T.P.2 : Flexion d`une poutre. Calcul par éléments finis cubiques d

T.P.2 : Flexion d’une poutre. Calcul par éléments
finis cubiques d’Hermite en dimension un.
28 mai 2009
On considère une poutre dont on cherche à calculer la flèche en fonction d’un chargement de densité linéique donnée. On donne la longueur de la poutre L = 10, le
module d’Young E = 2.1 1011 et la densité de chargement par unité de longueur de
poutre f = 105 .
On donne le moment d’inertie I = 0.001. L’objet de ce TP est l’écriture d’un code
éléments finis cubiques d’Hermite pour calculer la flèche et l’angle de la poutre en tout
point x.
Problème de la poutre encastrée
Considérons le problème d’une poutre encastrée en ses extrémités et soumise à un
chargement d’intensité f .

4

 EI d u(x) = f (x)
dx4


∀x ∈ [0, L]
0
(1)
0
u(0) = 0 u (0) = 0 u(L) = 0 u (L) = 0
Problème de la poutre cantilever
Considérons le problème d’une poutre encastrée en une extrémité et libre en l’autre
extrémité, et soumise à un chargement d’intensité f .

4

 EI d u(x) = f (x)
dx4


∀x ∈ [0, L]
0
00
(2)
000
u(0) = 0 u (0) = 0 u (L) = 0 u (L) = 0
Question 1
Ecrire les formulations variationnelles de ces deux problèmes
Question 2
Rappeler le principe du calcul de la matrice élémentaire de raideur et de la matrice
élémentaire de masse et écrire deux ”function” Matlab qui calculent ces matrices avec
en paramètres d’entrée : le numéro de l’élément, le tableau des abscisses des points
noté p et le tableau logique donnant la correspondance éléments-noeuds noté t.
1
2
Question 3
Les matrices devront être stockées comme matrice creuses (sparse) afin de minimiser
le stockage mémoire et accélérer le calcul. Ecrire le programme principal de calcul qui
comportera les étapes suivantes : entrée des données géométriques et physiques, entrée
du nombre d’éléments et du maillage (très simple ici), construction du tableau logique
et du vecteur des abscisses, appel de la procédure d’assemblage de la matrice de raideur,
pénalisation des conditions de Dirichlet, calcul du second membre et enfin calcul de la
solution et tracé.
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 1 – Flexion de la poutre encastrée
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fig. 2 – Flexion de la poutre cantilever
10