sommes d`entiers consécutifs - Académie de Clermont

SOMMES D’ENTIERS CONSÉCUTIFS
Xavier constate que pour calculer 9  10  11  12, il est possible de simplifier le
calcul en remplaçant cette somme par celle obtenue en continuant la liste des
nombres mais avec un terme de moins.
En effet 9  10  11  12  13  14  15.
On a bien simplifié le calcul puisque l'on est passé de 4 termes donc 3 additions
à 3 termes donc 2 additions.
Xavier choisit un autre exemple et constate également que :
16 17  18  19  20  21  22  23  24.
On passe ici de 4 additions à seulement 3.
1 2 9 0
Item 1
1 2 9 0
Item 2
1 2 9 0
Item 3
Peut-on appliquer cette méthode de simplification au calcul des sommes
suivantes :
456
25  26  27  28  29  30
36  37  38  39  40  41  42 ?
Cette affirmation est-elle toujours vraie ? Justifier la réponse.
Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n’est pas
terminé, il en sera tenu compte dans l’évaluation.
 Mots-clés
Calcul numérique, contre-exemple.
 Codage et analyse des réponses
Explication des codes :
Le code 1 correspond à ce qui est attendu.
Le code 2 correspond à une réussite partielle par rapport à ce qui est attendu.
Le code 9 correspond aux autres réponses.
Le code 0 correspond à l’absence totale de toute trace de réponse ou de recherche. Si l’élève a tenté
d’effacer ou a écrit une réflexion personnelle hors de propos, un code 9 sera attribué.
Item 1 : Rechercher, extraire et organiser l’information utile.
Les écritures des trois sommes proposées ont n – 1 termes correctement choisis (7 + 8 et
31 + 32 + 33 + 34 + 35 et 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48) ..................................................... code 1
Dans l’écriture des trois sommes proposées le nombre de termes est correct ou la liste est
constituée de nombres consécutifs avec le premier terme correct ...................................... code 2
Toute autre réponse ............................................................................................................ code 9
Absence de réponse ........................................................................................................... code 0
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Février 2013
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Item 2 : Nombres et calculs.
Les résultats des six additions sont justes et comparés convenablement........................... code 1
Au moins une des égalités est vérifiée avec des calculs justes .......................................... code 2
Toute autre réponse ............................................................................................................ code 9
Absence de réponse ........................................................................................................... code 0
Item 3 : Modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer.
Contre-exemple donné ou explication justifiant que l’affirmation n’est pas toujours vraie ... code 1
Démarche engagée partiellement correcte ou non aboutie ................................................. code 2
Toute autre réponse ............................................................................................................ code 9
Absence de réponse ........................................................................................................... code 0
 Commentaires
On pointe ici une difficulté de raisonnement : la généralisation d’une propriété.
Pour l’item 2, l’évaluation ne portera pas uniquement sur la capacité à calculer des sommes d’entiers
naturels, mais surtout sur celle à tester la véracité d’une égalité, en lien avec le commentaire que l’on
trouve dans le programme de cinquième dans la partie « nombres et calculs » : « La classe de
cinquième correspond à une étape importante avec le travail sur des égalités vues comme des
assertions dont la vérité est à examiner ».
Pour l’item 3, on attribuera le code 2 à toute recherche d’autres exemples, toute tentative de passage
à l’algèbre, ou toute réponse montrant que l’élève est conscient que trois exemples ne permettent pas
une généralisation.
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Février 2013
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