CANDIDATS N`AYANT PAS SUIVI L`I]NSEIGNEMINT

BÀCCÀLÀIJREÀT GENERÀL
Série scientifrque
sEssroN 2013
ÉPREIryE DE MATHÉMATIQUES
CANDIDATS N'AYANT PAS SUIVI L'I]NSEIGNEMINT
Durée 4 heüre§
-
I,E CÂNDIDAT TRÀITERÂ OBLIGÀ
LES OUATRT f,XERCICf,S
f,ê cstrdidal€3t invité à fâire 6gurer sur la
dê recherch€, mêm€ itrcomplètê ou
tron fructueusê, qu'il âurâ
Il €st râppelé que la qüâlité !Ëe ta rqlâctifu, Ia èlârté et la précision des r.isonnements
entreroDt pour unc pert inporfrnte dâff*Appl4êiation des copiB"
progranmables, alphanumériques ou à éüar graphique
soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune
qu'une seule machine sur sâ table. En cas de défaillance, elle poulm
entre cândidats, la consultation des notices fournies par les constructeurc
Fnformations par l'intermédiaire des fonctions de hansmission des calculatrices
aire n'99-186 du 16 novembre 1999)
Ce
sujè*&lrÉrte
7 pages dont une annexe en page 7.
Le candidat numérotera les feuillets rendus.
13
MÀSCOPOI
Pagel
l7
E)GRCICE 1 : (6 points) Comn an à tous
On considère la
fonction/ définie
les cùùdùlal§
sur R par
On note
€
la coulbe rcpréserfative de la
de la courbe
€
avec les axes du repère.
/(jr) = (x + 2) e-r
.
fonction/daDs un repère orthogonal.
1.
Étude de la
fonctionl
,. Déterminer les coordomées des points d'intersection
,- Étudier les limites de la fonction/en
courbe g.
-.o
et en + .o . En déduire les éventuelles aslmptotes à la
c. Étudier les vaiiations de la fonctior/sur R.
2.
Calcul d'une valeur approchê de l'aire sous une coube.
On note @ le domaine compris entre l'ax€ des abscisses, Ia coube € et les drcites d'équation
l. On approche l'aire du domaine O en calculant une somme d'aires de rectangles.
r = 0 et
r:
a. Dans cette questior! on découpe
.
sur I'inlervalte
.
sur l'imervâtte
l'intervalle [0,1] en quâtre intervalles de même longueur :
ui, *
. on
L 4l "on.t
fO,1l
recrangte de hauteur
/(0.)
l! !l
un r""rannt" a" rrrrt"* rf])
- or,
'(4/
14'21 "o**i,
. sur t ürervalle I l 1lj.on consr
,i un,..onnr.
- a. rrn r.* ,( !)
-
\2./
L2.4
.
.u,l inr.*ull. Il--l'l14',
I
on construir un recrana.
'
a.
r'",r"* "\4)
rfi)-
Cette construction est illustrée ci-dessous.
13 MÀSCOPO1
PrEe 2
l7
L'algorithme ci{essous permet d'obtenir une valeur approchée de l'aire du domaine O en ajoutant les
aires des qùaÎÿe rectangles précédents
:
variables: f est un nombrc
entier
S est un nombre réel
Initialisation
:
Àffecter à .S la valeur 0
Traitement: Pourf vadanide0 à3
AffecteràSlavaleur
,.ir(tJ
Fin Pôùr
Sortie
:
Afficher S
Donner une valeù approchée à lO-3 près du résultat affiché par cet algorithme.
,.
Dans cette question, -ÀIest uû nombre entier stdctement supéri€ur à 1. On decoup€ l'intervalle
[O
,l]
en
N intervalles de même longueur. Sur chacun de ces intervalles, on conshuit un rectangle en pro€édant
de la même manière qu'à la question 2.a-
Modifier l'algorithme précedent afin qu'il affiche en sorlie
coNtruits.
3.
Ia somme des aires des N rectangles âinsi
Calcul de la valeur exacte de l'airc sous une coube.
Soit g Ia foncüon définie su.r R pâr
g(r)
=
(-, -
3)
e-' . on
admet que la fonction g est une primitive de
la fonction/sur R.
a Calculer l'airc
exacte
J
dù domaine
9,
exprimée en unités d'aire.
,. Donner lme valeu
approchee à 10_3 près de l'ereur commise en remplaçant J{ par la valeur
approchée trouvée au moyen de l'algorithme à la question 2.4 c'est-à-dire de l'écart entre ces deux
valeurs.
I3 MASCOPOI
Pàge3
l7
E)GRCICE 2 : (4 points) Cnrflrrran
à lous les drrnlidals
Cel exercice esl un qüeslionnaire à choir muhiples. Aucune jùstiJicatioû n'est demandéL Po r chacûre des
questions, une seule des quatre propositions est exacte- Chaque réWnse coftecte rapporte uû poinL Une
ré1mnse erronée ou une absence de réponse n'ôte Ws de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro
de la question et la réponse choisie.
L
Soit z,
a.
=1Çsi et zr=,!ls-'1
-P!I)
J3e
ô.
2. L'Euation - z = t,
.1r1or*e
exponentielle de
12
Jl2e
- -ia
c.
i1
est:
i!l!
r:
-3 12
Jie
d JJe
d'inconnue complexe z, admet :
a. une solution
,. deux solutions
c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont silués sur une droite
d. une inlinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.
