2  + ( − 1)2  = 1
{
( + 1)2 0 + ( − 1)2 0 = 1
En faisant la soustraction de ces deux équations
( + 1)2 ( − 0 ) + ( − 1)2 ( − 0 ) = 0 ⇔ ( + 1)2 ( − 0 ) = −( − 1)2 ( − 0 )
( + 1)2 divise −( − 1)2 ( − 0 ) comme ( + 1)2 et ( − 1)2 sont premiers entre eux (ils n’ont
aucune racine en commun), d’après le théorème de Gauss ( + 1)2 divise −( − 0 ), il existe  ∈
ℝ[] tel que
−( − 0 ) = ( + 1)2 ⇔  = 0 − ( + 1)2
On remplace dans ( + 1)2 ( − 0 ) = −( − 1)2 ( − 0 )
( + 1)2 ( − 0 ) = ( − 1)2 ( + 1)2 ⇔  − 0 = ( − 1)2  ⇔  = 0 + ( − 1)2
28
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
L’ensemble des couples ( = 0 + ( − 1)2 , 0 − ( + 1)2 ) avec  ∈ ℝ[] quelconque sont les
solutions de ().
3. On cherche les polynômes  qui sont de la forme
 − 1 = ( + 1)2 1
{
 + 1 = ( − 1)2 2
Où 1 et 2 sont deux polynômes.
En faisant la soustraction de ces deux égalités
1
1
2 = ( − 1)2 2 − ( + 1)2 1 ⇔ (− 1 ) ( + 1)2 + ( 2 ) ( − 1)2 = 1
2
2
D’après la deuxième question, il existe  ∈ ℝ[] tel que
1
− 1 = 0 + ( − 1)2
 = −20 − 2( − 1)2
{ 2
⇔{ 1
1
2 = 20 − 2( + 1)2
2 = 0 − ( + 1)2
2
Ce qui entraine que
 − 1 = ( + 1)2 (−20 − 2( − 1)2 ) ⇔  = 1 − 20 ( + 1)2 − 2( + 1)2 ( − 1)2
1
1
1
1 − 20 ( + 1) = 1 − 2 (−  + ) ( + 1) = 1 + (  − 1) ( 2 + 2 + 1)
4
2
2
1
1
1
3
= 1 +  3 +  2 +  −  2 − 2 − 1 =  3 − 
2
2
2
2
On pose aussi  = −2. Par conséquent
1
3
 =  3 −  + ( 2 − 1)2 ,  ∈ ℝ[]
2
2
Il faut faire une réciproque
1
3
 3 − 2  − 1 admet −1 comme racine double (c’est facile à vérifier) et 2 comme racine simple.
2
1
3
1
 − 1 =  3 −  − 1 +  ( 2 − 1)2 = ( + 1)2 ( − 2) +  ( + 1)2 ( − 1)2
2
2
2
1
= ( + 1)2 [ ( − 2) +  ( − 1)2 ]
2
1 3
3
 − 2  + 1 admet 1 comme racine double (c’est facile à vérifier) et −2 comme racine simple.
2
1 3 3
1
 −  + 1 +  ( 2 − 1)2 = ( − 1)2 ( + 2) +  ( + 1)2 ( − 1)2
2
2
2
1
= ( − 1)2 [ ( + 2) +  ( + 1)2 ]
2
La réciproque est vérifiée
Allez à : Exercice 41
+1=
Correction exercice 42.
6
− 4
− 2
+1
6
5
3
2
 + 2
− 2 − 
−2 5 −  4 + 2 3
+1
5
4
2
−2 − 4
+ 4 + 2
4
3
3 + 2 − 4 2 − 2 + 1
3 4 + 6 3
− 6 − 3
3
2
−4 − 4 + 4 + 4
 4 + 2 3 − 2 − 1
 2 − 2 + 3
 (,  ) =  (, −4 3 − 4 2 + 4 + 4) = (,  3 +  2 −  − 1)
 4 + 2 3
− 2 − 1
29
3 + 2 −  − 1
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4 + 3 − 2 − 
3 + 2 –  − 1
3 + 2 −  − 1
0
+1
Donc (,  ) =  3 +  2 −  − 1 =  2 ( + 1) − ( + 1) = ( 2 − 1)( + 1) = ( − 1)( + 1)2
Les racines complexes communes à  et  sont 1 de multiplicité 1 et −1 de multiplicité 2.
Allez à : Exercice 42
Correction exercice 43.
On pose ° = .
′ divise  si et seulement si il existe un polynôme  tel que :
 = ′
° =  et °′ =  − 1 ⇒ ° = 1
Donc  admet une racine complexe .
On pose  =  +  et  =    + ⋯ + 1  + 0 (avec  ≠ 0) alors ′ =   −1 + ⋯ + 1
En identifiant les coefficients dominant on trouve que :
1
 =  ⇔  =

