Ondes électromagnétiques dans le vide

Ondes électromagnétiques
dans le vide
PC*/PC
I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont
fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et
r
r
de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champs E et B variables dans le
temps qui vont s’établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé
r
r
en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en ∂B / ∂t et ∂E / ∂t
« provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de
Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des
sources de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de
proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées
r
r
partielles par rapport au temps ∂B / ∂t et ∂E / ∂t est à l’origine du phénomène de propagation du
champ EM. »
Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
r
r
∂
rot rot E = −
rot B
∂t
(
)
(
)
Or :
r
r
r
rot rot E = grad div E − ∆E
(
)
(
)
r
r ρ
r
r
∂E
et rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
Avec div E =
, il vient :
ε0
∂t
 ρ
grad 
 ε0
r
r

∂  r
∂E 
 − ∆E = −
µ0 j + ε 0 µ0

∂t 
∂t 

Soit, finalement :
r
r
r
∂2E
1
∂j
∆E − ε 0 µ 0 2 =
grad ρ + µ 0
∂t
ε0
∂t
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA :
(
)
(
r
r
r
r
r
∂
rot rot B = grad div B − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0
rot E
∂t
(
)
Soit :
r
r
r
∂  ∂B 
grad (0) − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0  −
∂t  ∂t 
Finalement :
Dans une région sans charges ni
r
r
r
∂2B
∆B − ε 0 µ 0 2 = − µ 0 rot j
∂t
r r
courants ( ρ = 0 et j = 0 ) :
r
r
∂2E r
∆E − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
et
2
r
r
∂2B r
∆B − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
)
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l’on note s(x,y,z,t) l’une des six
coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
∆s − ε 0 µ 0
∂2s
∂t
2
=0
1 ∂2s
∆s −
soit
c
2
∂t
2
=0
(
1
c2
= ε 0 µ0 )
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée
équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les vibrations d’une
corde tendue. Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de
célérité c (vitesse de la lumière dans le vide).
* Résolution de l’équation de d’Alembert :
On se propose de résoudre l’équation de d’Alembert unidimensionnelle :
∂2s
∂x 2
−
1 ∂2s
v 2 ∂t 2
=0
De manière symbolique, cette équation peut s’écrire :
∂  ∂
∂
 ∂
 v + . v −  s = 0
 ∂x ∂t   ∂x ∂t 
On pose :
p=t+
x
v
et
q=t−
x
v
et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q :
∂
∂p ∂ ∂q ∂
1 ∂
∂ 
=
+
= 
− 
∂x ∂x ∂p ∂x ∂q v  ∂p ∂q 
∂ ∂p ∂ ∂q ∂
∂
∂
=
+
=
+
∂t ∂t ∂p ∂t ∂q ∂p ∂q
On en déduit :
v
∂
∂
∂
+
=2
∂x ∂t
∂p
et
v
∂
∂
∂
− = −2
∂x ∂t
∂q
L’équation de d’Alembert prend alors la forme :
∂2s
∂  ∂s 
 =0
=
∂p∂q ∂p  ∂q 
Par conséquent,
∂s
= ϕ (q) et, si f(q) désigne une primitive de ϕ(q), alors :
∂q
x
x
s = f (q ) + g ( p) = f (t − ) + g (t + )
v
v
Interprétation physique : on considère une fonction de la forme :
x
s + ( x, t ) = f (t − )
v
On constate que :
3
x
x + ∆x
f (t − ) = f (t + ∆t −
)
v
v
pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant : ∆x = v∆t . Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage
sans déformation à la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens positif.
x
s+ ( x , t ) = f (t − )
v
∆x = v∆ t
O
Instant
t+∆
∆t
Instant
t
x
Référence : cabri géomètre (Y.Cortial)
x
La solution s − ( x, t ) = f (t + ) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse
v
v le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.
On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
4
∆s −
1 ∂2s
2
v ∂t
2
=0
r
avec s (r , t ) = s ( x, y, z , t )
On vérifie que des fonctions de la forme :
x
y
z
s x, ± ( x, y, z , t ) = f (t m ) ; s y ,± ( x, y , z , t ) = f (t m ) ; s z ,± ( x, y, z , t ) = f (t m )
v
v
v
sont solution de l’équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de
r r
r
directions de propagations respectives u x , u y et u z , dans le sens positif ou négatif).
Des ondes sphériques sont également solution de l’équation de d’Alembert tridimensionnelle : on
cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien
en coordonnées sphériques, il vient :
1 ∂2
1 ∂2s
(
rs
)
−
=0
r ∂r 2
v 2 ∂t 2
Soit encore :
∂2
∂r 2
(rs ) −
1 ∂2
v 2 ∂t 2
(rs ) = 0
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l’équation unidimensionnelle de
d’Alembert. Par conséquent :
r
r
rs (r , t ) = f (t − ) + g (t + )
v
v
Soit :
s(r , t ) =
r 1
r
1
f (t − ) + g (t + )
r
v r
v
Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente et
convergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.
On choisit, dans la suite :
Pour une onde plane s(z,t), l’équation de d’Alembert devient :
∂2s
∂z
2
−ε 0µ0
∂2s
∂t
2
=0
ou
∂2s
∂z
2
−
1 ∂2s
c 2 ∂t 2
=0
Cette fonction s(z,t) peut s’écrire sous la forme :
 z
 z
s( z, t ) = f  t −  + g  t + 
c


