Microsoft PowerPoint - RC-RL-RLC.PPT [Mode

Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
PCSI 1 (O.Granier)
Lycée
Clemenceau
Régimes transitoires dans les
circuits (RC), (RL) et (RLC)
Un lien vers le TP sur
l’étude de ces circuits
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
1ère partie
Charge et décharge d’un condensateur
Etude du circuit (R,C)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Description d’un condensateur :
Un condensateur est assimilable à deux plaques disposées face à face. En
règle générale, on pourra dire qu'un condensateur est constitué de deux
conducteurs séparés par un isolant (appelé également diélectrique) ; cet
isolant peut être l'air, du verre, du plastique … (tableau ci-dessous).
(relative)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
L’intérieur d’un condensateur :
Ce modèle est représentatif de la
structure de la plupart des
condensateurs. Il est constitué
d’armatures métallisées.
On augmente sa capacité en
branchant en parallèle des plaques
très rapprochées mais qui ne se
touchent pas.
Dans ce condensateur, c’est l’air
qui joue le rôle de diélectrique.
Utilisation des condensateurs :
Ils sont utilisés dans pratiquement
tous les montages électroniques.
Par exemple, on utilise des
condensateurs variables dans les
circuits d’accord de postes de
radio.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Soumis à une tension U, un condensateur
possède la propriété de se charger et de
conserver
une
charge
électrique
q,
proportionnelle à U :
q = CU
C’est un réservoir d’énergie.
Cette énergie est restituée
décharge du condensateur.
lors
de
la
Ces phénomènes de charge et de décharge ne
sont pas instantanés ; ce sont des phénomènes
transitoires.
On peut comparer le condensateur à un réservoir qui se remplit et se vide, ou à
un poumon qui se gonfle et se dégonfle...
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Condensateur plan :
Deux plaques métalliques planes (de surface S) en regard sont distantes de e.
Un diélectrique remplit l’espace entre les deux plaques.
La charge q acquise par l’armature
supérieure est :
+ q
q = CU
++++++++++++
C est la capacité du condensateur
plan (exprimée en Farad, F, ou
mieux, en µF ou nF) :
C=
ddp U
e
Diélectrique (εε =ε0εr)
ε 0ε r S
e
ε0 : permittivité du vide
εr : permittivité relative du diélectrique
----------------- q
Surface en regard : S
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre :
q
uC =
C
;
i
dq
i=
= q&
dt
C
q
uC
La puissance reçue par le condensateur (de manière algébrique) est :
pC = u C i = u C .
du
dq
d 1

= CuC . C =  Cu C2 
dt
dt
dt  2

L’énergie EC emmagasinée par le condensateur s’en déduit :
dEC
pC =
dt
soit
1 2 1 q2
EC = CuC =
2
2 C
La charge portée par les armatures est une fonction continue du temps.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Charge d’un condensateur par un échelon de tension :
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
i
e(t)
C
q
uC =
uC
R
uR
q
dq
; i=
C
dt
uC + u R = E
soit
;
u R = Ri = RC
uC + RC
duC
=E
dt
duC
du
1
1
1
+
uC = C + uC = E
τ
τ
dt
RC
dt
Si le condensateur est déchargé à t < 0 :
uC = E (1 − e −t /τ )
;
u R = E − uC = Ee −t /τ
duC
dt
(τ = RC )
Simulation
Regressi
τ est la constante de temps du circuit (RC) : elle donne l’ordre de
grandeur de la durée de charge du condensateur.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
La charge est continue à t = 0 ; l’intensité est discontinue (passe de 0
à E/R de t = 0- à t = 0+)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de
l’énergie, on va montrer que :
EG
Energie fournie
par le générateur
=
ER
Energie dissipée
par effet Joule
dans R
E 2 ∞ −t /τ
+
EC
Energie
emmagasinée
par C
E2
EG = Ei (t )dt =
e dt =
τ = CE 2
0
R 0
R
2 ∞
2
∞
E
E
1
τ = CE 2
E R = Ri 2 (t )dt =
e − 2t /τ dt =
0
R 0
2R
2
1
EC = CE 2
d ' où
EG = E R + EC
2
∫
∫
∞
∫
∫
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Décharge du condensateur :
(uC = Ee −t / τ )
(u R = −uC = − Ee −t / τ )
Continuité de la charge
Discontinuité du courant
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Condensateur soumis à une tension créneau :
Tension créneau E/-E :
Tension créneau E/0 :
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Associations de condensateurs :
En série :
uC = uC1 + uC2
i q C1
 1
1
1
1 
1

