1 )On considère la fonction f : x→ - 4 3 x + 3x +4x

Cnam-Paris-2008-2009
corrigé du devoir 1
F. Guiraud
4 3
2
1 )On considère la fonction f : x→ -3 x + 3x +4x -2
L’ étude des variations conduit au tableau suivant :
x
f ’(x)
f(x)
-∞
-0.5
2
-
+
+
∞
22
3
+∞
37
-12
-∞
On en déduit le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 : une solution < -0.5, une comprise
entre -0.5 et 2, une > 2
Graphique
8
6
4
2
0
-2
-4
-2
-1
0
1
2
3
4
38
5
On calcule f(-1) = - 3 , f(-2) = 3 donc la première racine est comprise entre -2 et -1
11
Puis on calcule f(0) = -2, f(1) = 3 donc la deuxième racine est comprise entre 0 et 1
70
Puis on calcule f(3) =1, f(4) = - 3 donc la troisième racine est comprise entre 3 et 4
4 3
1 3 3 2 1
2
2) En partant de f(x) =0 soit -3 x + 3 x +4x -2 =0, on tire x = 3 x - 4 x + 2
1 3 3 2 1
D’où un première suite un+1 = 3 un - 4 un + 2 = g(un )
D’après le théorème du point fixe, il faut que | g ‘(x)| < 1 sur l’intervalle considéré [a, b] et que
g([a,b]) ⊂ [a,b]
3
3
1
2
2
-1 < g’(x) < 1 ⇔ -1 < x - 2 x < 1 ⇔
x - 2 x–1<0
⇔ ( x – 2)( x + 2 ) < 0
3
2
x - 2 x +1>0
toujours vrai
1
donc -1 < g’(x) < 1 si x ∈ ] - 2 , 2[ donc si la suite converge, elle converge vers la racine
comprise entre 0 et 1
1 1
g([0,1]) = [12 ,2 ]⊂ [0, 1] donc elle converge bien vers la racine comprise entre 0 et 1
17
1
Prenons u = 0 , u = 2 , u = 48 = 0.354, u = 0.4204
0
1
2
3
4 3
2
Pour les autres racines, on pose x = x + α( -3 x +3x +4x -2) soit :
4 3
2
x = -3 αx + 3αx + (4α +1)x -2 α = g(x)
2
g’(x) = - 4α x + 6α x + 4α +1
Prenons x ∈[ -2, -1] et cherchons α > 0.
2
- 16α < - 4α x < -4 α et - 12α < 6α x < -6α soit
1
- 24α +1 < g’(x) < -6α +1 soit 0< α < 12 = 0.0833..pour avoir -1< g’(x)< 1
1 3
2
On peut prendre α = 0.05 donc g(x) = - 15 x + 0.15 x + 1.2x – 0.1
Vérifions que g([-2, -1]) = [-1.37, -1.083] ⊂ [-2,-1]
Donc la suite
1 3
2
u = - 15 u +0.15 u + 1.2 u -0.1 converge vers la racine appartenant à [-2, -1]
n+1
n
n
n
Prenons u = -2, u = -1.3766.. ; u = -1.2897 ; u = -1.255
0
1
2
3
Prenons x ∈[ 3, 4] et cherchons α > 0.
2
-64α < - 4α x < -36α , 18 α< 6α x < 24α donc -42α +1 <g’(x)< -8α +1
1
Soit 0< α < 42 = 0.0238.. pour avoir -1< g’(x)< 1. On peut prendre α = 0.01 ce qui
1 3
2
donne g(x) = - 75 x + 0.03 x +1.04x -0.02
63+
Vérifions que g([3, 4]) = [3.01,3.7667] ⊂ [3,4]
u0 = 3, u1 =3.0100 ; u2 =3.0186 ; u3 = 3.026
4 3
2
- 3 u +3 u + 4 u - 2
f(un)
n
n
n
4) méthode de Newton un+1 = un - f '(u ) = un 2
n
-4u + 6 u + 4
n
n
On choisit le premier terme u0 de façon que f(u0 ) . f ″( u0 ) > 0
o Pour la racine comprise entre 3 et 4 , f(3) = 1, f ″( 3) = -24 + 6 = - 18 donc 3 ne peut pas
70
être le premier terme ; par contre f(4) = - 3 et f ″(4) = -32 +6 = -26, le premier terme sera
donc u0 = 4
70
5.0982
= 3.3519 ; u2 = 3.3519 - 20.8296 = 3.3519 - 0.2448 = 3.1071 ;
3×36
0.6048
u3 = 3.1071 - 15.9737 = 3.1071 - 0.0378 =3.0693
11
o Pour la racine comprise entre 0 et 1, f(0) = -2, f ″(0) = 6, f(1)= 3 , f ″(1) = -2
u =41
Aucun des points ne convient, car il y a un point d’inflexion en x = 0.75, il faut diminuer
l’intervalle : f(0.5) = 0.5833 donc la racine appartient à [ 0, 0.5]
0.5833
f ″(0.5) = 4 , on prendra u = 0.5, u = 0.5 - 6
= 0.5 - 0.0972 = 0.4028
0
1
0.0108
u2 = 0.4028 - 5.7678 = 0.4009
o Pour la racine comprise entre -2 et -1, f(-2) = 12.667, f ″(-2) = 22 on prend u0 = -2
12.667
2.8677
=
-1.4722
;
u
=
-1.4722
+
-24
13.502 = -1.2598
1
2
bf(un) - un f(b)
5) méthode de Lagrange : u = f(u ) - f(b)
avec f(b). f ″(b) > 0
n+1
u = -2 -
n
o
Pour la racine comprise entre -2 et -1, on prend pour b le même premier terme que
pour la méthode de Newton soit b = -2 et u0 = -1
un+1
8 3
8 3
2
2
u
-6
u
8
u
+4
12.667
u
u
-6
u
- 20.667 u +4
3 n
3 n
n
n
n
n
n
= 4
= 4
3
2
3
2
- 3 un +3 un + 4 un - 2 -12.667
- 3 un +3 un + 4 un -14.667
3.333+9.3333
u = -1.666-9.3333 = -1.1515 ; u = -1.1894
1
2
o Pour la racine comprise entre 0 et 0.5, on prend pour b le premier terme de la méthode de
Newton :0.5 et u0 = 0
-1
u = -2.5833 = 0.3871 , u = 0.3882
1
2
o Pour la racine comprise entre 3 et 4 , on prend b = 4 et u = 3
0
74
u1 = 73 = 3.0411 ; u2 = 3.0576
3