UV Commande numérique Transformée en Z Plan du cours Limites

Transcription

UV Commande numérique
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2 cours sur la transformée en Z (E. Chanthery)
2 TDs sur la transformée en Z (L. Hedjazi)
8 cours/TDs sur MATLAB (V. Mahout)
1 cours de présentation des TPs (V. Mahout)
5 TPs avec MATLAB et XPC Target
examen
Transformée en Z
3ème année MIC
E. Chanthery
Département Génie Electrique et Informatique
Commande numérique
1
V. Mahout
Limites du continu, besoin du discret
Plan du cours
1. Introduction
2. Transformée en Z
a. Définition, condition de convergence
b. Relation entre la transformée de Laplace et la TZ
3. Propriétés
4. Méthodes de calcul de la TZ
5. La transformée inverse
a. Méthodes analytiques
b. Méthodes numériques
3
Commande numérique
4
Commande numérique
Système discret : modélisation
Monde du continu
commande u(t)
Procédé
Signal analogique & signal numérique
Signal analogique : signal à temps continu mais qui n'est
pas forcément une fonction continue au sens mathématique
sortie y(t)
Signal analogique
continu
sortie captée
Te
Convertisseur
Convertisseur
Numérique/Analogique
Analogique/Numérique
CNA
CAN
uk
Te
yk
Processeur
Signal analogique
non continu
Monde du discret
5
Commande numérique
6
Echantillonnage
Signal continu & signal numérique
Signal numérique: signal défini par des points distincts,
distants d’une période d’échantillonnage. On parle aussi de signal
discret.
Commande numérique
Échantillonnage : opération mathématique qui, à un
signal à temps continu x(t), fait correspondre la suite
discrète de valeurs que prend ce signal à des instants
privilégiés tk avec k entier relatif :
xk
x(kT)=x(t) , t= kT
x(kT) noté x(k) ou xk
t6 t7
t-3 t-2 t-1
7
t0
t1 t2 t3 t4 t5
t8 t9
Commande numérique
8
Commande numérique
Echantillonnage: illustration
Signal discret
• On note Imp(k) l’impulsion discrète
– Imp(k) = 1 pour k = 0
– Imp(k) = 0 sinon
• Toute fonction discrète est une somme infinie d’impulsions
pondérées
Te
+∞
x(n) =
∑x
k
Im p(n − k)
k = −∞
xk est la valeur de x en t = kTe
Te : période d'échantillonnage
fe =1/Te : fréquence d'échantillonnage
Commande numérique
9
Commande numérique
10
Système discret : CNA
Monde du continu
commande u(t)
Procédé
Bloqueurs d’ordre 0
x
sortie y(t)
• Garde la valeur pendant la durée Te
sortie captée
Te
Convertisseur
Convertisseur
Numérique/Analogique
Analogique/Numérique
CNA
CAN
uk
Processeur
Objectif : l’expression B0(p)
Te
1
yk
t
Réponse à un Dirac : somme de 2
fonctions échelon
b0 (t) = u(t) − u(t − Te )
Monde du discret
On fait appel à des BLOQUEURS qui vont maintenir la valeur de
signal pendant une période d’échantillonnage
11
t
x
Commande numérique
12
(
B0 (p) =
1 1 − Tep 1
− e
= 1 − e − Tep
p p
p
B0 (p) =
1
1 − e − Tep
p
(
)
)
Commande numérique
Bloqueurs d’ordre 1
• Prend la pente précédente pendant la durée Te
Plan du cours
1. Introduction
x
3. Propriétés
t
Commande numérique
13
14
La transformée en z
Condition de convergence - Remarque
• En continu : étude et analyse des signaux et systèmes Æ
utilise une modélisation à partir de la transformée de Laplace
• Si la série converge, X(z) est une fonction complexe de z
• Le domaine de convergence est une couronne centrée
sur l’origine
• En discret : utilisation de la transformée en Z
La transformée
en Z s’applique sur des signaux discrets du type
+∞
x(n) =
∑
Remarque:
Pour un signal à temps continu x(t) échantillonné, on
utilisera par abus de langage :
X(z) = Z[x(t)]
xk Im p(n − k)
k = −∞
Soit z une variable complexe,
Commande numérique
z = re jθ
On appelle transformée en z de x(n) la somme de la série:
∞
X(z) =
∑x z
k
−k
; z > R0
k = −∞
Notation : X(z) ou
15
Z [x(n)] ou TZ(x)
Commande numérique
16
Commande numérique
Exemples
Exemples (correction)
Que vaut X(z)?
