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Modélisation et Caractérisation d’Accumulateurs Lithium-Ion en
vue d’une Mise en Œuvre Système
Laurianne MENARD
LAPLACE – 2, Rue Charles Camichel B.P. N°7122 – 31071 TOULOUSE CEDEX 7
Les accumulateurs lithium-ion sont aujourd’hui prépondérants sur le marché de
l’électronique portable. Parallèlement, des accumulateurs lithium-ion « de
puissance » commencent à équiper certains systèmes électriques (véhicules, engins
spatiaux,…). Nous proposons ici une modélisation multi-physique et originale, basée
sur la caractérisation des phénomènes intervenant au sein de ce type d’accumulateurs
et appliquée à travers l’outil Bond Graph. Le modèle obtenu est ensuite validé grâce
à des essais expérimentaux.
I. INTRODUCTION
Ces dernières années, une approche
énergétique originale a été mise en place pour
modéliser les piles à combustible, via l’outil
Bond Graph (BG) [1]. Le BG permet de définir
et de modéliser les échanges énergétiques au
sein d’un système et dans n’importe quel
domaine physique. Cette approche est ici
appliquée aux accumulateurs lithium-ion (liion), cette technologie d’accumulateurs étant
actuellement la plus intéressante des
technologies disponibles en termes d’énergie
massique, volumique et de niveau de tension.
Un accumulateur li-ion est constitué de
deux électrodes d’insertion séparées par un
électrolyte (FIG. 1). Son fonctionnement est
basé sur un phénomène « rocking chair » : les
ions lithium vont et viennent entre les
électrodes poreuses. Dans le cas d’une
décharge, pour chaque ion Li+ transféré de
l’électrode négative à la positive, exactement un
électron est transféré dans le circuit électrique
externe. Un courant I est alors généré.
Load
I
Li + ions
Insertion
material
[H' ]
Li +
conductor
material
[LiH' ] → [H' ] + zLi + + ze −
e-
Insertion
material
[H ]
[H ] + zLi + + ze − → [LiH ]
FIG. 1. Fonctionnement d’un accumulateur li-ion
Le modèle proposé est basé sur la
caractérisation des différents phénomènes
électrochimiques mis en jeu au sein de
l’accumulateur. Il se situe à mi-chemin entre les
modèles « électrochimiques » basés sur la
résolution d’équations différentielles [2], et les
modèles « électriques », schémas équivalents
permettant la simulation du comportement
électrique de l’accumulateur dans un système
[3]. L’avantage que présente le modèle proposé
est qu’en plus d’un accès à des données
physiques, il est implémentable dans le modèle
énergétique global d’un système et peut donc
contribuer à une stratégie de gestion
énergétique.
Après avoir décrit l’approche énergétique
exploitant la représentation BG, le modèle de
l’accumulateur sera présenté. Pour finir, une
méthode de validation expérimentale du modèle
sera proposée.
II. APPROCHE ÉNERGÉTIQUE
A. Principes du Bond Graph
En BG [4], les échanges d’énergie entre
deux systèmes sont modélisés par une demiflèche (FIG. 2). On y affecte l’effort e et le flux
f, dont le produit représente la puissance
transférée. Cette dernière est comptée
positivement dans le sens de la flèche.
L’effort et le flux représentent différentes
grandeurs physiques selon le domaine
considéré. Par exemple, l’effort devient la
tension et le flux le courant dans le domaine
électrique, l’effort devient le potentiel chimique
et le flux le flux molaire dans le domaine
chimique ou encore l’effort devient la force et
le flux la vitesse dans le domaine mécanique.
L’extrémité portant le trait causal
représenté sur la FIG. 2 indique l’application de
l’effort, l’autre extrémité indiquant l’application
du flux, cette information « causalité »
constituant un avantage du BG sur d’autres
représentations mathématiques ou graphiques.
e
f
A
du fonctionnement de l’accumulateur. À ce
phénomène
viennent
se
rajouter
les
phénomènes d’activation, ohmique et de
diffusion : dissipatifs, ils engendrent des pertes
au niveau de l’accumulateur en décharge
comme en charge. La modélisation proposée est
basée sur la caractérisation de ces phénomènes.
Avant la description du modèle, les hypothèses
de modélisation sont énoncées.
B
FIG. 2. Échange énergétique entre A et B
Un nombre limité d’éléments est nécessaire
pour décrire la majorité des systèmes (TAB. 2).
La connexion de ces éléments est réalisée grâce
à des jonctions (TAB. 3).
2
Equation
3
4
ions Li +
Elément
Représente
R:r
Résistance
I:i
Inertie
e−i
C:c
Capacité
f −c
Se
Source d’effort
e = cst
3 Phénomène ohmique
Sf
Source de flux
f = cst
4 Phénomène de diffusion
4
e − rf = 0
df
=0
dt
1 Conversion électrochimique
2 Phénomènes d’activation et de double couche
de
=0
dt
TAB. 2. Éléments Bons Graph
Jonction
FIG. 4. Phénomènes mis en jeu
Représente
Equation
∑
1
“iso-flux”
0
“iso-effort”
A. Hypothèses de modélisation
ei = 0
•
Le modèle proposé est à électrodes non
dissociées car il est expérimentalement
impossible de mesurer la contribution de
chacune des électrodes sur un accumulateur
constitué.
• Le vieillissement de l’accumulateur n’est pas
pris en compte.
• D’éventuelles réactions chimiques parasites
ne sont pas considérées.
• Le modèle prend en compte les variations de
température de l’accumulateur.
i
∑f
i
=0
i
TF
Transformateur
e1 = re2 , f 2 = rf1
GY
Gyrateur
e1 = rf 2 , e2 = rf1
TAB. 3. Jonctions Bond Graph
B. Exemples
A titre d’exemple, la FIG. 3 présente les
modèles BG de circuits électriques RC.
i2
uR
i
i1
C
i
u
R: R
Se: E
u
i2
u
uR
E
i1
0
C
E
R: R
u
u
Sf: i
B. Structure du modèle
R
R
i
1
e-
i
i
1
u
La structure du modèle est représentée sur
la FIG. 5. On distingue clairement une
modélisation phénomène par phénomène avec
un élément TF qui permet, dans notre cas, de
passer du domaine chimique au domaine
électrique.
i
C: C
FIG. 3. Modèles BG d’un circuit RC parallèle (à
gauche) et d’un circuit RC série (à droite)
III. MODÉLISATION D’UN
ACCUMULATEUR LI-ION
Plusieurs phénomènes interviennent dans le
fonctionnement d’un accumulateur li-ion (FIG.
4). La conversion électrochimique est le moteur
C: C
C. Équations et paramètres du modèle
Les éléments R, C sont décrits par des
relations constitutives reliant l’effort au flux et
fonction de chacun des phénomènes mis en jeu,
pour la plupart électrochimiques. Ces dernières
(1)-(4) font intervenir onze paramètres,
entourés en rouge.
Pertes par activation
et par diffusion
I
J
Ract
Cstockage
I
I
ηact
-∆Gstockage
J
1
1
Vbat
ηelec
0
-∆G0 -∆G 1 -∆G TF E
J
I
ηdiff
Rdiff
I
Relec
Pertes ohmiques
Stockage +
Conversion
d’énergie
FIG. 5. Structure du modèle BG de l’accumulateur
•
Potentiel de référence :
1
E0 = −
∆H 0 − T∆S 0
nF
•
(
)
(1)




