Corrigé - CAPES de Mathématiques/Rennes1
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Préparation au CAPES de Mathématiques Corrigé rapide du problème d’algèbre n◦ 1 Partie 1 : Valuation p-adique c a , on écrit c = pk1 a où a ∧ p = 1 et d = pk2 b, avec b ∧ p = 1. On a donc x = pk1 −k2 . Pour l’unicité, d b 0 a a si l’on a x = pk = p` 0 , alors pk ab0 = p` a0 b, et donc pk |p` a0 b. Mais p ∧ a0 b = 1 (un nombre premier est b b premier avec tout nombre qu’il ne divise pas donc aussi avec tout produit de tels nombres) et le théorème 1) Si x = de Gauss assure que pk |p` , ou encore que k ≤ `. De même, on montre que ` ≤ k, et donc k = `. ∗ 2) On a vp (1) = 0, ∀k ∈ Z , vp (pk ) = k, et vp (0) = +∞. Ceci garantit que vp est surjective. vp n’est par contre pas injective puisque par exemple vp (p) = vp (−p) = 1. Enfin, vp−1 ({0}) est l’ensemble des a rationnels qui s’écrivent avec a et b entiers premiers avec p. b 3) Soient x et y dans Q. c p` , a pk ac pk+` = k + ` puisque ac et bd sont premiers avec p. D’où et y = on a : vp (xy) = vp b d bd vp (xy) = vp (x) + vp (y). Cette relation reste vérifiée si x et/ou y est nul. a) Si x = b) La relation proposée est claire si x ou y est nul. a pk ! c p` p` pk−` ad + cb . Maintenant, bd avec par exemple k ≥ `. On a : x + y = d 1 = 0. Puisque k ≥ `, on a pk−` ad + cb ∈ Z et vp (pk−` ad + cb) ≥ 0. On en comme bd ∧ p = 1, on a vp bd déduit que vp (x + y) ≥ ` = min{vp (x), vp (y)}. Ecrivons x = b et y = On a vp (p + (p − 1)p) = vp (p2 ) = 2 et vp (p) = vp ((p − 1)p) = 1. L’inégalité proposée peut donc bien être stricte. x y c) On a vp ( ) = vp x 1 × 1 y 1 = vp (x) + vp ( ) = vp (x) − vp (y). y Partie 2 : Formule de Legendre 1) Notons Fk = {1 ≤ j ≤ n, vp (j) ≥ k}. Soit j ∈ N. j ∈ Fk si et seulement si 1 ≤ j ≤ n et j = pk a où a est un entier c’est à dire si et seulement si il existe un entier a tel que j = pk a et 1 n ≤ a ≤ k . Par suite, k p p n Card(Fk ) = k . D’autre part, {j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, vp (j) = k} = Fk \Fk+1 , et comme Fk+1 est inclus dans p n n Fk , le cardinal de cet ensemble vaut k − k+1 . p p 2) On a vp (n!) = vp (1) + · · · + vp (n), que l’on réécrit en regroupant les termes qui ont même valuation pX X n n kCard ({1 ≤ j ≤ n, vp (j) = k}) = adique : vp (n!) = k>0 changement d’indice, vp (n!) = k k>0 X k>0 pk − pk+1 . Finalement, par un simple n . pk 3) Ce qui précède montre que v5 (2009!) = 401 + 80 + 16 + 3 = 500 et comme il est clair que v2 (2009!) > 500, on a 2009! = 10500 y avec y ∧ 5 = 1 et par suite 2009! se termine par 500 “0”.