Que vaut X(z)?
• Impulsion discrète
⎧1
x(k) = δ(k) = ⎨
⎩0
• Impulsion discrète
si
k=0
si
k≠0
⎧1
x(k) = δ(k) = ⎨
⎩0
si
k=0
si
k≠0
On utilise la définition de X(z):
• Echelon discret
⎧1
x(k) = Γ(k) = ⎨
⎩0
x(k)
∞
si
si
k≥0
k<0
X(z) =
1
−k
=1
k = −∞
k
-2
-1
0
1
2
3
4
Commande numérique
17
∑ δ(k)z
Commande numérique
18
Exemples
Que vaut X(z)?
Que vaut X(z)?
x(k)
4
x(k)
• Echelon discret
• rampe
⎧1
x(k) = Γ(k) = ⎨
⎩0
si
k≥0
si
k<0
1
⎧k
x(k) = kΓ(k) = ⎨
⎩0
k
-2
-1
0
1
2
3
3
4
si
si
2
k≥0
k<0
1
k
-2
-1
0
1
2
3
4
On utilise la définition de X(z) :
∞
X(z) =
∑ Γ(k)z
−k
= 1 + z −1 + z − 2 + ... + z −k + ...
• puissance
k = −∞
Dans le domaine où
X(z) =
19
1
1 − z −1
=
z >1
la série converge vers:
⎧⎪ ak
x(k) = ak Γ(k) = ⎨
⎪⎩0
z
z −1
Commande numérique
20
si
k≥0
si
k<0
Commande numérique
Que vaut X(z)?
x(k)
4
• rampe
Remarque:
3
⎧k
x(k) = kΓ(k) = ⎨
⎩0
si
si
2
k≥0
k<0
1
Dans le cas où la rampe provient d’un échantillonnage à la
période Te alors
k
-2
-1
0
1
2
3
4
En appliquant la définition:
∞
X(z) =
k =0
∞
= −z
∑
kz −k = z
∞
∑
⎧kT si
x(k) = kTe Γ(k) = ⎨ e
si
⎩0
∞
d −k
(z )
dz
k =0
kz −k −1 = −z
k =0
∑
d ⎛ 1 ⎞
d ⎛ z ⎞
z −1− z
z
d
z −k = −z
=
⎜
⎟ = −z
⎜
⎟ = −z
dz k = 0
dz ⎝ 1 − z −1 ⎠
dz ⎝ z − 1 ⎠
(z − 1)2
(z − 1)2
∑
X(z) =
z
2
(z − 1)
Commande numérique
21
X(z) =
k≥0
k<0
Tez
(z − 1)2
Commande numérique
22
Relation entre plan de Laplace et
Transformée en z
Exemples
Que vaut X(z)?
• puissance
⎧⎪ ak
x(k) = a Γ(k) = ⎨
⎪⎩0
k
si
k≥0
si
k<0
En appliquant la définition:
Re
∞
X(k) =
∑
ak z −k =
k =0
∞
⎛ a⎞
⎜ ⎟
z
k =0 ⎝ ⎠
∑
Re
k
1
Im
Im
0
Cette série converge si z > a
Et dans ce cas
X(z) =
1
1−
23
a
z
=
z
z−a
Commande numérique
Plan en z
Plan de Laplace
Le demi-plan réel négatif devient le disque centré en 0 et de rayon 1 :
{p
24
{
}z
≤ 0}L → z ≤ 1
Commande numérique
Transformée en z
Re
Transformée en z
Re
Im
Re
Re
Im
Im
Im
0
0
Plan en z
Plan de Laplace
Une droite verticale devient un cercle centré en 0
Commande numérique
25
Plan en z
Plan de Laplace
Un pôle dans Laplace reste un pôle
Commande numérique
26
3- Propriétés
Plan du cours
1. Introduction
• Linéarité :
TZ(af+bg) = a TZ(f) + b TZ(g)
• Retard:
TZ(f(k-k0)) = z-k0 TZ(f)
Ex: si à x(n) on fait correspondre y(n) tel que
yk=xk-1 alors Y(z) = z-1X(z)
3. Propriétés
• Transforme la convolution en produit :
g(n) = x(n) * y(n) c-à-d gn =
Alors TZ(g) = TZ(x). TZ(y)
Commande numérique
k n −k
k
27
∑x y
• Multiplication par ak : TZ(ak f(k)) = F(z/a)
28
Commande numérique
Théorèmes
Plan du cours
• Théorème de la valeur initiale
1. Introduction
x 0 = lim X(z)
z→∞
3. Propriétés