 c
Compléments (Ondes stationnaires) :
On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert de la forme (méthode de séparation des
variables) :
s ( x, t ) = f ( x) g (t )
En substituant dans l’équation de d’Alembert :
5
∂ 2s
∂x 2
1 ∂2s
−
c 2 ∂t 2
=0
Il vient :
f " ( x) g (t ) −
1
c2
f ( x) g&&(t ) = 0
D’où :
1
1 g&&(t )
f " ( x) = 2
= cste = K
f ( x)
c g (t )
On obtient ainsi deux équations différentielles :
1
f " ( x) = K
f ( x)
1 g&&(t )
=K
c 2 g (t )
et
Ou encore :
f " ( x) − Kf ( x) = 0
et
g&&(t ) − c 2 Kg (t ) = 0
Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme :
g (t ) = Ae c
K t
+ Be − c
K t
Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une
solution transitoire.
Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant − c 2 K = ω 2 :
g (t ) = A cos(ωt − ϕ )
La 1ère équation donne alors :
f " ( x) +
ω2
c
2
f ( x) = 0
soit
ω

f ( x ) = B cos x −ψ 
c

La solution globale de l’équation de d’Alembert est alors :
ω

s ( x, t ) = C cos x −ψ  cos(ωt − ϕ )
c

On pose dans la suite k =
ω
c
, alors :
s ( x, t ) = C cos(kx −ψ ) cos(ωt − ϕ )
Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d’une onde plane
progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance
spatiale intervient dans l’amplitude de l’oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle
sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.
L’allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains points de
la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations ; d’autres ont une amplitude de vibration
maximale et sont appelés ventres de vibrations.
6
Position des nœuds : elle s’obtient en écrivant que :
cos(kx −ψ ) = 0
Soit, avec k =
2π
λ
kx n −ψ = (2n + 1)
soit
π
2
:
xn =
2n + 1
ψ
λ+
4
k
La distance entre deux nœuds successifs est égale à
λ
2
.
Position des ventres : elle s’obtient en écrivant que :
cos(kx −ψ ) = ±1
kx v −ψ = nπ
soit
Soit :
xv =
n
ψ
λ+
2
k
La distance entre deux ventres successifs est égale à
λ
2
.
La distance entre un nœud et un ventre successif est égale à
λ
4
.
II – Ondes planes EM dans le vide :
1 – Ondes planes électromagnétiques :
r
Une onde plane EM de direction de propagation u z est une structure du champ EM dans
r
r
laquelle les coordonnées des champs E et B sont des fonctions de la forme :
 z
s( z, t ) = f  t − 
 c
7
Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d’un plan
r
z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation u z , est appelé plan d’onde.
Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes sphériques ;
cependant, à grande distance de celle-ci, l’onde reçue pourra être localement assimilée à une onde
plane progressive
2 – Caractère transverse d’une onde plane dans le vide :
1ère démonstration :
On s’intéresse à une onde plane de la forme :
r
r
E ( x, y , z , t ) = E ( z , t )
r
r
B ( x, y , z , t ) = B ( z , t )
et
Les équations de Maxwell donnent :
•
Equation de Maxwell – Gauss :
r
div E = 0
•
∂E z
=0
∂z
(1)
soit
∂B z
=0
∂z
(2)
Equation de Maxwell – flux :
r
div B = 0
•
soit
Equation de Maxwell - Faraday :
r
r
∂B
rot E = −
∂t
•
∂E y
∂B
=− x
∂z
∂t
∂
By
∂E
+ x =−
∂z
∂t
∂B z
0 =−
∂t
−
soit
(3)
( 4)
(5)
Equation de Maxwell - Ampère :
−
r
r 1 ∂E
rot B = 2
c ∂t
Les équations (1) et (8) donnent :
+
soit
∂E z
=0
∂z
et
∂B y
∂z
=
1 ∂E x
c 2 ∂t
1 ∂E y
∂B x
= 2
∂z
c ∂t
1 ∂E z
0 =− 2
c ∂t
∂E z
=0,
∂t
(6)
(7)
(8)
par conséquent, E z = 0 (les champs
statiques n’interviennent pas ici lors du phénomène de propagation).
De même, les équations (2) et (5) montrent que B z = 0 .
r
Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation u z sont nulles : le
champ EM est transversal.
r
r
Relation entre les normes des champs E et B :
8
z
z
En notant E x ( z, t ) = E x  t −  et B x ( z, t ) = B x  t −  , on constate que :

c

∂E x
1 ∂E x
=−
∂z
c ∂t
c
∂B x
1 ∂B x
=−
∂z
c ∂t
et
Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).
Ainsi,
−
∂E y
=−
∂B x
∂t
∂B y
∂z
∂E
+ x =−
∂z
∂t
∂E y
∂B
= −c x
∂z
∂z
∂B y
∂E x
=c
∂z
∂z
(3)
donnent
( 4)
En intégrant sans tenir compte de coordonnées d’intégration constantes :
E y = −cB x
et
E x = cB y
Par conséquent :
r r
r
E = B ∧ c uz
ou
r ur z r
B=
∧E
c
Finalement, les champ EM d’une onde plane progressive sont orthogonaux à la direction de
r r r
r
propagation et orthogonaux entre eux ; le trièdre ( E , B, c = c u z ) est direct et E = Bc.
r
E
Plan d’onde
z=cste
r
E
r
c uz
r
B
z
r
c uz
r
B
Le champ EM est uniforme dans un plan d’onde.
r
La force exercée par l’onde EM sur une particule de charge q et de vitesse v est :
r
r
r
r r r
f = q E + q v ∧ B = fe + fm
Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut :
fe
E c
=
=
f m vB v
Par conséquent, pour une particule non relativiste (v << c), la force magnétique est négligeable
vis-à-vis de la force électrique.
2ème démonstration :
z
z
En notant E x ( z, t ) = E x  t −  et B x ( z, t ) = B x  t −  , on constate, de manière symbolique, que :