q =
uC =
q+
q= +
q
C1
C2
C
C
C
2 
éq
 1
i
uc1
i = i1 + i2
duC
duC
duC
; i = C1
+ C2
= (C1 + C 2 )
dt
dt
dt
Céq = C1 + C 2
uc2
uc
1
1
1
=
+
Céq C1 C 2
1
1
q1 =
q2
En parallèle : u C =
C1
C2
q C2
i1 q1 C1
i
i2 q2 C2
uc
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
2ème partie
Bobine d’auto-induction
Etude du circuit (R,L)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Bobine d’auto-induction :
Tout bobinage parcouru par un courant crée un champ
magnétique proportionnel à l’intensité i.
Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît aux
bornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomène
d’induction).
i
r
B
En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposant
la bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :
e=L
di
dt
i
Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courant
dans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobine
est nécessairement continue.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Tension, puissance et énergie :
Avec les notations de la figure ci-contre :
di
u L = L + ri
dt
L,r
i
uL
La puissance reçue par la bobine (de manière algébrique) est (bobine idéale ici,
soit r = 0) :
p L = u L i == L
di
d 1

.i =  Li 2 
dt
dt  2

L’énergie EL emmagasinée par la bobine s’en déduit :
dE L
pL =
dt
soit
1 2
E L = Li
2
L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Réponse à un échelon de tension : (bobine idéale)
A t < 0 : e(t) = 0 et à t > 0 : e(t) = E = cste. Alors, pour t > 0 :
i
L
u R = Ri ; u L = L
uL
R
e(t)
uR
uL + uR = E
soit
di L du R
=
dt R dt
L du R
+ uR = E
R dt
du R R
du
1
+ uR = R + uR = E
τ
dt
L
dt
(τ =
L
)
R
Si l’intensité du courant est nulle à t < 0 :
u R = E (1 − e −t /τ )
;
u L = E − u R = Ee −t /τ
τ est la constante de temps du circuit (RL) : elle donne l’ordre de grandeur de la
durée d’établissement du régime permanent (i=E/R). La bobine se comporte ensuite
comme un simple fil.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
uR,uL,E
Circuit
(RL)
En bleu : la tension uL
En vert : la tension uR
En rouge (horizontal) : la tension E
Circuit
(RC)
uR
⇔
uC
i
⇔
q
uL
⇔
uR
L’intensité (et la tension uR) est continue à t = 0 ; la tension uL est discontinue
(passe de 0 à E de t = 0- à t = 0+)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Aspect énergétique :
Que devient l’énergie fournie par le générateur ? D’après la conservation de
l’énergie, on va montrer que :
=
EG
+
ER
Energie dissipée
par effet Joule
dans R
Energie fournie
par le générateur
EL
Energie
emmagasinée
par L
En effet :
E = u L + u R = Ri + L
∫
∞
Eidt =
0
∫
∞
0
di
dt
donc
Ri 2 dt +
Ei = Ri 2 + Li
1 2
LI perm
2
di
d 1