• Théorème de la valeur finale
x ∞ = lim(z − 1)X(z)
z →1
Les pôles de X(z) doivent être strictement plus petits que 1
Commande numérique
29
Commande numérique
30
Résumé de quelques
transformées usuelles
Calcul de la TZ en fonction de la suite x(k)
Utilisation de la définition
∞
X(z) =
∑x z
k
−k
; z > R0
k = −∞
TZ(δ(k)) = 1
Exemple : (voir slides précédents) ou
TZ(Γ(k)) =
xk=0 pout tout k<0 et pour tout k > 2
x(k)
x0=1
x1=-1
1
x2=0.5
TZ(rampe) =
1
Tez
1
z
→ e − at →
p+a
z − e − at
1
2
(z − 1)
2
(p + a)
→ te − at →
Teze −at
(z − e − aTe )2
k
-2
-1
0
2
3
4
TZ(ak ) =
X(z) = 1 − z −1 + 0.5z −2
31
z
1
=
z − 1 1 − z −1
Commande numérique
32
z
z−a
Commande numérique
Calcul de la TZ
à partir de la fonction de transfert
Condition d’applicabilité : il faut vérifier que les xk soient en
nombre fini, i-e
lim X(p) = 0
p→∞
Méthode 1 : décomposition en éléments simples
X Décomposition en éléments simples de X(p)
Y Utilisation de la table des transformées
Exemple: Calcul de la TZ de H(p) =
Condition d’applicabilité : les xk sont en nombre fini, i-e
lim H(p) = 0
p→∞
Méthode 1 :
X Décomposition en éléments simples de X(p)
H(p) =
K
p(p2 + 3p + 2)
⎡ −1
0.5
0.5 ⎤
= K⎢
+
+
⎥
p ⎦
⎣p + 1 p + 2
Y Utilisation de la table des transformées
K
p(p2 + 3p + 2)
⎡
z
0.5z
0.5z ⎤
H(z) = K ⎢−
+
+
−T
z − 1 ⎥⎦
z − e − 2 Te
⎣ z−e e
Commande numérique
33
Calcul de la TZ
Commande numérique
34
Calcul de la TZ
Calcul de la TZ
Méthode 2 : Méthode des résidus
X(z) =
∑
pôles pi de X(p)
X(z) =
⎡ X(p) ⎤
Résidupi ⎢
Tp⎥
⎣1 - z-1e e ⎦
⎡ X a(a) ⎤
Résidua = ⎢
T a⎥
⎣1 − z −1e e ⎦
⎡ X(p) ⎤
Résidupi ⎢
Tp⎥
⎣1 - z-1e e ⎦
pôles pi de X(p)
∑
Exemple pour : H(p) =
K
p(p2 + 3p + 2)
Pôles : p=0; p=-1; p=-2
Calcul des résidus:
• si a est un pôle d’ordre 1 de X(p), on note Xa(p)=(p-a)X(p)
⎡ X a(a) ⎤
Résidua = ⎢
T a⎥
⎣1 − z −1e e ⎦
Résidu0 =
K
2 = K. 0.5z
z −1
1 − z −1
Résidu − 2 =
Résidu −1 =
−K
1 − z −1e − Te
=K
−z
z − e − Te
K
0.5z
2
=K
1 − z −1e − 2 Te
z − e − 2 Te
• si a est un pôle d’ordre 2 de X(p), on note Xa(p)=(p-a)²X(p)
Résidua =
35
⎛ 0.5z
−z
0.5z ⎞
+
+
H(z) = K⎜⎜
⎟⎟
− Te
−
z
1
z−e
z − e − 2 Te ⎠
⎝
X a(p)' (1 − z −1e Tep ) + X a(p)Tez −1e Tep
(1 − z −1e Tea )2
a
Commande numérique
36
Commande numérique
Calcul de la TZ
⎡ X(p) ⎤
X(z) =
Résidupi ⎢
Tp⎥
⎣1 - z-1e e ⎦
pôles pi de X(p)
∑
Exemple pour :
H(p) =
⎡ X a(a) ⎤
Résidua = ⎢
T a⎥
⎣1 − z −1e e ⎦
Calcul de la TZ
X(z) =
∑
pôles pi de X(p)
K
p(p + 1)
⎡ X a(a) ⎤
Résidua = ⎢
T a⎥
⎣1 − z −1e e ⎦
⎡ X(p) ⎤
Résidupi ⎢
Tp⎥
⎣1 - z-1e e ⎦
Exemple pour : H(p) =
K
p(p + 1)
Pôles : p=0; p=-1
Résidu0 =
K
1 − z −1
= K.
