Autour des points de Lagrange

Transcription

Autour des points de
Lagrange
Un exemple de thème
traité en séance d’informatique
CPGE MP 2ème année
Christophe Lagoute
Professeur de Physique
Lycée Bellevue
Séances d’informatique
Familiarisation avec un logiciel de calcul
scientifique
Durée 2 h
MAPLE très utilisé en CPGE

Intérêt du thème

Contenu physique
Mise en œuvre du calcul formel (MAPLE)
Mise en œuvre du calcul numérique
Outils mathématiques adaptés à la filière MP
Ouverture sur les systèmes dynamiques
Pré-requis de 1ere année
Culture générale scientifique
Objet de problèmes de concours
Que sont les points
de Lagrange ?
Des positions d’équilibre du problème des
3 corps « restreint »
Des lieux « intéressants »

1. Pour l’astrophysique du système solaire
2. Pour la navigation des sondes spatiales

Une source d’inspiration pour la littérature
de science-fiction
Pré-requis
Mécanique du point matériel

-
3 lois de Newton
Energétique
Recherche de points d’équilibre
Loi de la gravitation universelle
Problème à deux corps

Les objectifs pédagogiques
Recherche des points de Lagrange
Méthode des perturbations
Utilisation appropriée du calcul symbolique
Intégration numérique
Modes d’oscillation
Mise en évidence des effets non linéaires
Prolongations :
Code à N-corps
Système chaotique de Sitnikov

Episode I
Approche théorique
Calcul formel
Sur la dynamique gravitationnelle
L’interaction gravitationnelle est la seule
des 4 interactions fondamentales à agir
à l’échelle astronomique
=> les équations de la dynamique
gravitationnelle sont non linéaires
Construction du système
Restrictions du problème
R* galiléen :
A1, A2 et A3 dans le plan z=0
m3<<m1 et m3<<m2
A1 et A2 en orbites circulaires
Etude préliminaire du système A1, A2
Résultats de première année :

R* => m1R1 = m2R2
Réduction du problème à deux corps
Cas du mouvement circulaire
R3ω2 = G(m1+m2)
Comment obtenir les points
d’équilibre de A3 ?
Réponse systématique des étudiants :
On examine la surface de potentiel
Фg(A3), à la recherche d’extremums
On trouve un col…
Coïncide-t-il avec le centre de masse ?
non …
On trouve un col…
Le point trouvé est animé d’un mouvement
de rotation uniforme
Peut-on envisager que A3 suive cette
trajectoire ?
l’accélération normale étant nulle :
non …
Dans R*le potentiel dépend du
temps
Les étudiants réalisent que la difficulté de
l’analyse est due à la dépendance temporelle
du potentiel dans R* :
Ф = Ф(t,A3)
Existe-t-il un meilleur référentiel ?
Le référentiel « tournant » R’
Ф’ = Ф’(A3)
Les forces d’inertie dans R’
Inertie de Coriolis (puissance nulle)
Inertie d’entraînement (force centrifuge)

Ф’ = Ф’(A3)
Position des points de Lagrange
Infaisable pour un élève de MP dans un temps
raisonnable
Le calcul formel prend la relève !

Position des points de Lagrange
A1, A2 et L4 forment un triangle équilatéral
Stabilité de L4 et L5
Question des étudiants :
Pourquoi étudier la stabilité, puisque L4 et L5 sont
des maximums ?
Réponse du professeur :
Parce que vous oubliez la force de Coriolis…
Comment étudier la stabilité d’un point d’équilibre en
présence d’une force qui ne dérive pas d’une énergie
potentielle ?
On étudie le mouvement de A3 au voisinage du point
d’équilibre (L4)
On écrit la 2ème loi de Newton au voisinage de L4 :
=> on linéarise en x(t) et y(t)
Avec l’aide du calcul formel…
On obtient un système linéaire d’équations différentielles :
avec :
La solution s’écrit :
La stabilité est garantie s’il n’y a pas de divergence
de la solution
=> pas de valeur propre à partie réelle strictement
positive
Stabilité de L4 et L5
La condition nécessaire et suffisante de stabilité
s’écrit :
Conclusion de l’épisode I

Revisite de la mécanique de 1ère année
Grapheur permet de découvrir les 5 points de
Lagrange
Le calcul formel donne rapidement :
La configuration en triangle équilatéral A1,A2,L4
La condition de stabilité de L4 et L5
Episode II
Trajectoires
Calcul numérique
Les équations du mouvement
La 2ème loi de Newton donne :
Méthode de Runge-Kutta au 4ème ordre…
Au voisinage de L4 :
La force de Coriolis confine A3 autour de L4
Pourquoi une telle trajectoire ?
Analyse de x(t)
Pour interpréter x(t), les étudiants proposent une
analyse spectrale :
Contenu spectral de x(t)
La résolution des équations linéarisées a introduit
4 valeurs propres opposées deux à deux :
±0,088 j et ±0,135 j
=> On les retrouve dans le spectre
Contenu spectral de x(t)
Autre interprétation :
Equations de deux oscillateurs couplés :
=> Il existe deux modes propres
Description de la trajectoire
Au voisinage de L4 le mouvement s’écrit :
C’est une ellipse de Lissajous, dont le centre est
mobile sur une autre ellipse de Lissajous
Evocation de la théorie des épicycles des anciens
grecs…
Description de la trajectoire
La trajectoire reste confinée autour de L4 dans
une zone dont la dimension est de l’ordre de
grandeur de la perturbation
Précision sur la notion de stabilité
L’équilibre d’un système est stable si,
suite à une perturbation,
le système retourne à cet équilibre
ou
si le mouvement engendré reste faible et confiné
autour de cet équilibre
Au-delà de L4
Que se passe-t-il si l’on s’écarte encore un peu
plus de L4 ?
Encore plus loin de L4
On passe progressivement d’un système linéaire
à un système non linéaire
L’enrichissement spectral est la signature des
effets non linéaires
Si l’on s’écarte encore plus de L4 ?
Conclusion de l’épisode II

Le mouvement présente deux fréquences
caractéristiques
La trajectoire ressemble à une épicycle
Un équilibre est stable en cas de confinement de
faible amplitude
Les effets non linéaires produisent un
enrichissement spectral
Poursuite du thème (pour les 5/2)
Episodes III et IV

Développement d’un code 3-corps non restreint,
puis N-corps
Etude d’un système chaotique à 3 corps : le
système de Sitnikov
A3
A2
C
A1