1S ACP Soutien

1S ACP Soutien
Ex 1 (corrigé page suivante)
DS 6
Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu’un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7.
Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons.
Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas.
S’il n’y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d’un banc dans 5 % des cas.
On note : B l’évènement : « il y a un banc de poissons sur zone » et B l’évènement contraire de B ;
S l’évènement : « le sonar indique l’existence d’un banc de poissons » et S l’évènement contraire de S.
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant.
0,8
0,7
S
B
0,05
S
2. Déterminer la probabilité qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.
3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
4. Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :
Situation 1 : un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse.
Dans ce cas le pêcheur gagne 2 000 euros.
Situation 2 : il n’y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le
pêcheur perd 500 euros.
Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu’il y en ait ou pas). Le filet n’est pas lancé et le bateau rentre au
port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros.
4.a. Déterminer la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé.
4.b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
Ex2 :
désigne un réel.
On considère l’ensemble
des points ( ; ) tels que : ² + 2 + ² − 4 + = 0
1. On prend = 0
1.a. Montrez que l’ensemble
est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
1.b. L’affirmation « 2 + − 5 = 0 est une équation cartésienne de la droite T tangente au cercle
en (1; 3) » est-elle
vraie ? Justifiez.
2. L’affirmation « Pour toute valeur du réel , l’ensemble
est un cercle » est-elle vraie ? Justifiez.
Ex3 :
Une ville dispose de deux maternités.
Sur le mois de janvier 2007, il y a eu 57 naissances à la maternité « Beaux Jours » ; les tailles des 57 nouveau-nés sont
données dans le tableau ci-dessous :
Taille en cm
46
47,5
48
48,5
49
49,5
50
50,5
51
51,5
52
52,5
effectif
1
2
3
5
5
7
9
8
7
5
2
2
1°) a) A l’aide des fonctions statistiques de la calculatrice, déterminer à 1mm près, la taille moyenne x et l’écart-type des
nouveau-nés à la maternité « Beaux Jours » .
2°) Calculer le pourcentage des tailles comprises entre x – s et x + s.
3°) Déterminer la médiane me, puis le premier et le troisième quartile, puis le premier et le neuvième décile de la série des
tailles des nouveau-nés à la maternité « Beaux Jours ».
Interpréter la médiane et le premier quartile.
4°) Dans l’autre maternité « Bon accueil », il y a eu 64 naissances durant le mois de janvier 2007, la taille moyenne est de
49,2 cm.
L’étude statistique a donné les résultats suivants :
minimum
D 1’
Q 1’
médiane
Q 3’
D 9’
maximum
46
46,5
48
49
50,5
52
53
a) Tracer soigneusement les diagrammes en boîte correspondant à chacune des maternités.
On les disposera côte à côte ou l’un en dessous de l’autre pour permettre des comparaisons.
b) Parmi ces deux maternités, une seule possède un service pour les naissances prématurées.
Préciser laquelle en appuyant votre justification sur la comparaison des deux diagrammes.
5°) Calculer à 1mm près la taille moyenne t des bébés nés en janvier 2007 dans cette ville.
53
1
Ex2
1.a. + 2 +
− 4 + 0 = 0 ⟺ ( + 1) − 1 + ( − 2) − 4 = 0 ⟺ ( + 1) + ( − 2) = √5
Ainsi , l’ensemble
est le cercle de centre (−1; 2) et de rayon √5
1.b.
⋆ ! ² + 2 ! + ! ² − 4 ! = 1² + 3² + 2 × 1 − 4 × 3 = 1 + 9 + 2 − 12 = 0 ⟹ ∈
⋆2 ! + ! −5=2×1+3−5= 0⟹ ∈&
2
⋆ ''''( ) *est un vecteur normal à la droite T d’équation 2 + − 5 = 0
1
D’où la droite T passe par A et a pour vecteur normal ''''( , c’est-à-dire T est la perpendiculaire à [ ] passant par A , c’est-àdire T est la tangente au cercle
en A.