Première méthode :
La formule de Taylor pour le polynôme  en  donne

 = ∑  ( −  ) = 0 + 1 ( −  ) + 2 ( −  )2 + ⋯ +  ( −  )
=0
Donc



−1
′ = ∑  ( −  )−1 = ∑   ( −  )−1 = ∑   ( −  )−1 = ∑( + 1)+1 ( −  )
=0
=1
=1
= 1 + 22 ( −  ) + ⋯ +  ( − 
En changeant  en  + 1.
=0
)−1
1
Comme  est un polynôme de degré 1 dont  est une racine donc  = ( −  )

On remplace ces deux expressions dans  = ′.
0 + 1 ( −  ) + 2 ( −  )2 + ⋯ +  ( −  )
= ( −  )[1 + 22 ( −  ) + ⋯ +  ( −  )−1 ]
⇔ 0 + 1 ( −  ) + 2 ( −  )2 + ⋯ +  ( −  ) + ⋯ +  ( −  )
1
2

= 1 ( −  ) + 2 ( −  )2 + ⋯ +  ( −  ) … +  ( −  )



0 = 0
0 = 0
2
1 = 1
1 = 0

⋮
⋮
⇔
⇔
+1
 = 0
 =

⋮

⋮
{ = 
{  = 
Donc
 =  ( −  )
Deuxième méthode :
1
En dérivant  = ′, et on rappelle que  ′ = 
30
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
′ =  ′′ + ′′ ⇔ ′ =
1 ′
1

 + ′′ ⇔ (1 − ) ′ = ′′ ⇔ ′ =
′′


−1
Donc
 = ′ =
1

 2 ′′
−1
En dérivant (1 − ) ′ = ′′
1
1
2

(1 − ) ′′ =  ′′′ + ′′′ = ′′ + ′′′ ⇔ (1 − ) ′′ = ′′′ ⇔ ′′ =
′′′



−2
Donc
=

2
 2 ′′ =
 3 ′′′
( − 1)( − 2)
−1
Pour tout  ∈ {0,1, … ,  − 1}. On montre par récurrence que

(1 − ) () =  (+1)

Et que

=
 +1 (+1)
( − 1)( − 2) … ( − )

On dérive (1 − ) () =  (+1)


1
 + 1 (+1)
(1 − )  (+1) =  ′ (+1) +  (+2) =  (+1) +  (+2) ⇔ (1 −
)
=  (+2)




(+1)
(+2)
⇔
=

−−1



=
 +1  (+1) =
 +1
(+2)
( − 1)( − 2) … ( − )
( − 1)( − 2) … ( − )
−−1
+1
=
 +2 (+2)
( − 1)( − 2) … ( −  )( − ( + 1))
Cette relation étant vraie au rang 0, elle est vraie pour tout  ≤  − 1.
On l’applique au rang  − 1 :
−1
=
  ()
( − 1)( − 2) … (— ( − 1))
() =  × ( − 1) × … × 2 × 1 ×  (ce qui est important c’est que c’est une constante).
Peu importe la constante, il est clair que  =   , comme  est un polynôme de degré 1, on peut écrire
ce polynôme sous la forme :
 =  ( −  )
Allez à : Exercice 43
Correction exercice 44.
1.
() 2 4 + 3 3 −  2 + 3 + 2
3
2
=
= 2 2 + 3 − 1 + + 2
2
2


 
Comme
2 = 2 + 2 +
1
1
2
⇒

+
= 2 − 2
2
2
On a
 ( )
1
1
= 2 ( 2 + 2 ) + 3 ( + ) − 1 = 2( 2 − 2) + 3 − 1 = 2 2 + 3 − 5
2



31
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
5
Les racines de  sont 1 et − 2
Donc les racines de  vérifient
1
2 + 1 = 
2 −  + 1 = 0
+ =1
ou
ou

{
⇔{
⇔{
5
5
1 5
2 + 1 = 
2 −  + 1 = 0
+ =
2
2
 2
2
Les racines de  −  + 1 = 0 sont
1
1
√3
√3
− = − 
et −  2 = + 
2
2
2
2
5
2
Et celles de  − 2  + 1 = 0 sont
On en déduit la factorisation de  dans ℝ[]
1
2
et 2
1
() = 2 ( − ) ( − 2)( 2 −  + 1)
2
Et dans ℂ[]
1
() = 2 ( − ) ( − 2)( + )( +  2 )
2
Allez à : Exercice 44
Correction exercice 45.
1. Comme sin( ) ≠ 0, ° = .