(2)
Stockage :
RT  (C tot − C )
ln
nF  (C + C b )b
a
∆E =
∫
avec C = I (t )dt + C 0
•
Pertes ohmiques :
1
(3)
Relec =
α + β .T
•
Pertes par activation et par diffusion :
βF
 αF η
− η 
I f = I 0  e RT − e RT 
(4)





If 

avec I 0 = I 0 act .1 −

I 0lim 

C −C 
 et I 0 lim = k diff (Ctot − C )
et I 0 act = I 00  tot
 Ctot 
On pose Rdiff =
RT
RT
et Ract =
2αF I 0lim
2αF I 0 act
IV. VALIDATION EXPERIMENTALE
Afin de valider le modèle décrit
précédemment, la méthode suivante est
appliquée. Tout d’abord, un certain profil de
courant est appliqué à l’accumulateur, c’est
l’essai expérimental n°1. Un jeu de paramètre
est alors extrait par optimisation. En effet, ce
jeu minimise de manière récurrente la
différence entre la tension de l’accumulateur
mesurée expérimentalement et celle donnée par
le modèle, élevée au carré.
Une fois ce jeu de paramètres obtenu, il est
fixé au sein du modèle. C’est alors qu’un autre
profil de courant est appliqué à l’accumulateur,
c’est l’essai expérimental n°2. Ce profil de
courant est également appliqué au modèle dont
les paramètres sont fixés. On compare alors la
réponse en tension expérimentale et celle du
modèle.
Pour des raisons de confidentialité, les
essais expérimentaux ne peuvent être présentés
ici. Cependant, quelque soit la sollicitation en
courant, avec un jeu de paramètre fixé, le
modèle a un comportement très proche du
comportement expérimental de l’accumulateur.
V. CONCLUSION
Le modèle proposé décrit correctement le
comportement physique de l’accumulateur liion, bien que ce résultat ne soit pas illustré pour
cause de confidentialité.
À terme, et grâce au formalisme BG, ce
modèle sera implémenté dans celui du véhicule
solaire Solelhada [5] pour simuler le
comportement d’un pack d’accumulateurs li-ion
en stockage-restitution et déterminer une
stratégie de gestion énergétique. Dans cette
optique, il reste nécessaire de prendre en
compte
la
dimension
thermique.
La
modélisation BG prend alors encore plus de
sens puisqu’elle permet de coupler un modèle
pseudo-thermique au modèle déjà existant.
VI. RÉFÉRENCES
[1]. R. Saïsset, G. Fontès, C. Turpin, S. Astier,
“Bond Graph model of a PEM fuel cell”,
Journal of Power Sources, vol. 156, pp. 100107, 2005.
[2]. K. A. Smith, C. D. Rahn, C. Y. Wang,
“Control oriented 1D electrochemical model of
lithium-ion battery”, Energy Conversion and
Management, vol. 48, pp. 2565-2578, 2007.
[3]. R. C. Kroeze, P. T. Krein, “Electrical
Battery Model for Use in Dynamic Electric
Vehicle Simulations”, IEEE-PESC 2008,
Rhodes, Greece.
[4]. D. Karnopp, R. Rosenberg, “Systems
Dynamics: A Unified Approach”, John Wiley
& Sons, 1991.
[5]. R. Saïsset, “Contribution à l’étude
systémique de dispositifs énergétiques à
composants électrochimiques”, Ph.D. thesis,
INP Toulouse, 2004.