2. L’affirmation « Pour toute valeur du réel , l’ensemble
est un cercle » est fausse.
Donnons un contre-exemple : on choisit = 10
+2 +
− 4 + 10 = 0
⟺ ( + 1) − 1 + ( + 2) − 5 + 10 = 0
⟺ ( + 1) + ( + 2) = −5
Il n’existe pas de point dont les coordonnées ( ; ) vérifient cette équation ; en effet pour tout couple ( ; ) de réels , on
a : ( + 1) + ( + 2) mais −5 < 0.
Ainsi il existe au moins une valeur de pour laquelle
n’est pas un cercle.
Ex1
1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.
0
0,7
.
0,3
./
issues
.∩0
Bénéfice : B
2000 €
0,80
0,20
0,05
0,95
0̅
. ∩ 0̅
-300 €
0
./ ∩ 0
-500 €
0̅
./ ∩ 0̅
-300 €
2. Déterminer la probabilité 3(. ∩ 0) qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte.
3(. ∩ 0) = 0,7 × 0,8 = 0,56
la probabilité qu’il y ait un banc de poissons sur la zone et que le sonar le détecte est de 0,56.
3. Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
0 est la réunion des événements . ∩ 0 et ./ ∩ 0 qui sont incompatibles,
3(0) = 3(. ∩ 0) + 3(./ ∩ 0)
or 3(./ ∩ 0) = 0,3 × 0,05 = 0,015
D’où 3(0) = 0,56 + 0,015 + 0,575
Ainsi la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
4.
Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :
4.a. Reproduire et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité du «gain» (positif ou négatif) réalisé.
Gain : xi
2 000
− 500
− 300
Probabilité : pi
0,56
0,015
0,425
Soit G le gain du pêcheur.
3(6 = 2000) = 3(. ∩ 0) = 0,56
3(6 = −300) = 3(0̅) = 1 − 3(0) = 1 − 0,575 = 0,425
3(6 = −500) = 3(./ ∩ 0) = 0,015
4.b. Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
Espérance de gain :
89:
(6) = 7
89;
8
× 38 = 0,56 × 2000 + 0,015 × (−500) + 0,425 × (−300) = 985
Le pêcheur peut espérer un gain de 985 € par sortie.
14/05/2012 1S ACP Soutien
Exercice 1
On considère la suite (<= ) définie par :
< = 1>?<=@; =
Suites
2<=
2 + 3<=
1. Calculer <; et <
2. A l’aide de la table de la calculatrice, émettre des conjectures sur la suite (<= )
3. On admet que pour tout A de
, <= ≠ 0 et on pose C= = 1 +
3.a. Calculer C , C; , C
3.b. Montrer que pour tout A de , on a C=@; = C= + 3
3.c. Que pouvez-vous en déduire ?
3.d. Exprimer C= en fonction de A
DE
.
4.a En déduire que pour tout A de , on a :
2
<= =
2 + 3A
4.b. Montrer que pour tout A de ,
−6
<=@; − <= =
(5 + 3A)(2 + 3A)
En déduire le sens de variation de la suite (<= ) .
4.c. Montrez que la suite (<= ) est bornée.
Exercice 2
On définit les suites (F= ) et (G= ) par F = 12 et G = 1 et les relations de récurrence :
2F= + G=
F= + 3G=
F=@; =
G=@; =
3
4
1. On considère la suite (<= ) définie, pour tout entier naturel n, par <= = G= − F= .
1. a. Calculer < , F; , G; , <; , F , G , <
H
1.b. Montrer que la suite (<= ) est géométrique de raison ;
1.c. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.
1.d. Montrer que pour tout A de
, <= est de signe constant.
2. a. Démontrer que la suite (F= ) est décroissante (on pourra utiliser le signe de <= ).
2.b. Étudier les variations de la suite (G= ).
30/04/2012 1S ACP Soutien
Suites arithmétiques et géométriques
Ex 1 : Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse
D KD
A1 : Si (<= ) est une suite arithmétique de raison r alors I = J L
A2 : La suite (<= ) définie par <= = cos(AP) est une suite arithmétique.