c

c
9
∂
=0
∂x
∂
=0
∂y
;
;
∂
1 ∂
=−
∂z
c ∂t
Ainsi, l’opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s’écrire :
r
1 ∂ r
grad = ∇ = −
uz
c ∂t
Les équations de Maxwell deviennent alors, compte tenu de ce formalisme :
1
c
1
−
c
1
−
c
1
−
c
−
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
r r
u z .E = 0
r r
u z .B = 0
r
r
r
r
∂B
uz ∧ E = −
∂t
r
r
r
1 ∂E
uz ∧ B = 2
c ∂t
soit (avec u z = cste )
∂ r r
( u z .E ) = 0
∂t
∂ r r
( u z .B ) = 0
∂t
r
r
1 ∂ r
∂B
( u z ∧ E) =
c ∂t
∂t
r
r
1 ∂E
∂ r
− (u z ∧ B ) =
∂t
c ∂t
En annulant les constantes d’intégration, les deux premières équations donnent :
r r
u z .E = 0
r r
u z .B = 0
et
On retrouve la caractère transversal du champ EM.
Les deux dernières équations donnent, après intégration :
r
r
1 r
(u z ∧ E ) = B
c
r
r
1 r
uz ∧ B = − E
c
et
Soit :
r r
r
E = B ∧ c uz
ou
r ur
r
B= z ∧E
c
On retrouve les mêmes relations que lors de la 1ère démonstration.
III – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) :
1 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de d’Alembert :
L’équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l’analyse de Fourier permet d’affirmer
que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales du temps.
On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert, c’est-à-dire des
solutions de la forme :
z 

s ( x, t ) = A cos ω (t − ) 
c 

Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).
Ces fonctions, de période temporelle T =
2π
ω
possèdent une période spatiale λ = cT = 2π
appelée longueur d’onde.
r
On définit le vecteur d’onde k tel que :
10
c
ω
r
r
k = k uz
avec
k=
ω
c
=
2π
λ
L’OPPH est alors de la forme :
s ( x, t ) = A cos(ωt − kz ) )
Domaines d’applications des ondes électromagnétiques.
En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :
r
r
r
z
E ( z , t ) = E 0 cos(ω (t − )) = E 0 cos(ωt − kz )
c
Avec :
r
r
ωr
k = ku z = u z
c
(vecteur d’onde)
En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :
r
r
r
r
E ( z , t ) = E 0 e i (ωt − kz )
et
B (z , t ) = B 0 e i (ωt − kz )
r
Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire u :
rr
r
r
E ( x, y, z , t ) = E 0 e i (ωt − k .r )
r
r
et
rr
r
r
B(x, y, z , t ) = B 0 e i (ωt − k .r )
r
r
où k = k u ( u vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et r = OM
(O, origine du repère et M le point d’observation).
L’expression du Laplacien devient :
r
r
r
∆ E = −(k x2 + k y2 + k z2 ) E = −k 2 E
11
Par ailleurs :
r
∂2 E
∂t
2
r
= −ω 2 E
L’équation d’onde de d’Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) :
r
r
1
(−k 2 E ) − 2 (−ω 2 E ) = 0
c
D’où :
k=
soit
k2 =
ω2
c2
ω
c
2 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :
Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient. En effet,
en remarquant que :
r
r
∂E
= (iω ) E
∂t
r
r
∂E
= −ik x E
∂x
;
rr
r r
r
(En effet, E = E 0 exp(i (ωt − k .u )) = E 0 exp(i (ωt − k x x − k y y − k z z ) )
Il vient :
r r
r ∂E x ∂E y ∂E z
div E =
+
+
= −ik x E x − ik y E y − ik z E z = −i k .E
∂x
∂y
∂z
De même :
r r
r
rot E = −i k ∧ E
et
r
r
∆ E = −k 2 E
Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite :
r r
r
div E = −i k .E = 0
;
r r
r
div B = −i k .B = 0
;
r r
r
r
rot E = −i k ∧ E = −(iω B)
;
r r 1
r
r
rot B = −i k ∧ B = 2 (iω E )
c
Par conséquent, on retrouve le caractère transverse des ondes EM planes :
12
r r
k .E = 0
r r
k .B = 0
et
On retrouve également :
r
r k r 1r r
B= ∧E = u∧E
ω
c
Remarque : cette relation n’est vérifiée évidemment que par des ondes planes monochromatiques
harmoniques. Notamment, lorsque l’amplitude de l’onde dépendra des coordonnées d’espace x
ou y, la relation entre le champ E et le champ B sera différente.
3 – Propagation de l’énergie :
Les résultats qui suivent sont valables pour une onde plane progressive, non forcément sinusoïdale (ou harmonique).
La densité d’énergie uem pour une onde plane progressive vaut :
u em =
1 r2
1 r2
ε0E +
B
2
2µ 0
Compte tenu de E = Bc, il vient (et avec c =
1
ε 0µ0
):
r
1 r2
u em = ε 0 E 2 =
B
µ0
On remarque qu’il y a équipartition des contributions électrique et magnétique à cette densité
d’énergie.
Le vecteur de Poynting vaut :
r r
r E∧B
Π=
µ0
r
Soit, avec B =
r
uz r
∧E :
c
r
r
1 r r
1 r2 r
Π=
E ∧ (u z ∧ E ) =
E uz
cµ 0
cµ 0
r r
(car E. u z = 0)
Finalement :
r r
r
r
Π = ε 0 c E 2 u z = cu em u z
Le vecteur de Poynting est bien colinéaire à la direction de propagation ; si l’on revient à la
définition du vecteur densité de courant :
r
r
j = ρv
r
correspondant à un mouvement d’ensemble de charges de densité ρ à la vitesse v , on constate
r
r
que la relation Π = cu em u z exprime simplement que l’onde EM plane progressive dans le vide
transporte l’énergie dans sa propre direction de propagation et avec une vitesse égale à sa célérité
r
r
r
c ( vem = Π / u EM = cu z ).
13
Remarque :
On peut retrouver ce résultat en considérant le cylindre de section droite (S) de génératrices de
longueur vemdt parallèles à la direction de propagation. L’énergie qui va traverser cette surface
pendant dt est alors uemvemSdt. Elle est par ailleurs égale au flux du vecteur de Poynting (multiplié
par dt), soit :
u em vem Sdt = Π Sdt
vem =
soit
Π
=c
u em
Vecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur :
Les ondes EM ont généralement des fréquences élevées. Les détecteurs ne sont souvent sensibles
qu’aux valeurs moyennes temporelles de la puissance qu’ils reçoivent.
Ainsi, la puissance moyenne reçue par un détecteur dont la surface S est perpendiculaire à la
direction de propagation est :
r
r
Pm = Π .S u z = Π .S
où Π désigne la valeur algébrique du vecteur de Poynting moyen, égale à :
Π = ε 0c E 2
rr
Pour un champ électrique de la forme E = E 0 cos(ωt − k .r − ϕ 0 ) , E 2 =
Π = ε 0c
E 02
et :
2
E 02
2
Utilisation de la notation complexe pour la puissance :
Si f et g sont deux fonctions sinusoïdales en notation complexe, alors la partie réelle moyenne du
produit fg est :
fg =
1
Re( f .g * )
2
*
où g est le conjugué de g.
On peut notamment appliquer cette formule pour calculer la puissance moyenne en électricité :
P = ui =
1
1
*
Re(u.i ) = U m I m cos ϕ = U e I e cos ϕ
2
2
La valeur moyenne de la densité d’énergie EM est alors :
eem =
r r*
r r* 
1 1
1 1
 ε 0 Re( E.E ) +
Re( B.B ) 
2 2
µ0 2