3. Dsnsunrepèredel'espace,onconsidèrelesûoispoinrsl(1,2,3),8(-1,5,4)etC(-1,0,4).La
droite parallèle à Ia droite
l, = -2t -t
tttl
d. ly.3t
.r€R
ttll
lz=t+4
4.
(lr)
passant par le point C a poul représentation psmmétrique
l,=-t
b. 1y-7t
.r€R
lz='7t+4
(r=-t-»
c. 1y-5r3, .r€R
lz= +t
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère le plan
e
passant par le point
:
(,=zt
d.l ÿ--3l .1€R
1,.-,
D(-l , 2,3)
et de
Ir=t-1
vecteurnormalt(3,-5,t),etladroite^derepresentationpammétrique{y=1+3,16p.
lz =2r +s
est perpendiculaire au plan
a. La droite
r.
,. La droite ^À est parallèle au plan f et n'â
c. Lâ droite À et le plân I sont sécants.
d La droite est incluse dans le plan 4.
pas de point commun avec le plan.4.
^
13 MÂSCOPO1
P^ge
417
EXERCICE 3 : (5 points) Comman à tous les candidats
Les 3 patties peuÿent être trailées de façon inüpendonle.
Thomas possède uû lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceaùx musicaux.
L'ensemble des morceâux musicaux qù'il possède se divise en tIois genres distincts selon la répârtition
suivante :
30 % de musique classique, 45
Thomas
a
Ô/o
de variété, le reste étant
dtjazz.
utilisé deux qualilés d'enmdage pour stocker ses morceaux musicaux : ün encodâge haute qualité
et un encodage standard. On sait que
:
.
Les
:
des morceau-y de musique classique sont encodés en haule qualilé.
.
L""
I9
d""
.o.""u*
de variété sont encodés en qualité standard.
On considérera les événements suivants :
C : « Le morceau écouté est un morceau de musique classique » ;
I/: « Le morceau écouté esl rm morceau de varieté » :
J: « Le morceau écouté est un morceâu dejazz » ;
11: « Iæ morceau écoute est encodé en haute qualité » ;
,S : « Le morceau écoute est encodé en qualité standard ».
Pârtie
I
Thomas décide d'écouter ùn morceau au hasard pamri tous les morceaux stockés sur son MP3 en utilisânt la
fonction « lecture aléatoirc ».
On
pouüa t'aidpr d'un arbre
de
probabilités.
1. Quelle est la probabilit€ qu'il s'agisse d'un morceaù
2. on
,
sâit ûue
de musique classique encodé en haute qualite ?
PrH)
,'2o= 1l-
d. Les événements C et llsont-ils indépendads
b. Calc\rler P(J H) et PrGl).
?
^
Parti€ 2
Pendant un long trajet en train, Thomas ecoute, en utilisant la fonction « lecture aléatoire » de son MP3, 60
morceaux de musique.
1. Déterminer I'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 o/o de la proportion de morceaux de
musique clâssiqùe dùs un échantillon de taille 60.
2. Thomas a comptabilisé qu'il avait écouté 12 morceau.\ de musique classique pendant sonvoyage. Peut-on
penser que la fonction « lecture aléatoirc » du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse ?
Prrtie 3
On considère la variable aléatoire xqui, à châque chanson stockée sur le lecteur MP3, associe sa duree
exprimée en secondes et on élablit que X suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
Ok poroaa
ailiser le tableaû fout i
e
ahnexe
da s lequel les ÿaleurs soht arrohdies au millièhe le ph8
On écoute rrn morceau musical au hasard.
1. Donner
2.
une valeiu approchée à l0-tr pres de
P(l$O<X <220).
Donner une valeur approchée à I 0-3 près de la probabilité que le morceâu ecouté dure plus de 4 minutes-
r3 MÂSCOPO1
P^ge 5
l7
EXERCICE 4 : (5 points) | Carrdùlals NUyAI'lî PAS SAIW
fe
seiSnemeil de spéci.tlilé
,rralhérnatiques
1. o. Cal(lJlet
,.
2.
q
Démontrer, par recurrence, qrre pour tout entier nâturel rt, 0 <
On admet que, poÙI tout entier naturel
4. Démôntrer
à. Démontrer
L
et u2.
(r,)
est croissânte.
que la suite
(r,)
converge.
a. Monûer
,.
que Ia suite (ÿ,
)
e
.
r, r, < l.
que la süte
Soit (v, ) la suile définie, pour rout
,,
ier naturel
,,
par
ÿ, ;L
l-u,
est une süte géométrique de
-
üison 3.
Exprimêr pour lout entier natwel n, ÿ, en fonction de û.
c. En déduire
qr.re,
pour tout entier
d, Déterminer la limite
13 MÂSCOPO1
de Ia suite
naturel4 z,
=
j1.
(ur).
P^eê 617
ÂNNE)(E de l'exercice 3
Xes't une vadâble aléatoire qui süt la loi normale d'espérance 200 et d'écart-type 20.
13 MÀSCOPO1
b
P(X <b)
140
0,001
150
0,006
160
o,023
170
0,067
180
0,159
190
0,309
200
0,500
210
0,691
220
0,841
230
0,933
240
0,977
250
0,994
260
0,999
PaEeT
l1