   −  − 


(
)
(
)
 = ∑ ( ) sin   = ∑ ( ) sin   = ∑ ( )




2
=1
=0

=0



=0
=0
1
1
1
1






= ∑ ( )     − ∑ ( )  −   = ∑ ( ) (  ) − ∑ ( ) ( − )




2
2
2
2
=0
=0
1
1


= (1 +   ) − (1 +  − )
2
2
Les racines  ∈ ℂ de  vérifient

1
1
1 +   




(1 +   ) − (1 +  − ) = 0 ⇔ (1 +   ) = (1 +  − ) ⇔ (
) =1
2
2
1 +  − 
⇔ ∃ ∈ {0,1, … ,  − 1},
2
2
1 +   
 ⇔ ∃ ∈ {0,1, … ,  − 1}, 1 +    =   (1 +  − )
=

1 +  − 
⇔ ∃ ∈ {0,1, … ,  − 1},    − 
⇔ ∃ ∈ {0,1, … ,  − 1},  (  −
Il faut quand même vérifier que   − 
  − 
2
  −
= 0 ⇔  2 = 
2

2

2
  − 
=
2
   − )
=
2

−1
2
 
−1
 − ≠ 0
⇔ ∃ ∈ ℤ, 2 =
∈ ℤ,  =  +  ⇔ sin( ) = 0
Ce qui n’est pas possible d’après l’énoncé.
2

+ 2 ⇔ ∃ ∈ ℤ,  =
+  ⇔ ∃


() = 0 ⇔ ∃ ∈ {0,1, … ,  − 1},  =
2
Les  racines de  sont les complexes  =
  −1
2
  −   −
2.
32

2

  − 
−1
2
  −
avec  ∈ {0,1, … ,  − 1}
Polynômes et fractions rationnelles
 =
2
 
  − 
Pascal Lainé
−1
=
2
  −

=

2

 − −  −
2

 
−
−1
2
   −
−
Donc ces complexes sont des réels.
Allez à : Exercice 45
−1
2
  

=

2
2
−
 (

2
 ( −
− −
− 1)
2
   )
1−
=

2

2
  −
−  
= 
Correction exercice 46.
6 3 + 3 2 − 5


 + 
=
+
+ 2
2
( − 1)( + 1)( + 1)  − 1  + 1  + 1
Je multiplie par  − 1 puis  = 1
6 3 + 3 2 − 5
6+3−5
]
=[
=
=1
( + 1)( 2 + 1) =1
2×2
 ( ) =
Je multiplie par  + 1 puis  = −1
6 3 + 3 2 − 5
−6 + 3 − 5
]
=[
=
=2
( − 1)( 2 + 1) =−1
−2 × 2
Je multiplie par , puis  tend vers l’infini.
6 =  +  + , donc  = 6 − 1 − 2 = 3
=0
5 = −5 +  +  donc  = 5 + 1 − 2 = 4
Donc
6 3 + 3 2 − 5
1
2
3 + 4
 ( ) =
=
+
+ 2
2
( − 1)( + 1)( + 1)  − 1  + 1  + 1
Allez à : Exercice 46
Correction exercice 47.
Il existe , ,  et  quatre réels tels que :
−1


 + 
=
+
+
 2 ( 2 + 1)   2  2 + 1
2
On multiplie par  + 1, puis  = 
−1
−1
 +  = [ 2 ]
=
=1−

−1
=
Donc  = −1 et  = 1
On multiplie par  2 , puis  = 0
−1
]
=[ 2
= −1
 + 1 =0
On multiplie par , puis  → +∞
0=+
Donc  = − = 1, finalement
−1
1
1 − + 1
=
−
+
 2 ( 2 + 1)   2  2 + 1
Allez à : Exercice 47
Correction exercice 48.
Le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, il faut diviser  4 −  + 2 par
( − 1)( 2 − 1) =  3 −  2 −  + 1
33
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4
−+2
4
3
2
 − − +
 3 +  2 − 2 + 2
3 − 2 −  + 1
2 2 −  + 1
3 − 2 −  + 1
+1
4 −  + 2
2 2 −  + 1
 ( ) =
=+1+
( − 1)( 2 − 1)
( − 1)( 2 − 1)
On pose
2 2 −  + 1
2 2 −  + 1



=
=
+
+
2
2
2
( − 1)( − 1) ( − 1) ( + 1) ( − 1)
−1 +1
2
Je multiplie par ( − 1) puis  = 1
2 2 −  + 1
2
]
=[
= =1
+1
2
=1
 ( ) =
Je multiplie par  + 1 puis  = −1
2 2 −  + 1
4
]
=[
= =1
2
( − 1)
4
=−1
Je multiplie par  puis  tend vers l’infini.
2 =  +  donc  = 1.
Donc
 ( ) =  + 1 +
1
1
1
+
+
2
( − 1)
−1 +1
Allez à : Exercice 48
Correction exercice 49.
1. Il existe , ,  et  tels que :
− 2 + 2 + 1


 + 
=
+
+ 2
2
2
2
( − 1) ( + 1)  − 1 ( − 1)
 +1
2
Je multiplie par ( − 1) , puis  = 1
− 2 + 2 + 1
2
]
=[
= =1
2
 +1
2
=1
Je multiplie par  2 + 1, puis  = 
− 2 + 2 + 1
− 2 + 2 + 1
2 + 2
2 + 2 1 + 
]
 +  = [
=
=
=
=
= −1 + 
2
2 − 2 + 1
( − 1)2
(
)