Soit :
eem =
 1
11
1
 ε 0 E02 +
B02  = ε 0 E 02
22
2µ 0
 2
14
La valeur moyenne du vecteur de Poynting se calcule de la même manière :
r ur r *
r
1
1 r r*
1
Π = Re( E ∧ B ) =
Re( E ∧ ( ∧ E ))
2
2µ 0
c
µ0
Soit :
r
Π =
r r* r r r r*
r
1
1
Re( E.E u − E.u E ) = ε 0 cE 02 u
2cµ 0
2
Ordres de grandeur :
•
Amplitudes des champs EM d’un faisceau laser :
Un laser hélium-néon émet un faisceau cylindrique de section droite 1 mm 2 et de puissance
1 mW. Il produit une onde polarisée rectilignement. Déterminer l’amplitude des champs EM.
L’onde est quasi-plane sinusoïdale car la largeur du faisceau est bien supérieure à la longueur
d’onde. Les champs EM valent :
E0 =
•
2µ 0 cP
= 8,7.10 2 V .m −1
S
B0 =
;
E0
= 2,9.10 −6 T
c
Emission d’une station radio :
Une source d’onde EM monochromatique (E) située dans une plaine émet un rayonnement
isotrope polarisé rectilignement de puissance 1 MW. Calculer l’amplitude du champ électrique à la
distance r puis à 1 000 km.
On trouve :
E0 =
µ 0 cP 1
1
= 1,1.10 4 V .m −1
π r
r
(1,1.10 − 2 V .m −1 à 1 000 km)
IV – Polarisation des ondes EM :
1 – Représentation vectorielle
monochromatique :
réelle
d’une
onde
plane
progressive
On considère une onde EM plane progressive monochromatique de pulsation ω se propageant
r
dans le vide. On choisit l’axe (Oz) comme l’axe de propagation, soit k =
ω r
c
uz .
En notation complexe, le champ électrique de l’onde est :
r r
E = E 0 e i (ωt − kz )
On note :
r
r
− iϕ r
E 0 = E 0 x e −iϕ x u x + E 0 y e y u y
où E0x et E0y sont (moyennant un bon choix des phases ϕ x et ϕ y ) des constantes positives.
De plus, par un choix judicieux de l’origine des temps, on choisira ϕ x = 0 et on notera ϕ = ϕ y le
déphasage de Ey par rapport à Ex.
Alors, en notation réelle :
15
E x = E 0 x cos(ωt − kz )
E y = E 0 y cos(ωt − kz − ϕ )
r
Le champ magnétique s’en déduit (à partir de B =
Bx = −
By =
E0 y
c
r
r
uz ∧ E
):
c
cos(ωt − kz )
E0 x
cos(ωt − kz − ϕ )
c
2 – Polarisation d’une onde plane progressive monochromatique
Pour définir la polarisation d’une onde plane EM progressive harmonique, on se place toujours
dans un plan de cote z0 donnée, que l’on prendra nulle par exemple.
Par conséquent, les coordonnées du champ électrique deviennent :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
•
Polarisation rectiligne :
La polarisation rectiligne correspond au cas où le champ électrique garde une direction constante
au cours du temps, que l’on peut choisir parallèle à l’axe (Ox) :
r
r
E = E 0 cos ωt u x
Pour un observateur placé dans le plan de cote fixée, le champ oscille en fonction du temps le
long de l’axe (Ox).
•
Si ϕ = −
Polarisation circulaire :
π
2
ou ϕ = +
π
2
, les coordonnées Ex et Ey du champ électrique sont en quadrature : les axes
de l’ellipse coïncident avec les axes (Ox) et (Oy).
16
Si ϕ = +
π
2
:
E x = E 0 x cos(ωt )
et
E y = E 0 y sin(ωt )
D’où :
 Ex

