CORRECTION BREVET BLANC

CORRECTION BREVET BLANC
Exercice 1
1. Je calcule le PGCD de 918 et 594 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
918
594
1
324
594
324
1
270
324
270
1
54
270
54
5
0
Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul donc PGCD (918 ; 514) = 54.
918 918 ÷ 54 17
2.
=
=
594 594 ÷ 54 11
Exercice 2
1 5 3
1. A = – :
3 3 2
1 5 2
A= – ×
3 3 3
3 10
A= –
9 9
7
A=–
9
2
3–
3
B=
4
×7
9
9 2
3 3
B=
28
9
7
9
B= ×
3 28
7×3×3
B=
3×7×4
3
B=
4
2. C =
C=
4 × 105 × 15 × 10-3
80 × 10-1
4×15 105-3
×
4×20 10-1
5×3
× 102-(-1)
5×4
3
C = × 103
4
C = 0,75 × 103
C=
C = 750
C = 7,5 × 102
Exercice 3
1. D = (3x – 5)² – (3x – 5)(7x – 4)
D = (3x)² – 2 × 3x × 5 + 5² – (3x × 7x – 3x × 4 – 5 × 7x + 5 × 4)
D = 9x² – 30x + 25 – (21x² – 12x – 35x + 20)
D = 9x² – 30x + 25 – (21x² – 47x + 20)
D = 9x² – 30x + 25 – 21x² + 47x – 20
D = – 12x² + 17x + 5
1
2. x = –1
D = [3 × (-1) – 5]² - [3 × (-1) – 5] ×[7 × (-1) - 4]
D = (-8)² - (-8) × (-11)
D = 64 – 88
D = - 24
x=
1
2
1
1
1
D = [3 × – 5]² - [3 × – 5] ×[7 × - 4]
2
2
2
3 10
3 10 7 8
D = ( - )² - ( - )( - )
2 2
2 2 2 2
7
7
1
D = (- )² - (- ) × (- )
2
2
2
49 7
D=
4 4
42
D=
4
21
D=
2
Exercice 4
1. Je cherche le PGCD de 175 et 126 grâce à l’algorithme d’Euclide.
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
175
126
1
49
126
49
2
28
49
28
1
21
28
21
1
7
21
7
3
0
Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD (175 ; 126) = 7.
Antoine pourra donc réaliser 7 sachets.
2. 175 : 7 = 25
126 : 7 = 18
Il y aura 25 billes rouges et 18 billes bleues dans chaque sachet.
Exercice 5
B
E
A
F
C
2. Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC].
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre son plus grand côté alors il est rectangle en le sommet
opposé à ce côté. Donc ABC est rectangle en B.
2
3. Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
BC² = AC² - AB²
BC² = 6² - 4,8²
BC² = 36 – 23,04
BC² = 12,96
BC = 12,96
BC = 3,6
[BC] mesure 3,6 cm.
4. Dans le triangle ABC, le point E appartient au segment [BC], le point F appartient au segment [AC], les
droites (EF) et (AB) sont parallèles donc d’après le théorème de Thalès :
CE CF EF
=
=
CB CA AB
2,1 CF
=
3,6 6
6×2,1
CF =
3,6
CF = 3,5
[CF] mesure 3,5 cm.
Exercice 6
Soit V1 le volume du
parallélépipède rectangle de
longueur 5 cm, de largeur 4 cm et
de hauteur 2 cm.
V1 = L × l × h
V1 = 5 × 4 × 2
V1 = 40 cm3
Soit V2 le volume du cône dont la
base à un diamètre de 5 cm et de
hauteur 6 cm.
R²h
V2 =
3
5
( )² × 6
2
V2 =
3
V2 = 12,5 cm3
V2  39,3 cm3
Soit V3 le volume de la sphère de
diamètre 4 cm.
4 R3
V3 =
3
4
4×( )3 
2
V3 =
3
32
V3 =
 cm3
3
V3  33,5 cm3
Donc V3 < V2 < V1.
Exercice 7
1a. Dans le triangle ABS, E appartient à [SA], F appartient à [SB] et (EF) et (AB) sont parallèles donc
d’après le théorème de Thalès :
SE SF EF
=
=
SA SB AB
3 EF
=
12 18
3×18
EF =
12
EF = 4,5
[EF] mesure 4,5 cm.
3
b. La section EFGH est un carré de côté 4,5 cm.
E
F
H
G
2a. Soit V le volume de la
pyramide SABCD.
Abase × h
V=
3
AB² × SA
V=
3
18² × 12
V=
3
V = 1296 cm3
Exercice 8
AB² = (3x + 3)²
AB² = (3x)² + 2 × 3x × 3 + 3²
AB² = 9x² + 18x + 9
b. Soit k le coefficient de
réduction.
SE
k=
SA
3
k=
12
1
k=
4
c. Soit V’ le volume de la
pyramide SEFGH.
V’ = V × k3
AC² = (4x + 4)²
AC² = (4x)² + 2 × 4x × 4 + 4²
AC² = 16x² + 32x + 16
BC² = (5x + 5)²
BC² = (5x)² + 2 × 5x × 5 + 5²
BC² = 25x² + 50x + 25
1 3
)
4
V’ = 20,25 cm3
V’ = 1296 × (
V’  20 cm3
AB² + AC²
= 9x² + 18x + 9 + 16x² + 32x + 16
= 25x² + 50x + 25
= BC²
Donc AB² + AC² = BC² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est
rectangle en A.
Exercice 9
3mm = 0,3 cm
Soit V le volume du poisson rouge.
V = R²h
30
V= ×(
)²× 0,3
2
V = 67,5  cm3
V  212 cm3
Le volume du poisson rouge est d’environ 212 cm3.
4