−
1

−2
−
=
Donc  = 1 et  = −1
Je multiplie par , puis  → +∞
0=+
Donc  = −1
− 2 + 2 + 1
−1
1
−1
=
+
+ 2
2
2
2
( − 1) ( + 1)  − 1 ( − 1)
 +1
Autre méthode
On trouve  = 1 et  +  = 0 comme ci-dessus.
On prend  = 0
1 = − +  +  ⇔  = 
Puis on prend  = −1
2
  − + 
−
=− + +
4×2
2 4
2
On multiplie le tout par 2 et on remplace  par 1
34
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1
1
= − + −  +  ⇔ −( +  ) +  = −1 ⇔  = −1
2
2
D’où :  = −1 et  = − = 1
−
2.
Donc  3 = ( 2 − 1) +  et
3
3 − 

2 − 1

( 2 − 1) + 

 ( ) =
=

+
( − 1)( + 1)
2 − 1
Il existe  et  des réels tels que



=
+
( − 1)( + 1)  − 1  + 1
Je multiplie par  − 1, puis  = 1

1
]
=[
=
 + 1 =1 2
Je multiplie par  + 1, puis  = −1

−1 1
]
=[
=
=
 − 1 =−1 −2 2
Donc
1
1
2
 ( ) =  +
+ 2
−1 +1
Allez à : Exercice 49
Correction exercice 50.
1.
6 3 + 3 2 − 5


 + 
=
+
+ 2
2
( − 1)( + 1)( + 1)  − 1  + 1  + 1
Je multiplie par  − 1 puis  = 1
6 3 + 3 2 − 5
6+3−5
]
=[
=
=1
( + 1)( 2 + 1) =1
2×2
 ( ) =
Je multiplie par  + 1 puis  = −1
6 3 + 3 2 − 5
−6 + 3 − 5
]
=[
=
=2
( − 1)( 2 + 1) =−1
−2 × 2
Je multiplie par , puis  tend vers l’infini.
6 =  +  + , donc  = 6 − 1 − 2 = 3
=0
5 = −5 +  +  donc  = 5 + 1 − 2 = 4
Donc
6 3 + 3 2 − 5
1
2
3 + 4
 ( ) =
=
+
+
( − 1)( + 1)( 2 + 1)  − 1  + 1  2 + 1
2. Il reste à décomposer dans ℂ[]
3 + 4
3 + 4


=
=
+
2
 + 1 ( −  )( +  )  −   + 
Je multiplie par  − , puis  = .
3 + 4
3 + 4 (3 + 4)(− ) 3
]
=[
=
=
= − 2
 +  =
2
2
2
35
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Donc
3
3
− 2 2 + 2
6 3 + 3 2 − 5
1
2
2
 ( ) =
=
+
+
+
( − 1)( + 1)( 2 + 1)  − 1  + 1  − 
+
Allez à : Exercice 50
Correction exercice 51.
3
 + 


= 2
+
+
(∗)
2
+  + 1)( − 1)
 +  + 1  − 1 ( − 1)2
On multiplie par ( − 1)2 , puis  = 1
3
]
=[ 2
=1
 +  + 1 =1
Première méthode
On multiplie par  2 +  + 1, puis  = 
3
3
3
3
1
]
 +  = [
=
= 2
=
= − = − 2 = 1 + 
2
2
( − 1) = ( − 1)
 − 2 + 1 −3

( 2
Donc  = 1 et  = 1
On prend  = 0 dans (∗)
3 =  −  +  ⇒  = −3 +  +  = −3 + 1 + 1 = −1
Et donc
3
+1
1
1
= 2
−
+
2
2
( +  + 1)( − 1)
 +  + 1  − 1 ( − 1)2
Deuxième méthode
 = 0 dans (∗)
3=−+ ⇔− =3− = 2⇔ =2+
On multiplie par , puis  → +∞
0 =  +  ⇔  = −
 = −1 dans (∗)
3
 
3
 1
3 1
3
3 3
= − +  − + ⇔ =  + (2 +  ) − + ⇔ − − 2 =  ⇔ − =  ⇔  = −1
4
2 4
4
2 4
4 4
2
2 2
Et donc
3
+1
1
1
= 2
−
+
2
2
( +  + 1)( − 1)
 +  + 1  − 1 ( − 1)2
+1
Pour la décomposition dans ℂ(), il suffit de décomposer  2 ++1, comme
 2 +  + 1 = ( − )( −  2 )
Il existe  ∈ ℂ tel que
+1
+1


=
=
+
 2 +  + 1 ( − )( −  2 )  −   −  2
On multiplie par  − , puis  = 
1
1
√3
√3
−2+ 2 + 1
+ 2
+1
+1
1
√3
2
]
=[
=
=
=
=
−