 E0 x
2
  Ey
 + 

  E0 y
2

 =1


C’est bien l’équation d’une ellipse d’axes (Ox) et (Oy), de longueurs E0x et E0y.
Si de plus les amplitudes E0x et E0y sont identiques égales à E0, l’ellipse correspond à un cercle :
E x2 + E y2 = E 02
La polarisation de l’onde EM est dite circulaire.
On montre facilement que si ϕ = +
π
2
, l’onde est circulaire gauche et que si ϕ = −
π
2
, l’onde est
cicutaire droite.
Application : décomposition d’une onde à polarisation rectiligne comme la superposition
de deux ondes circulaires :
17
Solution :
Animation cabri géomètre (Y.Cortial)
On utilise :
18
cos a cos b =
1
1
(cos(a − b) + cos(a + b)) ; sin a cos b = (sin(a + b) − sin(b − a ))
2
2
On utilise ici :
e jα + e − jα
cos α =
2
•
et
e jα − e − jα
sin α =
2j
Polarisation elliptique :
On rappelle que :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
19
La coordonnée selon (Oy) peut encore s’écrire :
E y = E 0 y (cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ )
Afin d’éliminer le temps, on écrit que :
cos(ωt ) =
sin ωt =
1
sin ϕ
Ex
E0 x
 Ey

E

− x cos ϕ 
 E0 y E0 x



Par conséquent, en utilisant cos 2 ωt + sin 2 ωt = 1 :
 Ex

E
 0x
2

1
 +

sin 2 ϕ

 E
 y
 E
 0y

2

 E
 − 2 y

 E0 y


 E x

 E 0 x


 E
 cos ϕ +  x

E

 0x
2



 cos 2 ϕ  = 1




Soit :
 Ex

E
 0x
2

 E
 − 2 x

E

 0x
 E y

 E
 0 y

 E
 cos ϕ +  y

 E0 y


20
2

 = sin 2 ϕ


Le sens de parcours de l’ellipse peut être déterminé en écrivant qu’à t = 0, au point A (voir
figure), lorsque Ex = E0x est maximal, on a :
 dE y

