Le produit scalaire - Exercices

Le produit scalaire - Exercices
A Démontrer que des droites sont perpendiculaires
a) ABCD est un carré, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [BC].
Montrer que les droites (CI) et (DJ) sont perpendiculaires.
b) ABCD est un carré de côté a. M est un point de la diagonale [BD], P et Q sont les projetés
orthogonaux de M sur (AB) et (AD).
Montrer que les droites (PQ) et (CM) sont orthogonales.

(il suffit de montrer que P
Q⋅C
M=0 , on peut le faire directement ou en utilisant des coordonnées)
c) Soit ABC un triangle.
BAE et CAF sont deux triangles rectangles et isocèles en A situés à l'extérieur de ABC.

On note AB = c, AC = b et BAC=
.




Calculer AE⋅AC et AB⋅AF en fonction de b, c et .
On appelle I le milieu de [BC]. En utilisant les résultats précédents, montrer que les droites (AI) et
(EF) sont perpendiculaires.
d) On considère un triangle OAB isocèle et rectangle en O, un réel k positif non nul et les points E
F=k. O

et F définis par 
OE=k.
OA et O
B.
On appelle I le milieu de [BE].
1  
OI= O
BOE , puis que les droites (OI) et (AF) sont perpendiculaires.
Démontrer que 
2
e) ABCD est un trapèze rectangle en A et B tel que AB = 2, BC = 4 et AD = 1.
Montrer que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
f) ABCD est un parallélogramme tel que AD = a et AB = 2a (a>0).
On appelle I le milieu de [AB].
Montrer que les droites (DI) et (IC) sont perpendiculaires.
(on peut utiliser de nombreuses méthodes : produit scalaire, angles, coordonnées, configurations, ...)
B Calculer des angles

a) ABCD est un carré de côté a, I est le milieu de [DA]. On pose ACI=
.


Calculer C
de
deux
façons,
en
déduire
la
valeur
exacte
de
cos(),
puis
une valeur approchée
A⋅CI
de  à 1° près.

b) ABCD est un carré de côté a, I est le milieu de [DA] et J est le milieu de [DC]. On pose IBJ=
.
Calculer 
BI⋅
BJ de deux façons, en déduire la valeur exacte de cos(), puis une valeur approchée
de  à 1° près.
1
1 
BI= 
BC et 
DJ= D
C . En exprimant le
c) ABCD est un carré de côté a. I et J sont définis par 
2
3
 , puis sa
J de deux façons différentes, déterminer le cosinus de l'angle IAJ
produit scalaire 
AI⋅A
mesure en radians.
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C Calculer des longueurs


a) ABCD est un parallélogramme tel que AB = 4, AD = 2 et B
AD= .
3

Calculer le produit scalaire A
B⋅
AD de deux façons, en déduire AC.
Utiliser une méthode similaire pour calculer BD.
2
2
(autre possibilité : calculer 
AB
AD et 
AB−
AD )
b) ABCD est un rectangle tel que AB = a et BC = b, a > b.
On appelle H et K les projections orthogonales de A et C sur (DB).


Exprimer le produit scalaire A
C⋅D
B en fonction de a et b, puis en fonction de HK et DB.
2
2
a −b
En déduire que HK= 2
.
a b 2
D Divers
1. Cosinus de /12

OABC est un carré de côté 1 tel que 
OA , 
OC= .
2
OAE est le triangle équilatéral tel que E soit à l'intérieur de OABC.

On considère le repère orthonormal direct O, 
OA , O
C .
a) Calculer les coordonnées polaires et les coordonnées cartésiennes de B et E.

b) Calculer une mesure de 
OB , O
E .


c) Calculer le produit scalaire O
B⋅O
E de deux façons. En déduire la valeur exacte de cos

.
12
2. Cosinus de /8
ABD est un triangle isocèle et rectangle en A. On pose AB = a.
On considère le point C tel que DC = a et D∈ [AC].
a) Calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles du triangle ABC.


b) Calculer AB² en remarquant que A
B=
CB−C
A . En déduire la valeur exacte de cos

.
8
3. Relation d'Euler et orthocentre
A, B et C sont 3 points.


Montrer que pour tout point M du plan, 
MA⋅
BCM
B⋅
CA
MC⋅A
B=0 . (c'est la relation d'Euler)
En déduire que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
4. Constante
On considère un cercle de centre O et de diamètre [AB].
E est un point fixe de [AB].
Une droite parallèle à (AB) coupe le cercle en M et N.
Montrer que EM² + EN² est constant.

(Indication : montrer que 
OM
ON est orthogonal à 
EO , utiliser 
EM=
EOO
M et

EN=
EO
ON )
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5. Avec des coordonnées
Le plan est muni d'un repère orthonormal O, i , j .
On considère les points A(2; -3), B(-2; 1) et C(3; 4).


a) Calculer AB, AC et A
B⋅A
C.

 à 1° près.
En déduire cos BAC , puis une valeur approchée de BAC
b) Soit H le pied de la hauteur issue de C.


Déterminer le réel k tel que 
AH=k 
AB en utilisant le produit scalaire A
B⋅A
C.
En déduire les coordonnées de H.
c) Calculer l'aire de ABC.
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