 −  2 =  −  2
2
6
 √3
1
1
√3
√3
− 2 +  2 − (− 2 −  2 )
1
√3 1
√3
−
+
+1
2
6
2
6
=
+
2 +  + 1
−
 − 2
1
√3 1
√3
− 6
+ 6
3
1
1
2
2
=
+
−
+
( 2 +  + 1)( − 1)2
−
 − 2
 − 1 ( − 1)2
36
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Allez à : Exercice 51
Correction exercice 52.
2 + 1 − 1
2 + 1
1
1
1
= 2
=
−
=
−
( + 1)2010 ( 2 + 1)2010 ( 2 + 1)2010 ( 2 + 1)2009 ( 2 + 1)2010
Allez à : Exercice 52
Correction exercice 53.
Il faut d’abord diviser le numérateur par le dénominateur.
 4 ( − 1)3 =  4 ( 3 − 3 2 + 3 − 1) =  7 − 3 6 + 3 5 −  4
8
 8 − 3 7 + 3 6 −  5
3 7 − 3 6 +  5
3 7 − 9 6 + 9 5 − 3 4
6 6 − 8 5 + 3 4
++1
 7 − 3 6 + 3 5 −  4
+3
++1
++1
 8 +  + 1 ( 7 − 3 6 + 3 5 −  4 )( + 3) + 6 6 − 8 5 + 3 4 +  + 1
=
 4 ( − 1)3
 4 ( − 1)3
6 6 − 8 5 + 3 4 +  + 1
=+3+
 4 ( − 1)3
On pose alors
6 6 − 8 5 + 3 4 +  + 1
 ( ) =
 4 ( − 1)3
0 est un pôle d’ordre 4 du dénominateur on effectue alors la division suivant les puissances croissantes
de
1 +  + 3 4 − 8 5 + 6 6 par ( − 1)3 = −1 + 3 − 3 2 +  3 à l’ordre 4 − 1 = 3
(Le 4 est le 4 de  4 )
1+
+ 3 4 − 8 5 + 6 6
1 − 3 + 3 2
− 3
4 − 3 2
+  3 + 3 4 − 8 5 + 6 6
2
4 − 12 + 12 3 − 4 4
9 2 − 11 3 + 7 4 − 8 5 + 6 6
9 2 − 27 3 + 27 4 − 9 5
16 3 − 20 4 +  5 + 6 6
16 3 − 48 4 + 48 5 − 16 6
28 4 − 47 5 + 22 6
On en tire
37
−1 + 3 − 3 2 +  3
−1 − 4 − 9 2 − 16 3
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1 +  + 3 4 − 8 5 + 6 6
= (−1 + 3 − 3 2 +  3 )(−1 − 4 − 9 2 − 16 3 ) + 28 4 − 47 5 + 22 6
6 6 − 8 5 + 3 4 +  + 1
⇔
( − 1)3
(−1 + 3 − 3 2 +  3 )(−1 − 4 − 9 2 − 16 3 ) + 28 4 − 47 5 + 22 6
=
( − 1)3
6 6 − 8 5 + 3 4 +  + 1
28 4 − 47 5 + 22 6
2
3
⇔
= −1 − 4 − 9 − 16 +
( − 1)3
( − 1)3
6
5
4
2
3
4(
6 − 8 + 3 +  + 1
−1 − 4 − 9 − 16
 28 − 47 + 22 2 )
⇔
=
+
 4 ( − 1)3
4
 4 ( − 1)3
1
4
9 16 28 − 47 + 22 2
⇔G=− 4− 3− 2−
+
( − 1)3




On pose alors
28 − 47 + 22 2



=
=
+
+
3
2
( − 1)
( − 1)3
 − 1 ( − 1)
On multiplie par ( − 1)3 , puis  = 1.
 = [28 − 47 + 22 2 ]=1 = 3
On multiplie par , puis  → +∞
22 = 
 = 0,
28 = − +  −  ⇔ −28 = −22 +  − 3 ⇔  = −33
Donc
28 − 47 + 22 2
22
53
3
=
=
+
+
( − 1)3
 − 1 ( − 1)2 ( − 1)3
Et alors
1
4
9 16
22
3
3
 = +3− 4− 3− 2−
+
−
+



  − 1 ( − 1)2 ( − 1)3
Allez à : Exercice 53
Correction exercice 54.
Le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, pas de division.
La forme de la décomposition est :
4 + 1


 + 
 + 
=
+
+
+
 2 ( 2 +  + 1)2   2  2 +  + 1 ( 2 +  + 1)2
2
On multiplie par  , puis  = 0.
4 + 1
]
=[ 2
=1
( +  + 1)2 =0
On multiplie par ( 2 +  + 1)2 , puis  = .
4 + 1
 4 + 1  + 1 − 2
]
 +  = [
=
= 2 = 2 = −1
 2 =
2


Donc  = 0 et  = −1.
Ensuite ce n’est pas simple, il manque encore 3 coefficients.
On pourrait multiplier par  puis faire tendre  vers l’infini, mais ensuite il faudra prendre deux valeurs
et bonjour les fractions pénibles, alors on va inaugurer une nouvelle technique qui sert dans des cas un
peu compliqués.
38
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4 + 1