 dt



= ωE 0 y sin ϕ

 t =0
Animation cabri géomètre (Y.Cortial)
Le sens de rotation est donc donné par le signe de sin ϕ : si sin ϕ > 0, le parcours se fait dans le
sens trigonométrique, si sin ϕ < 0, il se fait dans le sens des aiguilles d’une montre.
Cas de la lumière naturelle :
Pour la plupart des sources lumineuses classiques, la lumière émise correspond à une
superposition d’OPPM de durées très courtes (de l’ordre de 10 – 10 s, mais n’oublions pas que la
période des ces ondes est de l’ordre de 10 – 15 s) et de polarisation bien fixée pour chaque onde
mais changeant de façon aléatoire entre deux ondes planes progressives monochromatiques.
Les détecteurs optiques sont sensibles à la valeur moyenne dans le temps du carré du champ
électrique (c’est l’intensité lumineuse) sur des durées de l’ordre de 10 – 12 s (œil) à 10 – 6 s (bonne
cellule photoélectrique). Ils ne peuvent donc pas suivre la polarisation d’une des OPPM dont la
succession forme la lumière visible : on dit que la lumière naturelle n’est pas polarisée.
21
Annexe
(Intérêt de l'étude de la propagation des ondes radio (Wikipédia))
Il peut être essentiel de comprendre les principes de la propagation des ondes pour pouvoir
prédire les chances et les conditions d'établissement d'une liaison radio entre deux points de la
surface de la Terre ou entre la Terre et un satellite.
Cela permet par exemple :
•
•
•
•
•
Le calcul de la puissance minimale d'un émetteur de radiodiffusion afin d'assurer une
réception confortable sur une zone déterminée ;
la détermination de la position d'un relais pour la radiotéléphonie mobile ;
l'estimation des chances d'établissement d'une liaison transcontinentale sur ondes
courtes ;
l'étude des phénomènes d'interférence entre émetteurs ;
le calcul du champ électromagnétique à proximité d'un équipement d'émission (radar,
relais, émetteur de télévision...) pour déterminer les risques encourus par la population se
trouvant à proximité.
Le niveau du signal reçu à l'extrémité du parcours sera plus ou moins élevé donc plus ou moins
exploitable en fonction de la fréquence d'émission, l'époque par rapport au cycle solaire, la saison,
l'heure du jour, la direction et la distance entre l'émetteur et la station réceptrice, ... . L'étude des
lignes de transmission et des phénomènes de propagation d'un signal dans une ligne peut aider à
optimiser les câbles utilisés dans l'établissement d'un réseau de transmission ou pour
l'alimentation d'une antenne.
Dans l'espace :
•
Déplacement d'une onde électromagnétique dans l'espace
Les ondes provoquées par la chute d'un caillou à la surface d'un étang se propagent comme des
cercles concentriques. L'onde radio émise par l'antenne isotropique (c'est-à-dire rayonnant de
façon uniforme dans toutes les directions de l'espace) peut être représentée par une succession de
sphères concentriques. On peut imaginer une bulle se gonflant très vite, à la vitesse de la lumière
c, très proche de 300 000 km par seconde. Au bout d'une seconde la sphère a 600 000 km de
diamètre. Si le milieu de propagation n'est pas isotrope et homogène, le front de l'onde ne sera
pas une sphère.
Comme une onde radio est une vibration, au bout d'une période, l'onde aura parcouru une
distance lambda appelée longueur d'onde. La longueur d'onde est une caractéristique essentielle
dans l'étude de la propagation ; pour une fréquence donnée elle dépend de la vitesse de
propagation de l'onde.
•
Variations du champ électrique
Plus on s'éloigne de l'antenne, plus l'intensité du champ électromagnétique rayonné est faible.
Cette variation est régulière dans un espace homogène, dans le vide, par exemple. À la surface de
la Terre, de nombreux phénomènes viennent contredire cette règle : il est fréquent que l'onde
reçue directement interfère avec une réflexion de cette onde sur le sol, un obstacle ou sur une
couche de l'ionosphère.
Pour une bonne réception, il est nécessaire que le champ électrique de l'onde captée ait un niveau
suffisant. La valeur minimale de ce niveau dépend de la sensibilité du récepteur, du gain de
22
l'antenne et du confort d'écoute souhaité. Dans le cas des transmissions numériques le confort
d'écoute est remplacé par le niveau de fiabilité requis pour la transmission.
L'intensité du champ électrique se mesure en volt/mètre.
Application des phénomènes d'optique à la propagation des ondes radio :
Une onde radio se distingue d'un rayonnement lumineux par sa fréquence : quelques dizaines de
kilohertz ou gigahertz pour la première, quelques centaines de térahertz pour la seconde.
Évidemment l'influence de la fréquence de l'onde est déterminante pour sa propagation mais la
plupart des phénomènes d'optique géométrique (réflexion...) s'appliquent aussi dans la
propagation des ondes hertziennes. Dans la pratique il est fréquent que deux ou plusieurs
phénomènes s'appliquent simultanément au trajet d'une onde : réflexion et diffusion, diffusion et
réfraction... Ces phénomènes appliqués aux ondes radioélectriques permettent souvent d'établir
des liaisons entre des points qui ne sont pas en vue directe.
Réflexion des ondes radio :
Une onde peut se réfléchir sur une surface comme le sol, la surface de l'eau, un mur ou une
voiture. On parle de réflexion spéculaire lorsque l'onde se réfléchit comme un rayon lumineux le
ferait sur un miroir. Une onde dont la fréquence est de l'ordre de quelques mégahertz peut se
réfléchir sur une des couches ionisées de la haute atmosphère. La réflexion d'une onde est plus
généralement diffuse, l'onde se réfléchissant dans plusieurs directions ainsi qu'un rayon lumineux
frappant une surface mate. Une antenne ou un miroir paraboliques fonctionnent de façon
similaire.
Réfraction des ondes radio :
Comme un rayon lumineux est dévié lorsqu'il passe d'un milieu d'indice de réfraction n1 à un
autre d'indice n2, une onde radio peut subir un changement de direction dépendant à la fois de sa
fréquence et de la variation de l'indice de réfraction. Ce phénomène est particulièrement
important dans le cas de la propagation ionosphérique, la réflexion que subit une onde
décamétrique dans l'ionosphère est en fait une suite continue de réfractions. Il est possible de
reproduire avec une onde radio dont la longueur d'onde est de quelques centimètres à quelques
décimètres le phénomène observé avec une lentille ou un prisme en optique classique.
Diffusion des ondes radio :