z
z −1
Résidu−1 =
⎛ z
−z
+
H(z) = K⎜⎜
−T
⎝z −1 z − e e
Commande numérique
37
38
−K
1 − z −1e − Te
Commande numérique
Méthode 1: méthode des résidus
xk =
1. Introduction
∑ Résidu [z
pôles z i de z
−z
z − e − Te
⎞
⎟⎟
⎠
La transformée inverse
Plan du cours
=K
k -1
zi
k −1
X (z )
X(z) → x(n)
]
X(z)
Calcul des résidus:
• Dans le cas général
3. Propriétés
Si a est un pôle d’ordre 1 de zk-1X(z) : Résidua = (z − a)zk −1X(z)
(
• Attention pour k = 0
z
k −1
X(z)
X(z) =
z
Si 0 est un pôle d’ordre 1 de X(z)
alors c’est un pôle d’ordre 2 de
Commande numérique
)
2 k −1
Si a est un pôle d’ordre 2 de zk-1X(z) : Résidua = (z − a) z X(z)
39
a
40
X(z)
z
Commande numérique
'
a
X(z) → x(n)
∑ Résidu [z
xk =
zi
pôles z i de z k -1 X(z)
Exemple pour X(z) =
k −1
X (z )
]
xk =
z
z−e
Exemple pour
−a
x0 = 1
Y Pour k>0 : on cherche les pôles de zk −1
1
X(z) =
k −1
X (z )
]
1
(z − 1)2
=1
z − e−a
z
=
z − e−a
−a
Le pôle est z = e −a et Résidue− a = (z − e )
zk
z − e−a
zk
z − e−a
= e − ak
e−a
∀k, xk = e −ak
Commande numérique
41
∑ Résidu [z
xk =
Exemple pour
zi
X(z) =
k −1
X (z )
Méthode 2:
]
Les pôles sont z = 1 (double) et z = 0 (simple)
2
z(z − 1)
=1
0
⎛
⎞
1
⎟
Résidu1 = ⎜⎜ (z − 1)2.
2 ⎟
−
z
(
z
1
)
⎝
⎠
x0 = 1 − 1 = 0
Y Pour k>0 : on cherche les pôles de
Le pôle est z = 1
∀k > 0, xk = k − 1
′
1
⎛1⎞
=⎜ ⎟
⎝z⎠
Exemple pour X(z) =
′
=
1
−1
z2
X(z) → x(n)
décomposition en éléments simples de X(z)
et utilisation de la table de transformées z
1
(z − 1)2
X(z)
1
X Pour k=0 : on cherche les pôles de
=
z
z(z − 1)2
1
Commande numérique
42
X(z) → x(n)
43
zi
X(z) → x(n)
X(z)
z
1
=
=
z
z(z − e − a ) z − e − a
Le pôle est z = e-a et Résidue − a = (z − e − a ).
Résidu0 = z.
∑ Résidu [z
X Pour k=0 : on cherche les pôles de
xk = e −ak
2z
(z − 1)(z − 0.5)
= −1
1
zk −1
(z − 1)2
⎛
zk −1 ⎞⎟
Résidu1 = ⎜ (z − 1)2.