1
 + 
−1
=
+
+
+
 2 ( 2 +  + 1)2   2  2 +  + 1 ( 2 +  + 1)2
4 + 1
1
1

 + 
⇔ 2 2
− 2+ 2
= + 2
2
2
( +  + 1)
 ( +  + 1)

  ++1
J’appelle
4 + 1
1
1
− 2+ 2
2
2
2
( +  + 1)2
 ( +  + 1)

C’est une fraction rationnelle, d’après l’unicité de sa décomposition en élément simple, qui est, d’après
=

+
la ligne ci-dessus,  +  2 ++1, on doit pouvoir, en réduisant au même dénominateur, trouver que le
dénominateur de  est ( 2 +  + 1). On y va.
4 + 1
1
1
 4 + 1 − ( 2 +  + 1)2 +  2
= 2 2
−
+
=
 ( +  + 1)2  2 ( 2 +  + 1)2
 2 ( 2 +  + 1)2
 4 +  2 + 1 − ( 4 +  2 + 1 + 2 3 + 2 2 + 2) −2 3 − 2 2 − 2)
=
= 2 2
 2 ( 2 +  + 1)2
 ( +  + 1)2
−2
=
2
( +  + 1)
On a donc
−2

 + 
= + 2
2
( +  + 1)   +  + 1
On multiplie par , puis  = 0
−2
]
=[ 2
= −2
 +  + 1 =0
On multiplie par  2 +  + 1, puis  = .
−2
−2
 +  = [ 2 ]
= 2 = −2
 =

Donc  = −2 et  = 0
Finalement
4 + 1
−2 1
−2
−1
=
+ 2+ 2
+ 2
2
2
2
 ( +  + 1)


 +  + 1 ( +  + 1)2
Allez à : Exercice 54
Correction exercice 55.
Ensuite je diviserai par 16
16 5
16 5
= 4
=
( − 1)2 ( − 1)2 ( + 1)2 ( −  )2 ( +  )2






̅
̅
=
+
+
+
+
+
+
+
 − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  −  ( −  )2  +  ( +  )2
Avec , ,  et  réels et  et  complexes.
Il est facile de trouver ,  et .
Je multiplie par ( − 1)2 , puis  = 1
16 5
16 5
]
[
]
=[
=
=1
( + 1)2 ( −  )2 ( +  )2 =1
( + 1)2 ( 2 + 1)2 =1
Je multiplie par ( + 1)2 , puis  = −1
16 5
16 5
]
]
=[
=[
= −1
( − 1)2 ( −  )2 ( +  )2 =1
( − 1)2 ( 2 + 1)2 =−1
Je multiplie par ( −  )2, puis  = 
39
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
16 5
16 5
16 5
16
]
[
]
=[
=
=
=
= −
( + 1)2 ( − 1)2 ( +  )2
( 2 − 1)2 ( +  )2
(−2)2 (2 )2 4(−4)
=1
=
 est impaire donc  (−) = −(), soit encore : − (−) = ()






̅
̅
− (−) = − (−−1 + (−−1)2 + −+1 + (−+1)2 + −− + (−−)2 + −+ + (−+)2 )






̅
̅
− (−) = +1 − (+1)2 + −1 − (−1)2 + + − (+)2 + − − (−)2
En identifiant les coefficients avec ceux de (), on a :
 = ,  = −,  = ̅ et  = − ̅
 = −, çà on le savait déjà,  = ̅ donc  est réel et  = − ̅ entraine que  est un imaginaire pur, ce
que l’on savait déjà.
 = 0 donne
 (0) = 0 = − +  +  +  +  −  − ̅ −  ̅ = − +  + ( − ̅)
Car  +  = 0 et –  −  ̅ =  −  = 0
Cela donne 0 = − +  +  ( − ̅) −  +  + 2(Im() = − +  − 2Im()
Or  =  donc Im() = 0 autrement dit  est réel.
Je multiplie par , puis je fais tendre  vers ∞.
0 =  +  +  + ̅ = 2 + 2
Donc  = −
Comme  = ,  = 1,  = −1 et  = −
On a :
16 5

1

1




= 4
=
+
+
−
−
−
−
+
2
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 −  ( −  )
 +  ( +  )2
Ceci étant vrai pour tout  ∈ ℂ\{−1,1, −,  }, je prends  = 2 .
16 × 32

1

1




=
+
+
−
−
−
−
+
(16 − 1)2 2 − 1 (2 − 1)2 2 + 1 (2 + 1)2 2 −  (2 −  )2 2 +  (2 +  )2
16 × 32
 1  (2 +  )  (2 +  )2  (2 −  )  (2 −  )2
⇔
= +1+ − −
−
−
+
152
3 9
5
52
5
52
16 × 32 4 8 4  (3 + 4 )  (3 − 4 )
⇔
=
+ −
−
+
152
3 9 5
25
25
16 × 32 20 − 12
8 8
⇔ 2
=
+ +
3 × 52
15
9 25
⇔ 16 × 32 = 8 × 15 + 8 × 25 + 8 × 9 ⇔ 2 × 32 = 15 + 25 + 9 ⇔ 30 = 15 ⇔  = 2
Donc
16 5
2
1
2
1
2