Le phénomène de diffusion peut se produire quand une onde rencontre un obstacle dont la
surface n'est pas parfaitement plane et lisse. C'est le cas des couches ionisées, de la surface du sol
dans les régions vallonnées (pour les longueurs d'ondes les plus grandes) ou de la surface des
obstacles (falaises, forêts, constructions...) pour les ondes ultra-courtes (au-dessus de quelques
centaines de mégahertz). Comme en optique, la diffusion dépend du rapport entre la longueur
d'onde et les dimensions des obstacles ou des irrégularités à la surface des obstacles
réfléchissants. Ces derniers peuvent être aussi variés que des rideaux de pluie (en
hyperfréquences) ou les zones ionisées de la haute atmosphère lors des aurores polaires.
Interférence de deux ondes radio :
Il faut distinguer le brouillage occasionné par deux signaux indépendants, mais possédant des
fréquences très proches, du phénomène d'interférence apparaissant lorsque l'onde directe
rayonnée par un émetteur est reçue en même temps qu'une onde réfléchie. Dans ce dernier cas,
les temps de parcours des deux ondes sont différents et les deux signaux reçus sont déphasés.
Plusieurs cas peuvent alors se présenter :
•
déphasage égal à un multiple de la période : les signaux sont en phase et se renforcent
mutuellement. Leurs amplitudes s'ajoutent.
23
•
déphasage d'un multiple d'une demi-période : les signaux sont en opposition de phase et
l'amplitude du plus faible se déduit de celle du plus fort. Si les deux signaux ont la même
amplitude, le niveau du signal résultant est nul.
•
déphasage quelconque : l'amplitude du signal résultant est intermédiaire entre ces deux
valeurs extrêmes.
Les phénomènes d'interférences peuvent être très gênants lorsque le temps de parcours de l'onde
indirecte varie : l'amplitude du signal reçu varie alors à un rythme plus ou moins rapide. Le
phénomène d'interférence est utilisé dans des applications couvrant de nombreux domaines :
mesure de vitesse, radiogoniométrie, ...
Propagation en fonction de la gamme de fréquence :
Ondes kilométriques :
Elles se propagent principalement à très basse altitude, par onde de sol. Leur grande longueur
d'onde permet le contournement des obstacles. Pour une même distance de l'émetteur, le niveau
du signal reçu est très stable. Ce niveau décroît d'autant plus vite que la fréquence est élevée. Les
ondes de fréquence très basse pénètrent un peu sous la surface du sol ou de la mer, ce qui permet
de communiquer avec des sous-marins en plongée.
Applications courantes : radiodiffusion sur Grandes Ondes (France-Inter, RTL...), diffusion des
signaux horaires (horloges radio-pilotées)... La puissance de ces émetteurs est énorme : souvent
plusieurs mégawatts pour obtenir une portée pouvant aller jusqu'à 1000 km.
Ondes hectométriques :
Les stations de radiodiffusion sur la bande des Petites Ondes (entre 600 et 1500kHz) ont des
puissances pouvant aller jusqu'à plusieurs centaines de kilowatts. Elles utilisent encore l'onde de
sol pour couvrir une zone ne dépassant guère une région française mais bénéficient après le
coucher du soleil des phénomènes de propagation ionosphérique.
Ondes décamétriques :
Les ondes courtes, bien connues des radioamateurs, permettent des liaisons intercontinentales
avec des puissances de quelques milliwatts si la propagation ionosphérique le permet car l'onde de
sol au-dessus de 2 ou 3 MHz ne porte guère au-delà de quelques dizaines de kilomètres. Entre 1
et 30 MHz, la réflexion des ondes sur les couches de l'ionosphère permet de s'affranchir du
problème de l'horizon optique et d'obtenir en un seul bond une portée de plusieurs milliers de
kilomètres. Mais ces résultats sont très variables et dépendent des modes de propagation du cycle
solaire, de l'heure de la journée ou de la saison. Les ondes décamétriques ont cédé le pas aux
satellites même si des calculs de prévision de propagation permettent de prédire avec une bonne
fiabilité les heures d'ouverture, les fréquences maxima utilisables et le niveau du signal qui sera
reçu.
Ondes métriques :
Les ondes métriques correspondent à des fréquences comprises entre 30 et 300 MHz incluant la
bande de radiodiffusion FM, les transmissions VHF des avions, la bande radioamateur des 2m...
On les appelle aussi ondes ultra-courtes (OUC). Elles se propagent principalement en ligne droite
mais réussissent à contourner les obstacles de dimensions ne dépassant pas quelques mètres.
Elles se réfléchissent sur les murs, rochers, véhicules et exceptionnellement sur des nuages ionisés
situés dans la couche E, vers 110 km d'altitude ce qui permet des liaisons à plus de 1000 km. En
temps normal, la portée d'un émetteur de 10 watts avec une antenne omnidirective est de
quelques dizaines de kilomètres mais il arrive aussi que l'indice de réfraction pour ces fréquences
fasse s'incurver vers le sol une onde qui se serait perdue dans l'espace. Des liaisons à quelques
centaines de kilomètres sont alors possibles. Certains radioamateurs effectuent des liaisons à
24
grandes distances en profitant de la réflexion des ondes métriques sur les traces ionisées par les
chutes de météorites et aussi sur les zones ionisées associées aux aurores polaires.
Ondes décimétriques et hyperfréquences :
Plus sa fréquence augmente, plus le comportement d'une onde ressemble à celui d'un rayon
lumineux. Les faisceaux hertziens permettent des liaisons à vue, comme le Télégraphe de Chappe,
mais par tous les temps et avec des débits d'informations des milliards de fois plus élevés. Aucun
obstacle de taille supérieure à quelques décimètres ne doit se trouver sur le trajet du faisceau. Ces
ondes se réfléchissent facilement sur des obstacles de quelques mètres de dimension ; ce
phénomène est exploité par les radars, y compris ceux utilisés aux bords des routes. C'est grâce
aux réflexions sur les bâtiments qu'il est possible d'utiliser un téléphone portable sans être en vue
directe de l'antenne du relais, mais les interférences entre ondes réfléchies rendent la
communication difficile, obligeant l'utilisateur à changer d'endroit ou à se déplacer de quelques
mètres simplement. Sur 10 GHz avec une puissance de quelques watts et des antennes
paraboliques de moins d'un mètre de diamètre, il est possible d'effectuer des liaisons à plusieurs
centaines de kilomètres de distance en se servant d'une montagne élevée comme réflecteur. Audessus de 10 gigahertz, le phénomène de diffusion peut se manifester sur des nuages de pluie,
