xyba Cb Ca S ba Cb Ca S Séparateur S ⊆ V : G[V \S] non

G triangulé non complet :
G admet au moins 2 sommets
simpliciaux non adjacents.
Séparateur S ⊆ V :
G[V \S] non connexe
Ca
a
x
S
y
Cb
b
Lemme :
Si G est triangulé, tout séparateur
minimal est une clique.
Ca
a
S
Cb
b
2 cas :
• Ca ∪ S est une clique
• HR : ∃x, y ∈ (Ca ∪ S) non adjacents
x, y ∈ S impossible d’après le lemme.
LexBFS
”5”
Ordre Lexicographique ”6”
• Initialisation : ∀x, L(x) = ” ”
”5”
””
Étape i ∈ J1, nK :
• Prendre un sommet x d’étiquette L(x) max
• x ← Affecter numéro i
”65”
”5” ← ”54”
• ∀y ∈ N (x), faire L(y) ← L(y) · (n − i)
Complexité O(n + m)
Étape i = 3
n=7
n−i=4
” ” ← ”4”
Affinage de partition
”54”
5
”5”
3
”4”
6
L−1(”54”)
4
S = {L−1(”54”), L−1(”5”), L−1(”4”)}
S = ensemble des sommets restant à parcourir
L−1(”5”)
L−1(”4”)
G triangulé, σ ordre LexBFS.
Montrer que C = σ −1(n − 1) est simplicial
Lk (x) = étiquette de x avant l’itération k
Lemme :
x, y ∈ V, 0 ≤ k ≤ n − 1
Lk (k) ≺ Lk (y) et k ≤ min(σ(x), σ(y)) ⇒ σ(y) < σ(y)
Retour à la démo : on procède par l’absurde.
σ(A) < σ(B) < σ(C)
A
Xσ(A)
C
D
B
D = σ −1(k0 − 1)
Montrer que Lσ(A)(B) = Lσ(A)(C)
Soit k0 = min{k ∈ J0, n − 1K, Lk (b) 6= Lk (C)}
• Si k0 ≤ σ(A) et Lk0 (B) ≺ Lk0 (C) :
contradiction grâce au lemme.
• Si k0 ≤ σ(A) et Lk0 (C) ≺ Lk0 (B) :
Lk0 (B) = Lk0−1(B)·(n−k0+1) et Lk0 (C) = Lk0−1(C)
Reconnnaissance de Graphes Triangulés
P N (x) = {y ∈ N , σ(y) < σ(x)}
σ simplicial ⇔ ∀x, P N (x) est une clique
p(x) = σ −1(max σhP N (x)i) s’il existe, sommet de P N (x) visité en dernier
Alors, si P N (σ −1(i)) est une clique pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et x = σ −1(k) :
P N (x) est un clique ⇔ P N (x) \ p(x) ⊆ P N (p(x))
2000
1950
1900
1850
1800
1750
1700
1650
1600
1550
1500
1450
1400
1350
1300
1250
1200
1150
1100
1050
1000
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
Temps (s)
Temps d'exécution
14
12
10
8
Welsh-Powell (1)
Welsh-Powell (2)
6
Dsatur (1)
Lex_BFS
4
2
0
Taille du graphe
(Nombre de sommets)
2000
1950
1900
1850
1800
1750
1700
1650
1600
1550
1500
1450
1400
1350
1300
1250
1200
1150
1100
1050
1000
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
Nombre de
couleurs utilisées
Coloration
250
200
150
Dsatur
Welsh-Powell
100
Lex_BFS
50
0
Taille du graphe
(Nombre de sommets)
Les problèmes de DIMACS
• Allocation de registe :
• Graphes de reines :
→ Allouer des registres du processeur
aux variables d’un code
→ Placer correctement n fois n reines
sur un échiquier de taille n × n
• Planification :
→ Donner des horaires à des cours (classe + prof)
• Graphes de Mycielski Mk :
→63 triangle ; χ(Mk ) = k
• Réseaux optiques :
⇒
• Carrés Latins :
1 2 ··· ··· n
2 ..
1
.. ..
..
.. n
..
n 1 ··· ··· n−1
n