2

= 4
=
+
+
−
−
−
−
+
2
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 −  ( −  )
 +  ( +  )2
Il reste à diviser par 16 :
1
1
1
1
1

1

5
8
16
8
16
8
16
8
16
=
+
+
−
−
−
−
+
( 4 − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  −  ( −  )2  +  ( +  )2
Ensuite pour décomposer dans ℝ[] il faut réunir les conjugués.
5
( 4 − 1)2
1
1
1
1
1 1
1
16
16
)
= 8 +
+ 8 −
− (
+
2
2
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
8 − +

1
1
(
)
−
−
16 ( −  )2 ( +  )2
40
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
1
1
1
1

5
 ( +  )2 − ( −  )2
8
16
8
16
4
=
+
+
−
−
−
( 4 − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  2 + 1 16
( 2 + 1)2
1
1
1
1

5

4
8
16
8
16
=
+
+
−
− 24 −
4
2
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 + 1 16 ( + 1)2
1
1
1
1


5
16
16
4
= 8 +
+ 8 −
− 4 +
( 4 − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  2 + 1 ( 2 + 1)2
Je vais maintenant décomposer directement cette fraction dans ℝ[].
16 5
Comme dans ℂ[] je vais décomposer  = ( 4 −1)2
16 5




 + 
 + 
= 4
=
+
+
+
+ 2
+ 2
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 + 1 ( + 1)2
De la même façon, on trouve que  = 1 et  = −1
Je multiplie par ( 2 + 1)2 , puis je prends  = 
16 5
16 5
]
 +  = [ 2
=
= 4
( − 1)2 = (−1 − 1)2
Donc  = 4 et  = 0.
 est impaire donc −(−) = ()




− +  − + 
)
− (−) = − (
+
+
+
+ 2
+ 2
2
2
( + 1)2
− − 1 (− − 1)
− + 1 (− + 1)
 +1




 − 
 − 
=
−
+
−
+ 2
+ 2
2
2
 + 1 ( + 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)2
=
 = −
− (−) =  () ⇔ {
=0
=0
On savait déjà que  = − et que  = 0.
Pour l’instant on en est à :
16 5

1

1

4
= 4
=
+
+
−
+ 2
+ 2
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 + 1 ( + 1)2
Je multiplie par , puis on fait tendre  vers ∞.
0=++
Comme  = , on a  = −2.
On peut essayer  = 0 mais cela redonne  = .
Pour l’instant on en est à :
16 5

1

1
2
4
= 4
=
+
+
−
−
+
( − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  2 + 1 ( 2 + 1)2
Comme dans ℂ[], je vais prendre  = 2.
16 × 32
 1 4 8
16 × 32 4 4 8 8
16 × 32 8 8 × 34
= +1+ − −
+ 2⇔
=
−
+ +
⇔
=
+
2
2
(16 − 1)
3 9 5 5
15
3
5 9 25
152
15 9 × 25
⇔ 16 × 32 = 8 × 15 + 8 × 34 ⇔ 2 × 32 = 15 + 34 ⇔  = 2
16 5
2
1
2
1
4
4
(
)
  = 4
=
+
+
−
−
+
( − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  2 + 1 ( 2 + 1)2
On divise par 16 et voilà.
A partir de là, on peut retrouver la décomposition dans ℂ[], pour cela il suffit de décomposer
4

̅
=
+
2 + 1  −   + 
Et
41
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
4

̅

̅
=
+
+
+
2
2
2
( + 1)
( +  )2
 −   +  ( −  )
A faire.
Troisième méthode
On repart de
 ( ) =
16 5

1

1
 + 
4
=
+
+
−
+ 2
+ 2
4
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 + 1 ( + 1)2


 + 
1
1
4
=
+
+ 2
+
−
+ 2
2
2
( + 1)
( + 1)2
 − 1  + 1  + 1 ( − 1)
On va calculer
1
1
4
−
+
( − 1)2 ( + 1)2 ( 2 + 1)2
( + 1)2 ( 2 + 1)2 − ( − 1)2 ( 2 + 1)2 + 4( − 1)2 ( + 1)2
=
( − 1)2 ( + 1)2 ( 2 + 1)2
(( + 1)2 − ( − 1)2 )( 2 + 1)2 + 4 ( 2 − 1)2
=
( 2 − 1)2 ( 2 + 1)2
( 2 + 2 + 1 −  2 + 2 − 1)( 4 + 2 2 + 1) + 4( 4 − 2 2 + 1)
=
( 4 − 1)2
4( 4 + 2 2 + 1) + 4 ( 4 − 2 2 + 1) 8 ( 4 + 1)
=
=
( 4 − 1)2
( 4 − 1)2
Donc
16 5