A3 : si (<= ) est une suite arithmétique de raison I, alors <Q + <H + <R = 3<H
;
A4 : si (<= ) est une suite géométrique de raison , alors <S = 8<;
;
Ex2 : Soit la suite (<= ) définie par :
< = 9 et <=@; = <= + 2 ( ∈ )
:
1.a. Calculer <; , < , <: Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10KH près de <T
.
1.b. Montrer que la suite (<= ) n’est ni arithmétique, ni géométique.
1.c. Représenter les quatre premiers termes sur l’axe (U; '()
V d’un repère (U;V(;W() .
y
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
1.d. Quelles conjectures peut-on faire ?
2. On considère la suite (C= ) définie par C= = <= − 3 pour A ∈ .
2.a. Montrer que la suite (C= ) est géométrique.
2.b. Exprimer C= , en fonction de A.
; =
2.c. En déduire que pour tout n de , on a : <= = 3 + 6 × ):*
2.d. Calculer la valeur exacte de <T .
3.a. Etudier les variations de la suite (<= ) .
3.b. Montrer que la suite (<= ) est bornée.
3.c. Etudier la convergence de la suite (<= ) .
9
10
11
12
x
23/04/2012 1S ACP Soutien
Suites arithmétiques
Ex 1 : Reconnaître les suites arithmétiques parmi les suites suivantes :
< = 3
F)X
(A ∈
<=@; = <= + A
< = −1
(A ∈
) G)X
<=@; = <= − 5
) c) Y
Ex2 : Soit (<= ) une suite arithmétique de raison I
1° La raison I est égale à (a) : <H − <Q
(b) : <: − <Q
2° On a :
(a) : <; = <R + 6I
(b) : <R = <; + 6I
3° En partant de <; , on ajoute A fois la raison, on obtient
(b) : <=
(a) : <=K;
< = 1
<=@; = <=
(c) :
H
(A ∈
)
DJ KDL
(c) : <R = <; + 5I
(c) : <=@;
Ex3 : Soit (C= ) une suite arithmétique. Dans chaque cas, déterminer la raison et l’expression de C= en fonction de
A.
K;
KH
1° CH = 16CZ = 28
2°
C: = Q C; =
Ex4 : Soit (<= ) la suite arithmétique de raison 3 telle que < = 4 et (C= ) une suite arithmétique de raison −2
telle que C = 9.
1° Démontrer que la suite (?= ) définie par ?= = <= − 5C= est arithmétique.
2° Calculer ?; .
Ex5 : La suite (<= ) est définie par < = 6;<=@; =
Calculer <; ; < ; <: ; C ; C; ; C ; C:
Que pouvez-vous conjecturer sur la suite (C= ) ?
DE
DE @;
;
. La suite (C= ) est définie par C= = D (A ∈
Prouver votre conjecture.
E
)
1S ACP Soutien
Suites
Ex 1 : pour chacune des suites suivantes,
a)
calculer les trois premiers termes,
b)
déterminer la valeur de <; à la calculatrice
c)
conjecturer les variations de la suite (<= )
d)
prouver votre conjecture.
< = 0
(A ∈
<=@; = −2<= + 9<= − 8
1. La suite (<= ) est définie par : X
2. La suite (<= ) est définie par <= = 3= − 5 (A ∈
=KQ
3. La suite (<= ) est définie par <= = =@H (A ∈
)
)
)
4. La suite (<= ) est définie par < = −2 et <=@; = <= + A + 4 (A ∈ )
Ex2 :
< = 7
R (A ∈
Soit la suite (<= ) telle que : Y
<=@; = H <= + H
)
1. Calculer <; et <
2. a. Représenter graphiquement, sur l'axe (U; V() d'un repère orthonormal (U; V(; W() les premiers
termes de la suite .
b. Emettre des conjectures
y
4
3
2
1
-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
x