= Ri 2 +  Li 2 
dt
dt  2

(avec I perm =
E
)
R
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Associations d’inductances :
En série :
u L = L1
u L = u L1 + u L2
L1
i
di
di
di
di
+ L2
= (L1 + L2 ) = Léq
dt
dt
dt
dt
uL2
uL1
uL
Léq = L1 + L2
di
di
En parallèle : u L = L1 1 = L2 2
dt
dt
 1
di 1
1
1 
u L
i = i1 + i2 ;
= uL +
u L =  +
dt L1
L2
 L1 L2 
u L = Léq
di
dt
avec
L2
i
1
1
1
=
+
Léq L1 L 2
i1
L1
i2
L2
i
uL
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
3ème partie
Etude du circuit (R,L,C)
Olivier GRANIER
Clemenceau
Lycée
PCSI 1 - Physique
Equation différentielle du circuit (RLC) :
di
1
+ Ri + q = e(t )
dt
C
du
q
i = q& ; uC =
donc i = C C
C
dt
u L + u R + uC = L
LC
d 2uC
dt 2
d 2uC
dt 2
d 2uC
dt
2
du
+ RC C + uC = e(t )
dt
uL
R
e(t)
C
R duC
1
1
+
+
uC =
e(t )
L dt
LC
LC
duC
+ 2σω0
+ ω02 uC = ω02 e(t )
dt
L
i
uR
q
uC
avec
ω02
1
R
=
et 2σω0 =
LC
L
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Les différents régimes :
d 2uC
dt 2
(voir cours sur les oscillateurs en mécanique)
duC
d 2uC ω 0 duC
2
2
2
+ 2σω0
+ ω0 uC =
+
+
ω
u
=
ω
e(t )
0
C
0
2
dt
Q
dt
dt
On recherche des solutions de l’équation homogène de la forme exp(rt), avec r
appartenant a priori au corps des complexes. On aboutit au polynôme caractéristique :
r 2 + 2σω0 r + ω02 = 0
Dont le discriminant est :
∆ = 4ω 02 (σ 2 − 1)
∆ < 0 soit σ < 1 : régime pseudo − périodique (r1 , r2 ∈ C )
∆ > 0 soit σ > 1 : régime apériodique (r1 , r2 ∈ R )
∆ = 0 soit σ = 1 : régime apériodique critique (racine unique, r = −ω0 )
Il faut ensuite rajouter une solution particulière, qui dépend de la forme de e(t).
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Réponse du circuit (RLC) à un échelon de tension :
d 2uC
Pour t>0 :
dt 2
+ 2σω0
duC
+ ω 02 uC = ω02 E
dt
La solution de l’équation différentielle précédente est alors :
σ < 1 : uC = e −σω0t  A cos(ω0 1 − σ 2 t ) + B sin(ω0 1 − σ 2 t ) + E

σ > 1 : uC = e
−σω0t 
 Ae

(ω0 σ 2 −1 ) t
+ Be
(ω0 σ 2 −1 ) t 
 + E
σ = 1 : uC = e −ω0t [A + Bt ] + E
Au bout de t ≈
5
σω0
, le régime permanent est atteint (uC = E)
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Simulation Cabri géomètre :
Résistance critique
(σ
σ=1)
Simulation Java (JJ.Rousseau) :
Rc = 2
L
C
Simulation Regressi :
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Aspect énergétique :
L’état final est : i=0 et uC=E (le condensateur est chargé). Montrons que le bilan
final énergétique s’écrit :
=
EG
Energie fournie
par le générateur
+
ER
Energie dissipée
par effet Joule
dans R
EC
Energie
emmagasinée
par C
En effet :
1
di
d 1
d 1 2
2
2
E = Ri + q + L
; Ei = Ri +  CuC  +  Li 
C
dt
dt  2
 dt  2

∞
∫ Eidt = ∫
0
∞
0
1
Ri dt + CE 2 + 0
2
2
soit
EG = E R + EC
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
On peut calculer l’énergie fournie par le générateur :
∞
∞
∞
0
0
0
∫ Eidt = ∫ E.q&dt = ∫
 duC 
∞
CE 
dt = CE [uC ]0 = CE 2
 dt 
On en déduit que l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut :
1
1
2
E R = EG − EC = CE − CE = CE 2
2
2
2
Par conséquent :
1
1
2
E R = EC = CE = EG
2
2
La moitié de l’énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule. On
retrouve le même résultat que dans le cas du circuit (RC) : ce n’est pas
surprenant puisque l’inductance n’a aucune influence sur les états initial et final du
circuit.
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Réponse à une tension créneau :
Animation Java :
Animation Regressi :
Olivier GRANIER
Lycée
Clemenceau
PCSI 1 - Physique
Analogies électromécaniques :
Oscillateurs mécaniques
x
q
i = q&
v = x&
1
k
m
C
L
hm
1
EC = mx& 2
2
1
E P = kx 2
2
ω0 =
σ=
Oscillateurs électriques
k
m
h
2ω0
R
1 2
Li
2
1 q2
EP =
2 C
EC =
1
LC
R
σ=
2 Lω 0
ω0 =
Olivier GRANIER