1

1
 + 
4
= 4
=
+
+
−
+
+
( − 1)2  − 1 ( − 1)2  + 1 ( + 1)2  2 + 1 ( 2 + 1)2


 +  8 ( 4 + 1)
8( 4 + 1)
=
+
+ 2
+
⇔

−
( 4 − 1)2
( 4 − 1)2
−1 +1  +1


 + 
16 5
8( 4 + 1)


 + 
=
+
+ 2
⇔ 4
−
=
+
+ 2
2
4
2
( − 1)
( − 1)
−1 +1  +1
−1 +1  +1
5
4
16 − 8 ( + 1)


 + 
⇔
=
+
+
( 4 − 1)2
 − 1  + 1 2 + 1
5
5
16 − 8 − 8


 + 
⇔
=
+
+
( 4 − 1)2
 − 1  + 1 2 + 1
8 5 − 8


 + 
⇔ 4
=
+
+ 2
2
( − 1)
−1 +1  +1
4
8( − 1)


 + 
⇔
=
+
+ 2
4
2
( − 1)
−1 +1  +1
8


 + 
⇔ 4
=
+
+ 2
 −1 −1 +1  +1
8


 + 
⇔
=
+
+ 2
2
( − 1)( + 1)( + 1)  − 1  + 1  + 1
On multiplie par  − 1, puis  = 1
8
]
=[
=2
( + 1)( 2 + 1) =1
On multiplie par  + 1, puis  = −1
=[
On multiplie par  2 + 1, puis  = 
 +  = [
8
]
=2
( − 1)( 2 + 1) =−1
8
]
= −4 ⇒  = 0 et  = −4
− 1 =
2
42
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
Donc


 + 
2
2
4
+
+ 2
=
+
− 2
−1 +1  +1 −1 +1  +1
Et enfin
16 5
2
1
2
1
4
4
=
+
+
−
− 2
+ 2
4
2
2
2
( − 1)
 − 1 ( − 1)
 + 1 ( + 1)
 + 1 ( + 1)2
Il ne reste qu’à diviser par 16
Allez à : Exercice 55
=
Correction exercice 56.
1.  est une racine simple de  donc il existe 1 tel que  = ( −  )1 avec 1( ) ≠ 0



= =
=
+⋯
 ( −  )1  − 
En multipliant par  − , puis en faisant  = , on trouve (classiquement)
 ( )
=
1( )
D’autre part
 = ( −  )1 ⇒  ′ = 1 + ( − )1′
En faisant  =  dans cette dernière expression on trouve que  ′( ) = 1 ( )
Par conséquent
 ( )
= ′
 ( )
2.
−1

 − 1 = ∏ ( − 
2
 )
=0
Donc il existe 0 , 1 , … , −1 tels que :
−1
=∑
=0 
′

2
− 
En appliquant le résultat du 1°), avec  =  et  =  −1
 =

2

2 −1
 (  )
=
1 2(1−(−1)) 1 2(2−) 1 4



= 
=  



Donc
1 4
 
 = ∑  2
=0  −  
−1
Allez à : Exercice 56
Correction exercice 57.
1.  =  5 −  3 +  2 − 1 =  3 ( 2 − 1) + ( 2 − 1) = ( 2 − 1)( 3 + 1)
−1 est racine de  3 + 1 donc on peut factoriser par  + 1, et on trouve, à l’aide d’une division
élémentaire  3 + 1 = ( + 1)( 2 −  + 1).  2 −  + 1 n’a pas de racine réelle
On déduit de tout cela que la décomposition dans ℝ[] est :
 = ( − 1)( + 1)( + 1)( 2 −  + 1) = ( − 1)( + 1)2 ( 2 −  + 1)
 2 −  + 1 admet deux racines complexes conjuguées
1 −  √3
1 +  √3
= −
et
= − 2
2
2
43
Polynômes et fractions rationnelles
Pascal Lainé
La décomposition dans ℂ[] est :
 = ( − 1)( + 1)2 ( + )( +  2 )
2. Il existe , ,  et  réels tels que :
+1
+1
1
=
=
( − 1)( + 1)2 ( 2 −  + 1) ( − 1)( + 1)( 2 −  + 1)



 + 
=
+
+ 2
−1 +1  −+1
On multiplie par  − 1, puis  = 1
1
1
]
=[
=
( + 1)( 2 −  + 1) =1 2
On multiplie par  + 1, puis  = −1
1
1
]
=[
=−
2
( − 1)( −  + 1) =−1
6
On pose  = 0
1 1
1
−1 = − +  +  ⇒  = −1 +  −  = −1 + + = −
2 6
3
On multiplie par , puis  tend vers l’infini
1 1
1
0 =  +  +  ⇒  = − −  = − + = −
2 6
3
1
1
1
1
− −3
+1
= 2 − 6 + 23

−1 +1  −+1
Allez à : Exercice 57
44