Exemple et méthode de résolution d`une EDP. (Equation aux
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Exemple et méthode de résolution d`une EDP. (Equation aux
Exemple et méthode de résolution dβune EDP. (Equation aux Dérivées Partielles) Exemple 1 : EDP dβordre 1 En utilisant le changement de variable π’ = π₯ + π¦ et π£ = π₯ β π¦, trouver toutes les fonctions π de classe πΆ 1 sur β² vérifiant pour tout point (π₯, π¦) du plan : ππ ππ π₯, π¦ = π₯, π¦ βΆ πΈ ππ₯ ππ¦ 1. On introduit la fonction de changement de variable notée Ξ¦. π· π₯, π¦ = (π₯ + π¦ ; π₯ β π¦) = (π’, π£) Ici on a : La fonction Ξ¦ est une fonction de β² dans β². π’ =π₯+π¦ On a alors : π£ = π₯ β π¦ π₯= et donc π¦= π’+π£ 2 π’βπ£ 2 2. On procède au changement de variable. Effectuer un changement de variable consiste à chercher une fonction π : π’, π£ βΌ π(π’, π£) de classe πΆ 1 sur β² telle que la fonction composée π = πππ· vérifie la condition donnée (E). Utilisation des matrices jacobiennes. π = πππ· et donc π₯π π₯, π¦ = π₯π π· π₯, π¦ × π₯π· π₯, π¦ Soit puisque π· π₯, π¦ = (π’, π£) π₯π π₯, π¦ = π₯π π’, π£ × π₯π· π₯, π¦ On obtient lβégalité : ππ ππ π₯, π¦ ; π₯, π¦ ππ₯ ππ¦ = ππ ππ π’, π£ ; π’, π£ ππ’ ππ£ ππ·1 π₯, π¦ ππ₯ × ππ·2 π₯, π¦ ππ₯ ππ·1 π₯, π¦ ππ¦ ππ·2 π₯, π¦ ππ¦ Ce qui donne : ππ ππ π₯, π¦ ; π₯, π¦ ππ₯ ππ¦ ππ ππ π₯, π¦ ; π₯, π¦ ππ₯ ππ¦ = M. Duffaud. (http://www.math93.com/ ) = ππ ππ π’, π£ ; π’, π£ ππ’ ππ£ × 1 1 1 β1 ππ ππ ππ ππ π’, π£ + π’, π£ ; π’, π£ β π’, π£ ππ’ ππ£ ππ’ ππ£ Et donc par identification : ππ ππ ππ π₯, π¦ = π’, π£ + π’, π£ ππ₯ ππ’ ππ£ ππ ππ ππ π₯, π¦ = π’, π£ β π’, π£ ππ¦ ππ’ ππ£ 3. On remplace les dérivées partielles de π par celles de π dans lβexpression de départ (E). (E) devient alors : ππ ππ’ et donc : 2 ππ£ π’, π£ = 0 π’, π£ + ππ ππ£ π’, π£ = ππ ππ’ π’, π£ β ππ ππ£ π’, π£ ππ La fonction g ne dépend donc pas de u, elle est de la forme π(π’, π£) = π(π’) où π est une fonction de classe πΆ 1 Donc, les solutions de lβEDP sont les fonctions πͺπ de la forme : π(π, π) = π(π + π) puisque π = π + π . Exemple 2 : EDP ordre 2. On cherche les fonctions C2 de β² vérifiant : π²π ππ₯ ² π₯, π¦ = π²π ππ¦ ² π₯, π¦ βΆ πΈβ² Pour cela on utilise le changement de variables affine : π· π₯, π¦ = π₯+π¦ 2 ; π₯βπ¦ 2 = (π’, π£) Effectuer un changement de variable consiste à chercher une fonction π : π’, π£ βΌ π(π’, π£) de classe πΆ 2 sur β² telle que la fonction composée π = πππ· vérifie la condition donnée (Eβ). π = πππ· et donc : π₯π π₯, π¦ = π₯π π· π₯, π¦ × π₯π· π₯, π¦ On obtient lβégalité : ππ ππ π₯, π¦ ; π₯, π¦ ππ₯ ππ¦ = ππ ππ π’, π£ ; π’, π£ ππ’ ππ£ ππ·1 π₯, π¦ ππ₯ × ππ·2 π₯, π¦ ππ₯ ππ·1 π₯, π¦ ππ¦ ππ·2 π₯, π¦ ππ¦ soit ππ ππ π₯, π¦ ; π₯, π¦ ππ₯ ππ¦ M. Duffaud. (http://www.math93.com/ ) = ππ ππ π’, π£ ; π’, π£ ππ’ ππ£ 1 × 2 1 2 1 2 1 β 2 dβoù ππ 1 ππ 1 ππ π₯, π¦ = π’, π£ + π’, π£ ππ₯ 2 ππ’ 2 ππ£ π : ππ 1 ππ 1 ππ π₯, π¦ = π’, π£ β π’, π£ ππ¦ 2 ππ’ 2 ππ£ Il faut alors obtenir les dérivées partielles secondes de la fonction f (qui est C2) en fonction de celles de g. Pour cela on va utiliser une petite astuce. πβ² : On interprète les égalités (S) de la façon suivante : π ππ₯ π ππ¦ = = 1 π 2 ππ’ 1 π 2 ππ’ + β π ππ£ π ππ£ Alors en combinant (S) et (Sβ) : π²π π π₯, π¦ = ππ₯ ππ₯² ππ π₯, π¦ ππ₯ = 1 π π + 4 ππ’ ππ£ ππ ππ π’, π£ + π’, π£ ππ’ ππ£ π²π π π₯, π¦ = ππ¦ π𦲠ππ π₯, π¦ ππ¦ = 1 π π β 4 ππ’ ππ£ ππ ππ π’, π£ β π’, π£ ππ’ ππ£ On développe en utilisant la linéarité de lβopérateur dérivée partielle et le fait que la fonction f étant de classe C2, on peut appliquer le théorème de Schwarz : π²π 1 π²π π²π π²π π₯, π¦ = π’, π£ + 2 π’, π£ + π’, π£ 4 ππ’² ππ’ππ£ ππ₯² ππ£² π²π 1 π²π π²π π²π π₯, π¦ = π’, π£ β 2 π’, π£ + π’, π£ 4 ππ’² ππ’ππ£ π𦲠ππ£² LβEDP (Eβ) devient alors : π2 π π₯, π¦ ππ₯ 2 1 π²π π²π π²π π’, π£ + 2 π’, π£ + π’, π£ 4 ππ’² ππ’ππ£ ππ£² = = π2 π π₯, π¦ βΆ πΈ β² ππ¦ 2 1 π²π π²π π²π π’, π£ β 2 π’, π£ + π’, π£ 4 ππ’² ππ’ππ£ ππ£² soit π²π π, π = π (π¬π ) ππππ On sait que les fonctions π de classe C2 vérifiant cette EDP πΈπ sont de la forme : π(π’, π’) = π»(π£) + π(π’) ππ£ππ π» ππ‘ π ππ ππππ π π πΆ² Et donc les fonctions π de classe C2 qui vérifient (Eβ) sont de la forme : π π, π = π― πβπ π+π +π π π M. Duffaud. (http://www.math93.com/ ) ππ£ππ π» ππ‘ π ππ ππππ π π πΆ²