⎜
− 1)2 ⎟⎠
(
z
⎝
′
( )′
= zk −1
1
= (k − 1)zk − 2
1
Commande numérique
1
= k −1
44
Commande numérique
Méthode 2:
X(z) → x(n)
décomposition en éléments simples de X(z)
et utilisation de la table de transformées z
Exemple pour X(z) =
Méthode 3:
2z
(z − 1)(z − 0.5)
division polynomiale
On cherche à retrouver les coefficients xk par la définition
∞
X(z) =
X(z)
2
4
4
=
=
−
z
(z − 1)(z − 0.5) z − 1 z − 0.5
4z
4z
−
z − 1 z − 0.5
Méthode 3:
X(z) → x(n)
; z > R0
z
z−2
division polynomiale
∞
X(z) =
Méthode 4:
X(z) =
∑x z
k
−k
; z > R0
Exemple pour X(z) =
z
z-2
2
2-4z-1
N(z −1 )
D(z −1 )
X(z) → x(n)
méthodes des récurrences
=
b0 + b1z −1 + b2z −2 + ... + bmz −m
a0 + a1z −1 + a2z − 2 + ... + adz − d
Rappel: si à x(n) on fait correspondre y(n) tel que
k = −∞
yk=xk-1 alors Y(z) = z-1X(z)
z
z−2
−1
a0 X(z) + a1z X(z) + a2z −2 X(z) + ... + adz −dX(z) =
z-2
b0 + b1z −1 + b2z − 2 + ... + bmz − m
1+2z-1+4z-2…
-1
- 4z-1
4z -8z-2
a0 xk + a1xk −1 + a2 xk − 2 + ... + adxk − d =
Donc x0=1; x1=2; x2=4, …
b0 Im p(k) + b1 Im p(k − 1) + b2 Im p(k − 2) + ... + bm Im p(k − m)
8z-2
47
−k
Commande numérique
46
On cherche à retrouver les coefficients xk par la définition
-
k
xk = 4Γ(k) − 4(0.5)k
Commande numérique
45
∑x z
k = −∞
Exemple pour X(z) =
X(z) =
X(z) → x(n)
Commande numérique
48
Commande numérique
Méthode 4:
X(z) → x(n)
Fonctions de transfert discrètes
méthodes des récurrences
Déf:
Exemple pour
X(z) =
1
2
(z − 1)
X(z) =
=
un système numérique est défini par une relation de
récurrence entre son entrée e(k) et sa sortie y(k)
Cette équation est de la forme:
1
(z − 1)2
1
2
z − 2z + 1
=
z −2
y(k + n) + an −1y(k + n − 1) + ... + a1y(k + 1) + a0 y(k) =
1 − 2z −1 + z − 2
b0e(k) + b1e(k + 1) + ... + bme(k + m)
X(z) − 2z −1X(z) + z − 2 X(z) = z − 2
Comme cette équation est causal, la sortie à k+n ne peut
dépendre que de l’entrée aux instants d’avant
m≤n
On appelle fonction de transfert G(z) du système le rapport
entre la transformée en z de la sortie Y(z) et celle de l’entrée E(z)
xk = 2xk −1 − xk − 2 + Im p(k − 2)
G(z) =
Commande numérique
49
50
Fonction de transfert avec bloqueur
b0 + b1z + ... + bmzm
Y(z)
=
E(z) a0 + a1z + ... + an −1zn −1 + zn
Commande numérique
Méthodes de numérisation
x(t)
x*
B0(p)
T(p)
x*
Méthodes approchées qui consistent à trouver une
approximation de p=f(z) en approximant une dérivée
F(z)
⎡
T(p) ⎤
F(z) = TZ[B0 (p)T(p)] = TZ⎢(1 − e − Tep )
⎥
p ⎦
⎣
⎡ T(p) ⎤
F(z) = (1 − z −1 )TZ⎢
⎥
⎣ p ⎦
u(t + Te ) − u(t)
u& = lim
Te → 0
Te
Commande numérique
p≡
z −1
Te
p≡
1 − z −1
Te
• 2ème méthode d’Euler:
u(t) − u(t − Te )
u& = lim
Te → 0
Te
51
kTe (k+1)Te
• 1ère méthode d’Euler :
52
Commande numérique
Méthodes de numérisation (2)
Application
x& (t)
• Pour un PI: Re g(p) = K
• Intégration par la méthode des trapèzes:
L’aire sous la courbe de x& (t) est approximée
par l’aire du trapèze
1 + Tip
Tip
1ère méthode d’Euler :
kTe (k+1)Te
On note : x& = e
(k +1)Te
∫
kTe
⎞
⎛ Te
⎜⎜
− 1⎟⎟z −1 + 1
T
i
⎠
Re g(z) = K ⎝
1 − z −1
+ ek
+ ek
e
e
Te donc xk +1 − xk ≈ k +1
Te
x& (t)dt ≈ k +1
2
2
(z + 1)TZ(e)
On passe en TZ : (z − 1)X(z) ≈
Te donc :
2
2 z −1
TZ(e) = TZ(x& ) =
X(z)
2 z −1
Te z + 1
p≡
Te z + 1
1+
2ème méthode d’Euler :
Re g(z) = K
Tustin :
⎛ Te
⎞
T
⎜⎜
− 1⎟⎟z −1 + e + 1
2Ti
2Ti
⎝
⎠
Re g(z) = K
1 − z −1
Approximation
de Tustin
Remarque: l’approximation de Tustin est la plus fine des 3
approximations proposées
53
Commande numérique
54
Te
− z −1
Ti
1 − z −1
Commande numérique

UV Commande numérique Transformée en Z Plan du cours Limites

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