Corrigé On place un hamster dans une cage. Il se trouve face `a 5

Test 4 : Variables aléatoires discrètes
Corrigé
SQ20
On place un hamster dans une cage. Il se trouve face à 5 portillons dont un seul lui permet de sortir
de la cage. À chaque essai infructueux, il reçoit une décharge électrique et on le replace à l’endroit initial.
1. En supposant que le hamster ne soit pas doué d’apprentissage et qu’il choisisse donc de façon
équiprobable entre les 5 solutions à chaque nouvel essai, déterminer la probabilité des évènements :
(a) le hamster sort au premier essai,
(b) le hamster sort au troisième essai,
(c) le hamster sort au septième essai.
2. Le hamster mémorise maintenant les essais infructueux et choisit de façon équiprobable entre les
portillons qu’il n’a pas encore essayés. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre
d’essais effectués.
(a) Quelles valeurs peut prendre X ? Déterminer sa loi de probabilité.
(b) Déterminer l’espérance mathématique E[X] : interpréter le résultat.
(c) Déterminer la variance V (X).
1. À chaque essai, le hamster
a une probabilité
1
avant de réussir : N ∼ G 5 .
1
5
de sortir, et on doit compter N le nombre d’essais
(a) P(N = 1) = 15 .
(b) P(N = 3) =
(c) P(N = 7) =
2
4
5
1
5
=
16
125 .
6
4
1
4096
5
5 = 78125 ≈ 0, 052.
2. (a) X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}.
P(X = 1) = 51 , P(X = 2) = 45 × 14 = 15 (le hamster choisit un des 4 mauvais portillons parmi
5, puis le bon parmi les 4 restants.
P(X = 3) = 45 × 34 × 13 = 15 . De même, on montre que P(X = 4) = P(X = 5) = 15 : X ∼ UJ1,5K .
(b) E[X] = 5k=1 kP(X = k) = 15 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3 (ou directement par la formule de la loi
uniforme) : c’est le nombre moyen d’essais avant que le hamster réussisse à sortir.
P
(c) E[X 2 ] =
UTBM
P5
k=1 k
2 P(X
= k) = 15 (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = 11, donc V (X) = E[X 2 ] − E[X]2 = 2.
30 mars 2010