permettant à l'onde d'atteindre des endroits situés au-delà de l'horizon optique.
Prévisions de propagation :
Le niveau du signal émis par une station d'émission (émetteur et antenne) en un point de l'espace
(ou de la surface de la Terre) peut être calculé avec une bonne précision si les principaux facteurs
déterminant la transmission sont connus. À titre d'exemple prenons deux cas : liaison en vue
directe sur 100 MHz et liaison à grande distance sur 10 MHz utilisant une réflexion sur la couche
E. Nous n'effectuerons évidemment pas ici les calculs.
Liaison directe sur 100 MHz :
On connaît :
•
La puissance de sortie de l'émetteur ;
•
Le diagramme de rayonnement de l'antenne d'émission et en particulier le gain de celle-ci
dans la direction qui nous intéresse et sa hauteur par rapport au sol ;
•
Le profil du terrain entre la station d'émission et le point de réception, tenant compte de
la rotondité de la Terre ;
•
La distance entre émetteur et point de réception ;
Des logiciels plus ou moins sophistiqués permettent de faire rapidement ce genre de calcul qui
peut éventuellement tenir compte de la conductivité du sol, des possibilités de réflexion, etc.
Si on ajoute les caractéristiques de la station de réception (antenne + récepteur), on pourra alors
calculer le bilan de la liaison, qui donnera la différence de niveau entre le signal utile et le bruit
radioélectrique.
Liaison utilisant une réflexion sur la couche E :
Les informations nécessaires sont :
•
La puissance de l'émetteur ;
•
le diagramme de rayonnement de l'antenne ;
•
la position géographique de chacune des deux stations mais aussi ;
•
la capacité de la couche E à réfléchir les ondes radio.
25
C'est le nombre de Wolf (ou Sun Spot Number, en abrégé : « SSN »), mais aussi la date et l'heure du
jour de la tentative de liaison qui permettra au logiciel de calculer les possibilités de propagation
ionosphérique. On connaîtra la probabilité d'établissement de la liaison en fonction de la
fréquence pour un rapport signal sur bruit donné.
Propagation guidée :
Pour transporter de l'énergie à haute fréquence d'un point à un autre, on n'utilise pas une rallonge
électrique ordinaire mais une ligne de transmission aux caractéristiques appropriées. La ligne est
composée de deux conducteurs électriques parallèles séparés par un diélectrique, très bon isolant
aux fréquences utilisées (air, téflon polyéthylène...). Si l'un des conducteurs est entouré par l'autre,
on parle alors de ligne coaxiale
Exemples de lignes de transmission :
•
De l'émetteur à l'antenne on utilisera un câble coaxial pouvant supporter des tensions de
plusieurs centaines ou milliers de volts sans claquage électrique.
•
Entre l'antenne parabolique et le récepteur de télévision par satellite les signaux de faible
amplitude seront transportés par un câble coaxial présentant de faibles pertes à très haute
fréquence.
•
L'antenne d'un radar utilisé pour le contrôle aérien est reliée aux équipements de
détection à l'aide d'un guide d'onde, sorte de tuyau métallique à l'intérieur duquel se déplace
l'onde.
•
Sur ondes courtes les radioamateurs utilisent parfois des lignes bifilaires pour alimenter
leur antenne.
•
Les circuits sélectifs utilisés dans les appareils fonctionnant à très haute fréquence
(supérieure à 300 MHz) sont très souvent des lignes.
Formation d'une onde dans une ligne :
Un générateur relié à une charge à l'aide d'une ligne va provoquer dans chacun des deux
conducteurs de la ligne l'établissement d'un courant électrique et la formation d'une onde se
déplaçant dans le diélectrique à une vitesse très grande. Cette vitesse est inférieure à la célérité de
la lumière mais dépasse fréquemment 200 000 km/s, ce qui implique que, pour une fréquence
donnée, la longueur de l'onde dans la ligne est plus petite que dans l'espace.
(longueur d'onde = célérité dans le milieu / fréquence )
Ondes progressives :
Lorsque la ligne est parfaitement adaptée au générateur et à la charge, condition remplie lorsque
l'impédance de sortie du premier et l'impédance d'entrée de la deuxième sont égales à l'impédance
caractéristique de la ligne, cette dernière est parcourue seulement par des ondes progressives.
Dans ce cas idéal la différence de potentiel entre les conducteurs et le courant qui circule dans
ceux-ci ont la même valeur quelque soit l'endroit où la mesure est effectuée sur la ligne. Une telle
ligne ne rayonne pas, le champ électromagnétique produit par l'onde progressive n'est pas
décelable à quelque distance de la ligne.
Ondes stationnaires :
Si la condition évoquée précédemment n'est pas remplie, ce qui arrive si l'impédance de la charge
est différente de l'impédance caractéristique de la ligne, la ligne va alors être le siège d'ondes
stationnaires. La tension mesurable entre les deux fils ne sera plus constante sur toute la longueur
de la ligne et vont apparaître :
26
des maxima de tension encore appelés ventres de tension correspondants à des nœuds de
•
courant
des minima de tension ou nœuds de tension associés à des maxima de courant (ventres de
•
courant).
Ce type de fonctionnement est généralement redouté si le taux d'ondes stationnaires (TOS) est élevé.
Les surtensions correspondant aux ventres de tension peuvent endommager l'émetteur, voire la
ligne. Les pertes par réflexion sur la charge sont élevées.
Pertes dans la ligne :
La résistance électrique (non nulle) des conducteurs constituant la ligne et l'isolement (non infini)
du diélectrique, provoquent un affaiblissement de l'amplitude de l'onde progressive parcourant la
ligne.
Ces pertes ont un double inconvénient :
•
affaiblissement du signal reçu et diminution de la sensibilité du système de réception.
•
réduction de la puissance transmise à l'antenne par l'émetteur.
Les pertes en ligne s'expriment en dB/m (décibel/mètre de longueur) et dépendent de nombreux
facteurs :
•
nature du diélectrique (matière, forme...)
•
type de ligne (bifilaire ou coaxiale)
•
fréquence de travail
Exemple : un câble coaxial très commun (ref. RG58A) d'une longueur de 30 mètres présente 6dB
de pertes à 130MHz.A cette fréquence, si l'on applique une puissance de 100 watts à l'entrée de
cette ligne on ne retrouvera que 25 watts à son extrémité, avec une perte de 6dB. À la fréquence
de 6MHz on retrouvera 95 watts et la perte n'est plus que de 1 décibel.
27